微专题4 算法初步推理与证明 讲义.docx
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微专题4算法初步推理与证明讲义
微专题4 算法初步、推理与证明
命题者说
考向一程序框图
【例1】
(1)(2018·天津高考)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为( )
A.1 B.2C.3 D.4
(2)(2018·全国卷Ⅱ)为计算S=1-
+
-
+…+
-
,设计了如图所示的程序框图,则在空白框中应填入( )
A.i=i+1B.i=i+2
C.i=i+3D.i=i+4
解析
(1)N=20,i=2,T=0,
=
=10,是整数;T=0+1=1,i=2+1=3,3<5,
=
,不是整数;i=3+1=4,4<5,
=
=5,是整数;T=1+1=2,i=4+1=5,结束循环。
输出的T=2。
故选B。
(2)由S=1-
+
-
+…+
-
得程序框图N先对奇数项累加,T再对偶数项累加,最后相减S=N-T。
因此在空白框中应填入i=i+2。
故选B。
答案
(1)B
(2)B
程序框图的解题策略
(1)要明确是当型循环结构,还是直到型循环结构,根据各自的特点执行循环体。
(2)要明确图中的累计变量,明确每一次执行循环体前和执行循环体后,变量的值发生的变化。
(3)要明确循环体终止的条件是什么,会判断什么时候终止循环体。
变|式|训|练
1.我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值的秦九韶算法,即将f(x)改写成如下形式:
f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0,首先计算最内层一次多项式的值,然后由内向外逐层计算一次多项式的值。
这种算法至今仍是比较先进的算法。
将秦九韶算法用程序框图表示,如图所示,则在空白的执行框内应填入( )
A.v=vx+aiB.v=v(x+ai)
C.v=aix+vD.v=ai(x+v)
解析 秦九韶算法的过程是
(k=1,2,…,n),这个过程用循环结构来实现,应在题图中的空白执行框内填入v=vx+ai。
故选A。
答案 A
2.执行如图的程序框图,若输入k的值为3,则输出S的值为________。
解析 执行如题干图所示的程序框图,过程如下:
k=3,n=1,S=1,满足条件2S ,满足条件2S ,满足条件2S ,满足条件2S ,不满足条件2S 。 答案 考向二推理与证明 微考向1: 归纳推理 【例2】 (2018·惠州二调)《周易》历来被人们视作儒家群经之首,它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识,是中华人文文化的基础,它反映出中国古代的二进制计数的思想方法。 我们用近代术语解释为: 把阳爻“ ”当作数字“1”,把阴爻“ ”当作数字“0”,则八卦所代表的数表示如下: 依次类推,则六十四卦中的“屯卦”,符号为“ ”,其表示的十进制数是( ) A.33B.34 C.36D.35 解析 由题意类推,可知六十四卦中的“屯卦”的符号“ ”表示的二进制数为100010,转化为十进制数为0×20+1×21+0×22+0×23+0×24+1×25=34。 故选B。 答案 B 归纳推理思想在解决问题时,从特殊情况入手,通过观察、分析、概括,猜想出一般性结论,然后予以证明,这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用。 其思维模式是“观察—归纳—猜想—证明”,解题的关键在于正确的归纳猜想。 变|式|训|练 缺8数是一个非常神奇的数,观察以下等式: 12345679×9=111111111 12345679×18=222222222 12345679×27=333333333 12345679×36=444444444 … 则第8个等式为________。 解析 由分析知,当乘数为9=9×1时,结果为9位数,各个数位上的数字均是1;当乘数为18=9×2时,结果为9位数,各个数位上的数字均是2,归纳推理易得结果。 答案 12345679×72=888888888 微考向2: 类比推理 【例3】 我们知道: “平面中到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆”。 拓展至空间: “空间中到定点的距离等于定长的点的轨迹是球”,类似可得: 已知A(-1,0,0),B(1,0,0),则点集{P(x,y,z)||PA|-|PB|=1}在空间中的轨迹描述正确的是( ) A.以A,B为焦点的双曲线绕轴旋转而成的旋转曲面 B.以A,B为焦点的椭球体 C.以A,B为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面 D.以上都不对 解析 由特殊到特殊进行类比推理可得: 点集{P(x,y,z)||PA|-|PB|=1}在空间中的轨迹描述正确的是以A,B为焦点的双曲线单支绕轴旋转而成的旋转曲面。 故选C。 答案 C 类比推理是合情推理中的一类重要推理,强调的是两类事物之间的相似性,有共同要素是产生类比迁移的客观因素,类比可以由概念性质上的相似性引起,如等差数列与等比数列的类比,也可以由解题方法上的类似引起。 当然首先是在某些方面有一定的共性,才能有方法上的类比。 变|式|训|练 已知点A(x1,ax1),B(x2,ax2)是函数y=ax(a>1)的图象上任意不同两点,依据图象可知,线段AB总是位于A,B两点之间函数图象的上方,因此有结论 >a 成立。 运用类比思想方法可知,若点A(x1,sinx1),B(x2,sinx2)是函数y=sinx(x∈(0,π))的图象上的不同两点,则类似地有________成立。 解析 运用类比思想与数形结合思想,可知y=sinx(x∈(0,π))的图象是上凸的,因此线段AB的中点的纵坐标 总是小于函数y=sinx(x∈(0,π))图象上的点 的纵坐标,即 成立。 