圆锥曲线教学建议.docx
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圆锥曲线教学建议.docx
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圆锥曲线教学建议
圆锥曲线教学建议
一、教材分析
1.本单元教学内容的范围
本单元的教学内容有曲线与方程、椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线等内容.
曲线与方程主要包括曲线与方程的概念和由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质两节内容.其中曲线与方程的概念主要包括介绍坐标法,方程的曲线、曲线的方程的概念;由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质主要包括介绍求动点轨迹方程的步骤和由方程研究曲线性质的角度.
椭圆主要包括椭圆的标准方程和椭圆的几何性质两节内容.其中椭圆的标准方程主要包括椭圆的定义、椭圆标准方程的推导及其简单应用等内容;椭圆的几何性质主要包括归纳椭圆的主要几何性质及其简单应用.
双曲线主要包括双曲线的标准方程和双曲线的几何性质两节内容.其中双曲线的标准方程主要包括双曲线的定义、双曲线标准方程的推导及其简单应用等内容;双曲线的几何性质主要包括归纳双曲线的主要几何性质及其简单应用.
抛物线主要包括抛物线的标准方程和抛物线的几何性质两节内容.其中抛物线的标准方程主要包括抛物线的定义、抛物线标准方程的推导及其简单应用等内容;抛物线的几何性质主要包括归纳抛物线的主要几何性质及其简单应用.
直线与圆锥曲线一节主要是类比直线与圆的位置关系的研究方法,例举了讨论直线与圆锥曲线交点的个数,求满足直线与圆锥曲线一定位置关系条件下的直线方程、弦长、最值等问题。
知识结构如下:
2.本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用
解析几何是几何学的一个分支,是通过坐标法,运用代数工具研究几何问题的一门学科。
必修2已经介绍了平面解析几何初步,学生已经学习了在平面直角坐标系中建立直线和圆的方程,运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系,学生对解析几何的研究内容和研究方法有一定的感性认识。
本单元将在此基础上,明确坐标法,曲线与方程的概念,由曲线求其方程的步骤和由方程研究曲线性质的角度,并通过椭圆、双曲线、抛物线具体圆锥曲线的研究加深对坐标法的理解,并运用此方法系统研究具体圆锥曲线的定义、标准方程、性质以及直线与圆锥曲线的位置关系。
因此,本单元在解析几何知识体系中起着重要的奠基作用和承上启下的作用,同时,学生结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步体会数形结合的思想,通过学习圆锥曲线与方程,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
二、《标准》与《大纲》的比较
1、本单元内容《标准》与《大纲》的目标表述(只列出选修2-1与大纲的对照)
项目
课标
大纲
选修2-1
第二册(上)第八章
内容
椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。
双曲线、抛物线的定义、标准方程及简单几何性质。
圆锥曲线的简单应用。
椭圆的定义、标准方程。
椭圆的简单几何性质。
椭圆的参数方程
双曲线的定义、标准方程。
双曲线的简单几何性质。
抛物线的定义、标准方程。
抛物线的简单几何性质。
圆锥曲线的简单应用。
要求
(1)圆锥曲线与方程
了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程,掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。
了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的有关性质。
能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题(直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题。
通过圆锥曲线的学习,进一步体会数形结合的思想。
(2)曲线与方程
结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步感受数形结合的基本思想。
掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质;理解椭圆的参数方程。
掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。
掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。
了解圆锥曲线的简单应用。
结合教学内容,进行运动、变化观点的教育。
2、变化之处
【削弱】
①选修2-1(理科)对双曲线的定义、几何图形、标准方程及其简单几何性质的要求从掌握降低为了解。
②选修1-1(文科)对双曲线、抛物线的定义、几何图形、标准方程及其简单几何性质的要求从掌握降低为了解。
