轴对称与轴对称图形复习指导.docx
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轴对称与轴对称图形复习指导
轴对称图形
知识回顾
1、轴对称图形的概念
如果一个图形沿某一条直线对折后,直线两旁的部分能够完全重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.对折后图形上能够互相重合的点叫做对称点。
毛
温馨提示:
有的轴对称图形的对称轴不止一条,如圆就有无数条对称轴.
2、轴对称的概念
如果把一个图形沿着某一条直线对折后,能够与另一个图形完全重合,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线叫做它们的对称轴,折叠后两个图形上互相重合的点叫
做对称点.
温馨提示:
两个图形关于直线对称也叫做轴对称.3、轴对称与轴对称图形的区别
区别:
轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系,成轴对称的两个图形是全等形;轴对称图形是一个具有特殊形状的图形,把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形是全等形,并且成轴对称.
联系:
定义中都有一条直线,都要沿这条直线折叠重。
;
温馨提示:
如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形关于这条直线成轴对称;如果把两个关于某直线成轴对称的图形看做一个整体,那么它就是一个轴对称图形。
4、成轴对称的图形的性质
如果两个图形关于某一条直线成轴对称,那么连接对应点的线段被对称轴垂直平分,对应线段相等,对应角相等。
5、线段的垂直平分线的概念
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。
温馨提示:
线段是轴对称图形,它的一条对称轴是这条线段的垂直平分线
6、线段垂直平分钱的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
温馨提示:
与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
7、角的平分线的概念
从一个角的顶点引一条射线,如果把这个角分为两个相等的角,那么这条射线叫做叫做这个角的平分线。
温馨提示:
角是轴对称图形,角的平分线所在的直线是它的对称轴。
8、角平分线的性质:
角平分线上的点,到这个角的两边的距离相等.
温馨提示:
到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
9、尺规作图
线段垂直平分钱的作法;角的平分线的作法;已知底边和底边的高作等腰三角形。
温馨提示:
尺规作图的工具:
无刻度的直尺和圆规。
10、等腰三角形
有两条边相等的三角形是等腰三角形.相等的两条边叫做腰,另一条边叫做底边.两腰所夹的角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角.
温馨提示:
等边三角形是等腰三角形的一种特殊情况。
11、等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”).
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.
(3)等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.
(4)等腰三角形两腰上的高、中线分别相等,两底角的平分线也相等.
(5)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。
(6)等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.
温馨提示:
(1)等腰三角形是轴对称图形.
(2)等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.
12、等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).
温馨提示:
(1)有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形.
(2)有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形.
(3)有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形.
(4)有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形.
13、等边三角形的概念
三条边都相等的三角形叫做等边三角形,也叫做正三角形.
温馨提示:
等边三角形是等腰三角形的一种特殊情况。
14、等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等,并且每一个内角都等于60°。
温馨提示:
等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴。
15、等边三角形的判定方法
(1)三条边都相等的三角形是等边三角形;
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;
(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
16、作一个图形关于某条直线的轴对称图形
(1)作出一些关键点或特殊点的对称点.
(2)按原图形的连接方式连接所得到的对称点,即得到原图形的轴对称图形.
17、镜面对称性质
(1)当物体与镜面平行时,(影像与物体相比较)上下不变,左右改变.
(2)当物体与镜面垂直时,(影像与物体相比较)上下改变,左右不变
温馨提示:
镜面对称必须是关于一个平面对称,并且成镜面对称的两个图形或物体全等
18、简单的图案设计
1.设计轴对称图案时,可先画出对称轴,然后画出一部分图案,再用找对称点的方法画另一半图案.
