北师大数学五年级上册知识点.docx
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北师大数学五年级上册知识点
北师大版小学数学五年级(上册)知识点
第一单元小数除法
1、除数是整数的小数除法计算法则:
除数是整数的小数除法,按照整数除法的法则去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐;如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面添0再继续除。
(添上的0不能改变被除数的大小)
小数除以整数:
①按照整数除法法则去除;
②商的小数点与被除数的小数点对齐。
③除到小数部分还有余数,添0继续除。
2、除数是小数的小数除法计算法则:
除数是小数的除法,先移动除数的小数点,使它变成整数;除数的小数点向右移动几位,被除数的小数点也向右移动几位(位数不够的,在被除数末尾用0补足),然后按照除数是整数的小数除法进行计算。
补充知识点:
在除法里,商不变的规律是:
被除数与除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。
在除数是小数时,我们就是利用商不变的规律把除数和被除数同时扩大相同的倍数使除数整数进行计算。
3、连除的算式可以写成被除数除以几个数的积,但除以几个数的积时,必须给这个相乘的式子加上小括号。
即a÷b÷c=a÷(b×c)
4、在小数除法中的发现:
①当除数不为0时,除数大于1时,商小于被除数。
如:
3.5÷5=0.7
②当除数不为0时,除数小于1时,商大于被除数。
如:
3.5÷0.5=7
(当除数不为0时,除数等于1时,商等于被除数。
如:
3.5÷1=3.5
被除数不变,除数越小,商越大。
除数越接近“1”商越接近被除数。
5、小数除法的验算方法:
①商×除数=被除数(通用)②被除数÷商=除数
6、商的近似数:
根据要求要保留的小数位数,决定商要除出几位小数,再根据“四舍五入”法保留一定的小数位数,求出商的近似数。
例如:
要求保留一位小数的,商要除到第二位小数;要求保留两位小数的,商要除到第三位小数……如此类推。
7、循环小数:
a、小数部分的位数是有限的小数,叫做有限小数。
如,0.37、1.4135等。
b、小数部分的位数是无限的小数,叫做无限小数。
如5.3…7.145145…等。
c、一个数的小数部分,从某位起,一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这样的小数叫做循环小数。
(如5.33…3.12323…5.7171…)
d、一个循环小数的小数部分,依次不断重复的数字,叫做小数的循环节。
(如5.333…的循环节是3,4.6767…的循环节是67,6.9258258…的循环节是258)
e、用简便方法写循环小数的方法:
①只写一个循环节,并在这个循环节的首位和末位上面记一个小圆点
②例如:
只有一个数字循环节的,就在这个数字上面记一个小圆点,5.333…写作5..3有两位小数循环的,就在这两位数字上面,记上小圆点,7.4343…写作7..4.3;有三位或以上小数循环的,在首位和末位记上小数点,10.732732…写作10..73.2
8、除法中的变化规律:
①商不变性质:
被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数(0除外),商不变。
②除数不变,被除数和商的变化相同。
被除数扩大几倍,商随着扩大几倍。
或者被除数缩小几倍,商随着就缩小几倍0除外。
例如:
12÷6=2,则24÷6=4;6÷6=1.