③椭圆的参数方程删去了(移到选修4-4坐标系与参数方程)。
④对离心率要求降低,抛物线的准线要求知道,椭圆和双曲线的准线删去了。
【加强】
①加强了圆锥曲线模型的实际背景和应用的要求
课标中要求:
了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程。
在课标的说明与建议中提出:
在引入圆锥曲线时,应通过丰富的实例(如行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面),使学生了解圆锥曲线的背景与应用。
教师应向学生展示平面截圆锥得到椭圆的过程,使学生加深对圆锥曲线的理解。
有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用,利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线。
教师可以向学生展现圆锥曲线在实际中的应用,例如,投掷铅球的运行轨迹、卫星的运行轨迹。
因此,教学中需要加强揭示知识产生的背景和联系在实际中的应用。
②加强了对数形结合数学思想的要求,对坐标法数学方法的要求
课标中要求:
能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题(直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题。
课标说明与建议中提出:
曲线与方程的教学应以学习过的曲线为主,注重使学生体会曲线与方程的对应关系,感受数形结合的基本思想。
在引进坐标系之后,平面上的点可以与一对有序实数之间建立对应关系。
不仅使用坐标表示点的位置,同时,把有相互关联的两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线。
未知数表示的某个代数方程可以看成一条曲线;反之,一条曲线可以用曲线上任意点坐标之间的方程关系来表示。
进而把曲线上的“几何点集”和满足方程的“坐标数集”对应起来,并且能够在几何系统和代数系统之间自由的相互转换。
解析几何的基本思想:
数形结合,坐标是数形结合的桥梁,坐标方法建立了方程与曲线之间的联系。
因此,坐标方法以及方程与曲线的思想是解析几何的核心内容。
因此,教学中需要加强数学思想和数学方法的渗透,加深学生对坐标法这一解决几何问题有利方法的理解。
三、教学方式概述
1、在平面解析几何初步的教学中,教师应帮助学生经历如下的过程:
首先将几何问题代数化,用代数的语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题;处理代数问题;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题。
这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终,帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。
解析几何研究的是几何问题,要得到的也是几何的结论。
但它使用的方法却不是几何问题中常用的演绎推理的思维方法,而是代数的知识和方法。
(这正是解析几何学与欧氏几何学的根本区别)
要用代数方法去研究几何图形,首先需要把图形问题转化成代数形式;第二步,用代数方法算出结果;第三步,把算出来的结果再转化成几何形式(也就是给出几何解释)这两次转化是解决问题的关键,也是我们在教学中的重点和难点。
这两次转化的桥梁(条件)就是:
用坐标表示点;用方程表示曲线。
通过教学,使学生深刻领会“解析几何”的基本思想,把握解析几何的本质,是解析几何课的重要任务。
也是上好“解析几何”课的关键
2、椭圆的研究内容和研究方法完全可以迁移到双曲线、抛物线,因此,可以进行类比学习。
如,在推导抛物线的标准方程前,可以先引导学生进行类比猜想,猜想抛物线方程的形式.由于已经学习了椭圆、双曲线的标准方程,分析椭圆的图形是关于
轴、
轴和原点对称的,其方程是:
;双曲线的图形是关于
轴、
轴和原点对称的,其方程是:
;开口向右的抛物线变成了无心二次曲线,丧失了关于
轴和原点的对称性,方程一定会失去
项,而且会出现
的一次项(否则方程变成
直线),猜想抛物线的方程的形式可能会是:
.由于圆锥曲线的统一性,其方程形式必然有共性,因此可以用类比的方法进行合情推理.
四、课时建议
本单元教学时间约16课时
2.1曲线与方程
2.1.1曲线与方程的概念1课时
2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质1课时
2.2椭圆
2.2.1椭圆的标准方程2课时
2.2.2椭圆的几何性质2课时
2.3双曲线
2.3.1双曲线的标准方程2课时
2.3.2双曲线的几何性质2课时
2.4抛物线
2.3.1抛物线的标准方程2课时
2.3.2抛物线的几何性质1课时
2.5直线与圆锥曲线2课时
小结与复习1课时
§2.1曲线与方程
1、教学建议:
(1)本单元的教学设计一定要突出一个核心思想——数形结合的数学思想,解析几何研究问题的核心办法为坐标法,坐标法的基本思路为:
借助坐标系把点与坐标、曲线与方程联系起来,从而达到形与数的结合,再通过方程对曲线的几何性质进行研究,把几何问题转化为代数问题来解决,坐标法使得我们能定量定性地对几何图形进行研究.