2.设计轴对称图案时,要兼顾基本图形的对称性和设计出的图形的对称性,要考虑整体与部分之间的关系
温馨提示:
有的图形对称轴不止一个,找的时候多观察,多思考。
一定要找全。
考点呈现
考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识
典例1.下列几何图形中,
线段,
角
直角三角形
半圆,其中一定是轴对称图形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.图9-19中,轴对称图形的个数是()
A.4个B.3个C.2个D.1个
3.正
边形有___________条对称轴,圆有_____________条对称轴
考点二:
轴对称及轴对称图形的意义
基本图形:
1.已知:
点A、B分别在直线l的同侧,在直线l上找一点P,使PA+PB最短。
变形:
正方形ABCD中,点P是AB边上的一点,在对角线AC上找一点P,使PE+PB最短。
考点三、轴对称变换及用坐标表示轴对称
[关于坐标轴对称]
点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y)
点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标是(-x,y)
[关于原点对称]
点P(x,y)关于原点对称的点的坐标是(-x,-y)
典例:
已知:
△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)把△ABC向下平移2个单位长度得到
,请画出
;
(2)请画出
关于y轴对称的
,并写出A2的坐标.
考点四、作一个图形关于某条直线的轴对称图形
(1)作出一些关键点或特殊点的对称点.
(2)按原图形的连接方式连接所得到的对称点,即得到原图形的轴对称图形
典例:
1、如图,Rt△ABC,∠C=90°,∠B=30°,BC=8,D为AB中点,P为BC上一动点,连接AP、DP,则AP+DP的最小值是
2、已知等边ABC,E在BC的延长线上,CF平分∠DCE,P为射线BC上一点,Q为CF上一点,连接AP、PQ.若AP=PQ,求∠APQ是多少度?
考点五、线段垂直平分线的性质
典例1、如图,△ABC中,∠A=90°,BD为∠ABC平分线,DE⊥BC,E是BC的中点,求∠C的度数。
2、如图,△ABC中,AB=AC,PB=PC,连AP并延长交BC于D,求证:
AD垂直平分BC
3、如图,DE是
ABC中AC边的垂直平分线,若BC=8厘米,AB=10厘米,则
EBC的周长为()
A.16厘米B.18厘米C.26厘米D.28厘米
4、如图,∠BAC=30°,P是∠BAC平分线上一点,PM∥AC,PD⊥AC,PD=28,则AM=
3题图4题图
5、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线交BC于D.过C点作CG⊥AB于G,交AD于E.过D点作DF⊥AB于F.下列结论:
①∠CED=∠CDE;②
︰
︰
;③∠ADF=2∠ECD;④
;⑤CE=DF.其中正确结论的序号是()
A.①③④
B.①②⑤
C.③④⑤
D.①③⑤
考点六、等腰三角形的特征和识别
典例1、如图,△ABC中,AB=AC=8,D在BC上,过D作DE∥AB交AC于E,DF∥AC交AB于F,则四边形AFDE的周长为______。
2、
如图,△ABC中,BD、CD分别平分∠ABC与∠ACB,EF过D且EF∥BC,若AB=7,BC=8,AC=6,则△AEF周长为()
A.15B.14C.13D.18
3、
如图,点B、D、F在AN上,C、E在AM上,且AB=BC=CD=ED=EF,∠A=20o,则∠FEB=________度.
2题图3题图
4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则它的一个底角的度数是_____________
5、△ABC中,DF是AB的垂直平分线,交BC于D,EG是AC的垂直平分线,交BC于E,若∠DAE=20°,则∠BAC等于°
6、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发,能将其剪成两个等腰三角形纸片,则原等腰三角形纸片的底角等于
7、已知,在△ABC中,∠ACB=90°,点D、E在直线AB上,且AD=AC,BE=BC,则∠DCE=度.
8、如图:
在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F。
试说明DE=DF。
9、如图,E在△ABC的AC边的延长线上,D点在AB边上,DE交BC于点F,DF=EF,BD=CE.求证:
△ABC是等腰三角形.
10、已知:
如图,△ABC中,∠ACB的平分线交AB于E,EF∥BC交AC于点F,交∠ACB的外角平分线于点G.试判断△EFC的形状,并说明你的理由.
11、如图,△ABC中,AB∥DC,AD=DC=CB,AD、BC的延长线相交于G,CE⊥AG于E,CF⊥AB于F.
(1)请写出图中4组相等的线段(已知的相等线段除外);
(2)选择
(1)中你所写出的一组相等线段,说明它们相等的理由.