③被除数不变,除数和商的变化相反,除数缩小几倍,商就随着扩大几倍。
9、小数的四则混合运算顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同。
先算小括号里的,再算乘除,最后算加减。
第二单元轴对称和平移轴对称
轴对称图形:
如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形,那条直线就叫做对称轴。
两图形重合时互相重合的点叫做对应点,也叫对称点。
轴对称图形的性质:
对应点到对称轴的距离相等,对应点连线垂直于对称轴。
轴对称图形具有对称性。
轴对称图形的画法:
找出所给图形的关键点,如图形的顶点、相交点、端点等;数出或量出图形关键点到对称轴的距离;在对称轴的另一侧找出关键点的对称点;按照所给图形的顺序连接各点,就画出所给图形的轴对称图形。
平移:
平移的定义:
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。
平移的基本性质:
平移不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置。
经过平移,对应线段,对应角分别相等;对应点所连的线段平行且相等。
平移图形的画法:
确定平移的方向与距离。
将关键点按所需方向平移所需距离。
按原来图形的连接方式依次连接各对应点。
4、平移几格并不是指原图形和平移后的新图形之间的空格数,而是指原图形的关键点平移的格数。
设计图案的基本方法:
平移、对称1.运用平移设计图案的方法:
(1)选好基本图案;
(2)根据所选的基本图案确定平移的格数和方向;
(3)平移,描出对应点;
(4)按顺序连接对应点.运用对称设计图案的方法:
先选好基本图案;
依据基本图案的特点定好对称轴;选好关键点,并描出关键点的对应点;按顺序连接对应点,画出基本图形的对称图形。
个人总结:
平移前后的图形大小形状不变。
数平移格数的方法:
找到对应的关键点,数出它们之间的格数。
画平移后的图形方法:
1、选出容易平移的点(即关键点)2、确定平移方向和格数。
3、平移选好的关键点。
4、从关键点出发把原图补充完整。
5,检查图形,确保图形大小和形状没有发生变化。
第三单元倍数和因数
像0,1,2,3,4,5,6,…这样的数是自然数。
像-3,-2,-1,0,1,2,3,…这样的数是整数。
整数:
正整数、0和负整数。
我们只在自然数(零除外)范围内研究倍数和因数。
倍数与因数是相互依存的关系,要说清谁是谁的倍数,谁是谁的因数。
(例如:
3×4=12,只能说3和4是12的因数,或者3是12的因数或4是12的因数,但不能说3是因数,或12是倍数。
)
补充知识点:
一个数的倍数的个数是无限的,因数个数是有限的。
一个数最小的因数是1,最大的因数是它本身;一个数最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。
(即一个数最大的因数等于这个数最小的倍数,例如:
12的最大因数是12,最小倍数也是12)
例如:
一个数最大的因数是16,那么这个数就是16.或者一个数最小的倍数是16,那么这个数就是16.
(一)2,5的倍数的特征
2的倍数的特征:
个位上是0,2,4,6,8的数是2的倍数。
5的倍数的特征:
个位上是0或5的数是5的倍数。
偶数和奇数的定义:
像2、4、6、8、10……这样的数,是2的倍数的数也叫偶数,(个位上是0,2,4,6,8的数)像1、3、5、7、……这样的数,不是2的倍数的数(个位上是1,3,5,7,9的数)也叫奇数。
补充知识点:
既是2的倍数,又是5的倍数的特征:
个位上是0的数既是2的倍数,又是5的倍数。
(既是2的倍数,又是5的倍数都是整十数,最小的两位数是10,最小的三位数是100)
(二)3的倍数的特征
一个数各个数位上的数字的和是3的倍数,这个数就是3的倍数。
(例如:
123这个数,各个数位之和指1+2+3=6,6是3的倍数,那么123就是3的倍数)
王叔叔家的电话号码是63665269,它是3的倍数吗?