(2)本单元重要的教学任务就是要使得学生在不断地对形与数的对照中体会“曲线的方程与方程的曲线”的含义,因而在教学设计时应该设计足够的几何情景让学生感受数与形的一一对应。
把曲线上的“几何点集”和满足方程的“坐标数集”对应起来,并且能够在几何系统和代数系统之间自由的相互转换。
(3)曲线与方程应该体现完备性与纯粹性,从集合的角度讲曲线上点组成的点集C应该与对应方程的解为坐标组成的点集F存在如下关系:
C=F。
2、应该注意的问题:
(1)建立坐标系的原则应该是方程的形式越简单越好;
(2)寻找曲线方程的过程实际上是“几何条件”(形)坐标化(数)的过程,所谓的方程本质上是体现几何关系的等量关系(等式);
例如:
教材P36
例1、设动点M与两条互相垂直的直线的距离的积等于a(a)0),求动点M的轨迹方程
在本例中几何特征直接给出,让学生体会坐标法求轨迹的基本方法各个感
再发散思维:
改编1 点
到两条互相垂直的直线
、
的距离的和是常数
,求点
的轨迹.(
,其轨迹是以
,
,
,
为端点的正方形.)
改编2 点
到两条互相垂直的直线
、
的距离差的绝对值是常数
,求点
的轨迹.(
,其轨迹是以
,
,
,
为端点的正方形各边的延长线部分.)
改编3 点
到两条互相垂直的直线
、
的距离的商是常数
,求点
的轨迹.
求曲线的方程的一般步骤:
1)设(建系设点)
(2)写(写等量关系)
(3)列(列方程)
(4)化(化简方程)
(5)证(以方程的解为坐标的点都是曲线上的点)
检验
:
应该通过限制x,y的取值范围来去掉增根,
例2、已知:
线段
,端点B在x轴上滑动,端点A在y轴上滑动。
求线段AB中点P的轨迹方程(注意第5步)
例3、已知:
点A(4,0),点B在
上运动,求线段AB的中点P的轨迹方程
(课本P43练习B第二题)
例4、已知点B(6,0)和C(-6,0),过点B的直线
与过点C的直线m相交于点A,设直线
的斜率为
,直线m的斜率为
。
如果
,求点A的轨迹方程,并说明此轨迹是何种曲线
发散思维:
题中
,当m取什么范围时,点A的轨迹分别是椭圆、双曲线、抛物线、射线?
第三学时——第四学时§2.2.1椭圆的标准方程
教学建议:
(1)椭圆是本章中学到的第一个圆锥曲线,也是三种圆锥曲线中最重要的一个,它在本章中起着重要的奠基作用和承上启下的作用:
对上一节而言椭圆方程的推导可以进一步理解巩固求曲线方程的坐标法,对后续内容而言将为抛物线和双曲线的学习树立类比的示范作用,因而教师在本阶段的教学一定要不急不躁,踏踏实实地安排教学,诚如是必然会事半功倍.