答案 微考向3: 演绎推理 【例4】 (2018·潍坊统考)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。 “天干”以“甲”字开始,“地支”以“子”字开始,两者按干支顺序相配,组成了干支纪年法,其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉,甲戌、乙亥、丙子、…、癸未,甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳、…、癸亥,60个为一周,周而复始,循环记录。 2014年是“干支纪年法”中的甲午年,那么2020年是“干支纪年法”中的( ) A.己亥年B.戊戌年 C.庚子年D.辛丑年 解析 由题意知2014年是甲午年,则2015到2020年分别为乙未年、丙申年、丁酉年、戊戌年、己亥年、庚子年。 故选C。 答案 C 演绎推理就是依照已知的定义、定理、公理推导我们所要的结论,它是一种从一般到特殊的推理。 变|式|训|练 某参观团根据下列约束条件从A,B,C,D,E五个镇选择参观地点: ①若去A镇,也必须去B镇; ②D,E两镇至少去一镇; ③B,C两镇只去一镇; ④C,D两镇都去或者都不去; ⑤若去E镇,则A,D两镇也必须去。 则该参观团至多去了( ) A.B,D两镇B.A,B两镇 C.C,D两镇D.A,C两镇 解析 若去A镇,根据①可知一定去B镇,根据③可知不去C镇,根据④可知不去D镇,根据②可知去E镇,与⑤矛盾,故不能去A镇;若不去A镇,根据⑤可知也不去E镇,再根据②知去D镇,再根据④知去C镇,再根据③可知不去B镇,再检验每个条件都成立,所以该参观团至多去了C,D两镇。 故选C。 答案 C 1.(考向一)(2018·北京高考)执行如图所示的程序框图,输出的s值为( ) A. B. C. D. 解析 运行程序框图,k=1,s=1;s=1+(-1)1× = ,k=2;s= +(-1)2× = ,k=3;满足条件,跳出循环,输出的s= 。 故选B。 答案 B 2.(考向二)使用“□”和“○”按照如下规律从左到右进行排位: □,○,□,○,○,○,□,○,○,○,○,○,□,○,○,○,○,○,○,○,…,若每一个“□”或“○”占一个位置,如上述图形中,第1位是“□”,第4位是“○”,第7位是“□”,则第2017位之前(不含第2017位),共有________个“○”。 解析 记“□,○”为第1组,“□,○,○,○”为第2组,“□,○,○,○,○,○”为第3组,以此类推,第k组共有2k个图形,故前k组共有2×1+2×2+2×3+…+2k=2×(1+2+3+…+k)=k(k+1)个图形,因为44×45=1980<2016<45×46=2070,所以在这2016个图形中有45个“□”,1971个“○”。 答案 1971 3.(考向二)学校艺术节对A,B,C,D四件参赛作品只评一件一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品预测如下: 甲说“C或D作品获得一等奖”;乙说“B作品获得一等奖”;丙说“A,D两件作品未获得一等奖”;丁说“C作品获得一等奖”。 评奖揭晓后,发现这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是________。 解析 若A为一等奖,则甲,乙,丙,丁的说法均错误,故不满足题意;若B获得一等奖,则乙,丙说法正确,甲,丁的说法错误,故满足题意;若C获得一等奖,则甲,丙,丁的说法均正确,故不满足题意;若D获得一等奖,则只有甲的说法正确,故不合题意,所以若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是B。 答案 B 4.(考向二)祖暅(公元前5~6世纪)是我国齐梁时代的数学家,是祖冲之的儿子。 他提出了一条原理: “幂势既同,则积不容异。 ”这里的“幂”指水平截面的面积,“势”指高。 这句话的意思是: 两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体体积相等。 设由椭圆 + =1(a>b>0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后,得一橄榄状的几何体(如图)(称为椭球体),课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法,请类比此法,求出椭球体体积,其体积等于________。 解析 椭圆的长半轴为a,短半轴为b,现构造两个底面半径为b,高为a的圆柱,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,根据祖暅原理得出椭球体的体积V=2(V圆柱-V圆锥)=2 = πb2a。 答案 πb2a 5.(考向二)(2018·孝义模拟)有编号依次为1,2,3,4,5,6的6名学生参加数学竞赛选拔赛,今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名,甲猜不是3号就是5号;乙猜6号不可能;丙猜2号,3号,4号都不可能;丁猜是1号,2号,4号中的某一个。 若以上四位老师中只有一位老师猜对,则猜对者是( ) A.甲B.乙 C.丙D.丁 解析 若1号是第1名,则甲错,乙对,丙对,丁对,不符合题意;若2号是第1名,则甲错,乙对,丙错,丁对,不符合题意;若3号是第1名,则甲对,乙对,丙错,丁错,不符合题意;若4号是第1名,则甲错,乙对,丙错,丁对,不符合题意;若5号是第1名,则甲对,乙对,丙对,丁错,不符合题意;若6号是第1名,则甲错,乙错,丙对,丁错,符合题意。 故猜对者是丙。 故选C。 答案 C
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