方法2:
63665269划去3的倍数:
636669,只剩下5和25+2=7,7不是3的倍数所以63665269不是3的倍数。
这种判断方法叫做弃3法。
既是2的倍数,又是3的倍数的特征:
个位上的数是0,2,4,6,8,并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数。
(既是2的倍数,又是3的倍数,一定是6的倍数,最小的公倍数是6。
)
既是3的倍数,又是5的倍数的特征:
个位上的数是0或5,并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数。
(既是3的倍数,又是5的倍数,一定是15的倍数,最小的公倍数是15。
)
同时是2,3和5的倍数的特征:
个位上的数是0,并且各个数位上的数字的和是3的倍数的数,既是2和5的倍数,又是3的倍数。
(同时是2,3和5的倍数,一定是30的倍数,最小的公倍数数是30)
9的倍数的特征:
一个数各个数位上的数字的和是9的倍数,这个数就是9的倍数,它也一定是3的倍数。
㈣找因数和倍数
在1~100的自然数中,找出某个自然数的所有因数。
方法:
1、一对一对的找,思考哪两个数相乘积等于这个自然数,那么这两个乘数就是这个数的因数。
(注意这个两个乘数必须是0除外的自然数。
)
2、运用除法算式,思考这个数除以几能整除,那么除数和商就是这个数的因数。
用除法算式也可以找出12的全部因数,12÷1=12,12÷2=6,12÷3=4,12÷4=3,12÷6=2,12÷12=1。
12的因数有1,12,2,6,3,4。
补充知识点:
一个数的因数的个数是有限的。
其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。
找一个数的因数,通常用列举的方法,可一对一对的写出来,也可按从小到大的顺序来写。
3、找因数:
找一个数的因数,一对一对有序地找就不会重复和遗漏。
一个数因数的个数是有限的。
一个数最小的因数是1,最大的因数是它本身。
1的因数只有1个,就是1。
如:
因为1×36=36,所以1和36都是36的因数,所以的因数有1,36,2,18,3,12,4,9,6
4.找倍数从1倍开始有序地找。
一个数倍数的个数是无限的。
因此一个数没有最大的倍数,最小的倍数是它本身。
如:
3的倍数:
3×1=3,3×2=6、3×3=9、3×4=12,……
㈤找质数
根据因数的个数,我们把非零自然数分为质数、合数和1。
一个数只有1和它本身两个因数,这个数叫作质数。
一个数除了1和它本身以外还有别的因数,这个数叫作合数。
注意:
1既不是质数也不是合数。
判断质数和合数的方法:
(1)思考这个数除了1和它本身外是否有其他因数
(2)这个数的因数中是否存在因数2(特征是个位数是0、2、4、6、8的数)
(3)这个数的因数中是否存在因数5(特征是个位数是0、或5的数)
(4)这个数的因数中是否存在因数3(特征是各个数位上的数字之和是否是3的倍数)
(5)如果都不是,基本可以认为是质数,如果存在除1和本身外的因数则是合数。
当然也有特殊的数字,如:
91=7×13.它就是不满足以上特征,但它是合数。
对于特别的数字要单独记忆。
1、最小的质数是
(2),最小的合数是(4)最小的奇数是
(1)最小的偶数是
(2)。
2、除了2以外所有的偶数都是合数,除了2以外所有的质数都是奇数。
3、两个都是质数的连续自然数是:
2和3。
既是偶数又是质数的是:
2。
两个质数的乘积是合数。
4、100以内有25个质数,分别是:
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
例题:
下面几个判断题都是错误的。
一个自然数不是质数就是合数。
(×)
所有的奇数都是质数。
(×)
所有的偶数都是合数。
(×)
5、按一个数因数的个数分,自然数可以分为:
(质数、合数和1)三类。
6、按一个数的奇偶性来分,可以分为(奇数和偶数)两类,即不是奇数就是偶数。
7、运用“列表”“画示意图”等方法发现规律:
(翻杯子、渡船、开关灯…)经过偶数次变化,与开始状态相同;经过奇数次变化,与开始状态相反。
小船最初在南岸,从南岸驶向北岸,再从北岸驶回南岸,不断往返。
通过“列表”“画示意图”的方法会发现“奇数次在北岸,偶数次在南岸”的规律。
判断一个数是质数还是合数的方法:
一般来说,首先可以用“2,5,3的倍数的特征”判断这个数是否有因数2,5,3;如果还无法判断,则可以用7,11等比较小的质数去试除,看有没有因数7,11等。
只要找到一个1和它本身以外的因数,就能肯定这个数是合数。
如果除了1和它本身找不到其他因数,这个数就是质数。
㈥数的奇偶性
通过计算发现奇数、偶数相加奇偶性变化的规律:
偶数+偶数=偶数奇数+奇数=偶数偶数+奇数=奇数偶数-偶数=偶数
奇数-奇数=偶数偶数-奇数=奇数奇数-偶数=奇数
偶数×偶数=偶数偶数×奇数=偶数奇数×奇数=奇数
其实以上判断两个数的和、差、积、商是奇数还是偶数,只要判断他们的个位即可,如果个位是0、2、4、6、8的数那么就是偶数,如果个位是1、3、5、7、9的数那么就是奇数。
第四单元多边形面积
㈠比较图形的面积
借助方格纸,能直接判断图形面积的大小。
平面图形面积大小的比较有多种方法:
根据图形面积的大小,可以直接进行比较;可以借助参照物进行比较;可以运用重叠的方法进行比较;借助方格,利用数方格的的方法进行比较;直接计算面积后再进行比较等。
图形面积相同,其形状可以是不同的。
补充知识点:
确定一个图形面积的大小,不仅是根据图形的形状,更重要的是根据图形所占格子的多少来确定。
㈡地毯上的图形面积知识点:
根据地毯上所给图案探求不规则图案面积的计算方法。
直接通过数方格的方法,得出答案的面积。
将图案进行“化整为零”式的计算,即根据图案的特点,将整体的图案分割为若干个相同面积的小图案,通过求小图案的面积,得出整个图案的面积。
求阴影部分的面积时可以采用“大面积减小面积”的方法,即通过计算相关图形的面积,得到所求的面积。
补充知识点:
在解决问题时,策略和方法是多种多样的。
㈢动手做
认识平行四边形、三角形与梯形的底和高。
从平行四边形一边的某一点到对边画垂直线段,这条垂直线段就是平行四边形的高,这条对边是平行四边形的底。
三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高,这条对边是三角形的底。
从梯形的两条平行线中的一条上的某一点到对边画垂直线段,这条垂直线段就是梯形的高,这条对边就是梯形的底。
高和底的关系是对应的(就是高和底互相垂直)。
用三角板画出平行四边形的高的方法:
把三角板的一条直角边与平行四边形的一条边重合,让三角板的另一条直角边过对边的某一点。
从这一点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线,这条垂线(从点到垂足)就是平行四边形一条边上的高。
注意:
从一条边上的任意一点可以向它的对边画高,也可以从另一条边上的任意一点向它的对边画高。
用三角板画出三角形的高的方法:
把三角板的一条直角边对准三角形的一个顶点,另一条直角边与这个顶点的对边重合。
从这个顶点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线,这条垂线(从顶点到垂足)就是三角形形一条边上的高。
用三角板画梯形的高的方法:
用同样的方法,画出梯形两条平行线之间的垂直线段,就是梯形的高。
高的画法:
1、直角边与底边对齐重合;2、另外直角边过底边对边上的一点,画出高。
方法二:
1、尺子上长的刻度线与底边重合。
2、尺子一遍过对边的一个点画高。
(一)平行四边形的面积
平行四边形的面积=拼成的长方形的面积
长方形的长就是平行四边形的底;长方形的宽就是平行四边形的高。
因此:
平行四边形面积=底×高
如果用S表示平行四边形的面积,用a和h分别表示平行四边形的底和高,那么,平行四边形的面积公式可以写成:
S=ah
补充知识点:
当平行四边形的底和高相同时,其面积也是相同的。
(二)三角形的面积