(2)在单元的教学中应该突出椭圆的实际背景,把数学源于生活又应用于生活的学科特点进行教学渗透,具体做法建议如下:
在教学之初要多向学生介绍生活中与椭圆相关的例子,比如卫星的轨道、倾斜圆柱中的水面轮廓;接下来应该让学生动手画一下椭圆,让学生亲身感受椭圆的几何构造,并由此引出定义。
(3)建议在引出椭圆定义之后,借助几何画板构造椭圆的轨迹让学生能够进一步体会椭圆的定义中的几何条件,加深学生对定义的理解。
构造如下:
(4)求椭圆方程的时候,建议让学生自己尝试建立适当的坐标系,有的学生可能会把坐标原点建在一个焦点上,(比如左焦点)推导出的方程为
,与标准方程比较让学生发现数学的简洁美、对称美。
(5)关于椭圆的定义还应该让学生能够感受条件
的其他情况
;
(6)椭圆方程的推导过程本身是对学生计算化简能力的一次很好的锻炼,老师一定不要剥夺学生的权利;
(7)要给学生说明基本量b是怎样引入的,这样的话就会帮助学生更自然地理解基本量之间的关系式:
;
如下面做法,得到椭圆的初始方程后,引导学生观察椭圆图形和推导出的椭圆方程的系数,学生容易发现
实际上对应图形中的特殊线段
,不妨令其为
,这种处理不仅自然,而且为后续椭圆几何意义的研究作了铺垫。
此时的方程
两边次数一样且非常工整。
(8)椭圆标准方程的两种形式本质上是一样的,其关系只不过是横纵坐标的对换,体现在同一坐标系里图形关于直线y=x对称.
应该注意的问题:
(1)为了更好地理解椭圆的定义最好多常见一些利用第一定义构造椭圆的问题情景;
例如1、已知椭圆
上一点P到椭圆一个焦点的距离是3,则P点到另一个焦点的距离为________
2、课本P47已知椭圆的两个焦点为
,过
且与坐标轴不平行的直线l与椭圆相交于M,N两点,如果
的周长等于12,求这个椭圆方程。
3、(有关焦点三角形)
(1)
的最大值;
(2)
的最小值
(2)椭圆中的基本量关系
是确定椭圆方程最重要的条件之一;
(3)椭圆的标准方程的简洁美得益于建立平面直角坐标系合理性
(4)椭圆方程的确定需注意:
①首先要判断焦点的位置,焦点与长轴的位置一致;
②在把方程化为标准方程后,分母中较大的为
;
③焦点的坐标一定要注意横纵坐标的顺序,如:
焦点在y轴上时坐标为(0,
);
④椭圆平移的问题只要把中心当作参照点即可——平移不改变形状只改变位置.
⑤教材第45页的例题3对于学生正确理解曲线与方程的完备性与纯粹性有很大帮助
第五学时§2.2.2椭圆的几何性质
1、教学设计建议:
(1)椭圆性质的研究实际上是对曲线与方程中“借助曲线方程研究曲线性质”的一次具体诠释、是对所学知识的进一步巩固,这一点应该是本节教学设计的立足点;
(2)教学中一定要防止利用圆锥曲线的图形来研究圆锥曲线性质的现象
(2)
(2)椭圆是一个内切于长方形的几何图形(图一),这一特征可以和前面学过的圆做一下对照(图二):
图一图二
(3)离心率对椭圆形状的影响可以借助上一节中构造椭圆的课件演示来进行观察归纳:
(1)、e越接近1,c就越接近a,从而b就越小,椭圆就越扁
(2)、e越接近0,c就越接近0,从而b就越大,椭圆就越圆;
特例:
e=0,则a=b,则c=0,两个焦点重合,椭圆方程变为圆。
(4)在教学时必须明确的是:
对椭圆性质研究实际上是对椭圆基本量的进一步认识的过程;
(5)建议在研究椭圆性质时对椭圆的反射特性加以介绍.
例如教材的第78页的阅读材料“椭圆面与椭圆曲线”。
3、应该注意的问题:
(1)基本量之间的关系仍就是本节的重点,教学师应进一步加强落实;
(2)离心率公式的变形至关重要:
,…;
(3)椭圆的性质都是在标准方程的前提下进行研究的;另外,解此题还可以提醒学生区分曲线方程与函数解析式之间的异同;
(3)本节的落脚点有二,一为椭圆方程的确定;二为椭圆性质的实际应用.
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- 圆锥曲线 教学 建议