三角形面积=两个相同三角形拼成的平行四边形的面积÷2三角形的底和高,也就是平行四边形的底和高。
因此:
三角形面积=平行四边形的面积÷2=底×高÷2
如果用S表示三角形的面积,用a和h分别表示三角形的底和高,那么,三角形的面积公式可以写成:
S=ah÷2
补充知识点:
决定三角形面积的大小的因素不是图形的形状,而是三角形的底与高的长度,只要底和高相同,不同形状的三角形的面积也是相同的。
(三)梯形的面积
梯形面积=两个相同梯形拼成的平行四边形的面积÷2,梯形的上底与下底的和就是平行四边形的底,梯形的高就是平行四边形的高。
因此:
梯形面积=平行四边形面积÷2=底×高÷2=(上底+下底)×高÷2
如果用S表示梯形的面积,用a和b分别表示梯形的上底和下底,用h
表示梯形的高,那么,梯形的面积公式可以写成:
S=(a+b)h÷2
补充知识点:
决定梯形面积的大小的因素不是图形的形状,而是梯形的上、下底之和与高的长度,只要上下底的和与高相同,不同形状的梯形的面积也是相同的。
等底等高的三角形的面积相等。
等底等高的平行四边形的面积相等。
1.长度单位
1千米=1000米1千米=10000分米1千米=100000厘米1米=10分米1米=100厘米
1米=1000毫米(不常用)1分米=10厘米1分米=100毫米1厘米=10毫米
2.重量单位
1吨=1000千克1吨=1000000克1千克=1000克
3.面积单位
1平方千米=100公顷=1000000平方米1公顷=10000平方米
1平方米=100平方分米=10000平方厘米1平方分米=100平方厘米
例题:
把一个平行四边形的框架拉成一个长方形,周长(和原来相等),面积(比原来大)。
平行四边形面积等于与它等底等高的长方形面积。
三角形的面积等于与它等底等高平行四边形或长方形面积的一半。
两个完全相同的三角形和梯形都可以拼成一个平行四边形。
组合图形面积:
1、求组合图形面积的方法:
2、① 分割法:
根据图形和所给的条件,将图形进行合理的分割,形成基本图形,基本图形面积的和就是组合图形面积。
3、② 添补法:
将图形所缺部分进行添补,组成几个基本图形。
基本图形面积-添补的图形面积=组合图形面积。
2、不规则图形面积的估计与计算:
①数格子的方法;②根据不规则图形确定近似的基本图形,量出求基本图形的面积是所需要的条件算出面积。
第五单元分数的意义
㈠分数的再认识
整体“1”的含义:
一个物体或一些物体都可以看作一个整体,这个整体可以用自然数“1”来表示,通常叫做整体“1”。
分数的意义把一个整体平均分成若干份,其中的一份或几份,可以用分数表示。
分母是几,整体就被分成了几份,分子是几,就表示其中的几份。
分数对应的“整体”不同,分数所表示的部分的大小或具体数量也不一样,即分数具有相对性。
同一个分数对应的整体大,表示的具体数量就大;对应的整体小,表示的具体数量就小。
同一个分数表示的具体数量大,对应的整体就大;表示的具体数量小,对应的整体就小。
如:
把100元平均分成10份,取其中的1份,即100元的
就是10元,而把20元平均分成10份,取其中的1份,即20元的
就是2元,所以它们各自的
代表的钱是不一样的。
分数单位:
把整体“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数,叫做分数。
表示其中的一份的数,叫做这个分数的分数单位。
(分子是1的分数)
分数单位是分数的基本组成部分,任何一个分数都可以看出是由若干个分数单位组成的。
一个分数,分子如果超过了分母的一半就接近1,反之则接近0。
分子相同,分母越大,分数越小
>
>
分母相同,分子越大,分数越大
>
如:
的分数单位是
,它有7个这样的分数单位。
㈡(真分数与假分数)
理解真分数、假分数、带分数的意义。
像
,…这样的分数叫作真分数。
特点:
分子比分母小的分数叫真分数。
;分数值小于1。
像
、
,…这样的分数叫作假分数。
特点:
分子大于或等于分母的分数叫假分数。
;分数值大于或等于1。
像2
、5
……,这样的分数叫作带分数。
特点:
由整数和真分数两部分组成的;分数值大于1。
带分数的读法:
2
读作:
二又五分之二。
假分数化成带分数:
用分子除以分母,能整除的就化成整数,如果不能整除的,商就是带分数的整数部分,分母不变,余数就是带分数的分子。
(如:
就是15÷5=3,即
=3,
就是19÷5=3……4即19÷5=
3
)
带分数化成假分数的方法:
带分数的整数乘分母加原分来子作分子,分母不变。
(如:
3
把3×5+4=19作分子,分母5不变,即3
=
)
★补充知识点:
分子是分母倍数的假分数可以化成整数;分子不是分母倍数的假分数可以化成带分数。
带分数也是假分数。
易错题:
1、分数单位是九分之一的最大真分数是(
),最小假分数是(
),最小带分数是( 1
)。
2、分母是8的最大真分数(
),分子是8的最大真分数(
)。
㈢分数与除法
理解分数与除法的关系:
被除数÷除数=
(除数不为0)。
分子相当于被除数,分母相当于除数,分数线相当于除号。
分数的分母不能是0。
因为在除法中,0不能做除数,因此根据分数与除法的关系,分数中的分母相当于除法中的除数,所以分母也不能是0。
可以用分数来表示两数相除的商。
分数的分子相当于除法中的被除数,分母相当于除数,分数线相当于除号,分数的值相当于商。
根据分数与除法的关系把假分数化成带分数的方法:
用分子除以分母,把所得的商写在带分数的整数位置上,余数写在分数部分的分子上,仍用原来的分母作分母。
把带分数化成假分数的方法:
将整数与分母相乘的积加上原来的分子作分子,分母不变。
假分数化带分数:
分母不变,分子除以分母所得的商为带分数的整数部分,余数作分子。
例如:
带分数化假分数:
分母不变,用整数部分与分母的乘积再加原分子的和作为分子。
例如:
例题:
把7块蛋糕平均分给3个人,每人分得多少块?
像这类题目,先搞清楚我们是把谁拿来平均分,那么这个数就是被除数,平均分成几份就是我们的除数,这样算出来就是每份的量,所以算式:
7÷3=
㈣分数基本性质
分数的分子和分母都乘上或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
分子相当于被除数,分母相当于除数,被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。
因此分数的分子和分母都乘或除以相同的数(0除外),分数的大小也是不变的。
求一个数是另一个数的几分之几:
一个数÷另一个数=
,即比较量÷标准量=
,得到的商表示两个数的关系,没有单位名称。
易错题:
把
的分母减去8,(要转化为乘除关系,即分母16-8=8,转化为分母从16变为8是缩小2倍)要使分数大小不变(分子也要缩小2倍,10÷2=5,那分子要变成5,10-5=5)分子减去(5)。
㈤找最大公因数
几个数公有的因数是这几个数的公因数,其中最大的一个是它们的最大公因数。
找两个数的公因数和最大公因数的方法:
列举法:
运用找因数的方法先分别找到两个数各自的因数,再找出两个数的因数中相同的因数,这些数就是两个数的公因数;再看看公因数中最大的是几,这个数就是两个数的最大公因数。
补充知识点:
其他找最大公因数的方法:
1、找两个数的公因数和最大公因数,可以先找出两个数中较小的数的因数,再看看这些因数中有哪些也是较大的数的因数,那么这些数就是这两个数的公因数。
其中最大的就是这两个数的最大公因数。
例如:
找15和50的公因数和最大公因数:
可以先找出15的因数:
1,3,5,15。
再判断4个数中,哪几个也是50的因数,只有1和5,1和5就是15和50的公因数。
5就是它们的最大公因数。
2、如果两个数是不同的质数,那么这两个数的公因数只有1。
3、如果两个数是连续的自然数(0除外),那么这两个数的公因数只有1。
4、如果两个数具有倍数关系,那么较小的数就是这两个数的最大公因数。
5、短除法求最大公因数。
互质:
两个数的公因数只有1,这两个数叫做互质。
互质的规律:
(1)相邻的两个自然数是互质数,
(2)相邻的奇数都是互质数;
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