考点七、等边三角形的特征和识别
典例1、下列推理中,错误的是( )
A.∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形
B.∵AB=AC,且∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形
C.∵∠A=60°,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形
D.∵AB=AC,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形
2、如图,等边三角形ABC中,D是AC的中点,E为BC延长线上一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M。
求证:
M是BE的中点。
3、已知△ABC是等边三角形,分别在AC、BC上取点E、F,且AE=CF,BE、AF
交于点D,则∠BDF=_________度
4、如图,点P是等边△ABC内一点,点P到三边的距离分别为PE、PF、PG,等边△ABC的高为AD,
求证:
PE+PF+PG=AD
5.如图,D、E、F分别是等边△ABC各边上的点,且AD=BE=CF,则△DEF的形状是()
A.等边三角形B.腰和底边不相等的等腰三角形
C.直角三角形D.不等边三角形
变式题:
如图,D、E、F分别是等边△ABC各边上的点,FE⊥BC,DF⊥AC,ED⊥AB,垂足分别为点E,F,D,求证:
△DEF为等边三角形。
6.如图8-2,B、C、D在一直线上,ΔABC、ΔADE是等边三角形,若CE=15cm,CD=6cm,则AC=_____,∠ECD=_____.
7、如图,C为线段AE上一动点(不与点A、E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下六个结论:
AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°;⑥CO平分∠AOE.其中不正确的有()个
A.0B.1C.2D.3
考点八、30°所对的直角边是斜边的一半
典例
1、如图,是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=8m,∠A=30°,则DE等于()
A.1mB.2mC.3mD.4m
2、如图:
△ADC中,∠A=15°,∠D=90°,B在AC的垂直平分线上,AB=34,则CD=()
A.15B.17
C.16D.以上全不对
3、一张折叠型方桌如图甲,其主视图如图乙,已知AO=BO=40cm,C0=D0=30cm,现将桌子放平,两条桌腿叉开的角度∠AOB刚好为120°,求桌面到地面的距离是多少?
甲
4、如图,AB=AC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∠BAC=120o,BC=6,则DE+DF=
5、在
中,
,
的垂直平分线交
于点
,交
于点
.如果
,求
的长
考点九:
折叠问题
基本图形:
1.将矩形ABCD沿着对角线AC对折,则三角形AFC是三角形。
变形:
若矩形ABCD中,AB=6,AD=3,求三角形AFC的面积。
2.将矩形ABCD沿着EF对折,使点B与点D重合,若AB=8,AD=10,求折痕EF的长。
典型例题剖析:
1.(2006内江市3分)如图
(1)将矩形纸片ABCD沿AE折叠,使点B落在直角梯形AECD的中位线FG上,若AB=
,则AE的长为()
A.
B.3C.2D.
2.(2006汉川市3分)将正方形纸片两次对折,并剪出一个菱形小洞后铺平,得到的图形是
误区点拨
一、轴对称图形的概念不清
1、下列轴对称图形中,对称轴条数最少的是( )
A、等腰直角三角形B、等边三角形
C、正方形D、长方形
考点:
轴对称图形。
分析:
根据轴对称图形的概念求解,确定各个图形有几条对称轴.
解答:
解:
A、等腰直角三角形有一条对称轴;
B、等边三角形有三条;
C、正方形有四条;
D、长方形有两条对称轴.
故选A.
点评:
掌握好轴对称的概念.
轴对称的关键是寻找对称轴,两边图象折叠后可重合.
2、下列说法错误的是( )
A、等边三角形有3条对称轴B、正方形有4条对称轴
C、角的对称轴有2条D、圆有无数条对称轴
考点:
生活中的轴对称现象。
分析:
根据等边三角形,正方形,角,圆的轴对称性,即可作出判断.
解答:
解:
A、等边三角形的对称轴是各边的中垂线,有3条,故正确;
B、正方形对称轴是边的中垂线与经过相对顶点的直线,共有4条,故选项正确;
C、角的对称轴是角的平分线所在的直线,只有一条,故错误;
D、圆的对称轴是经过圆心的直线,有无数条,故正确.
故选C.
点评:
本题考查生活中的轴对称问题,正确理解常见的几个图形的性质是解题的关键.
3、对称现象无处不在,请你观察下面的四个图形,它们体现了中华民族的传统文化,其中,可以看作轴对称图形的有( )
A、1个B、2个
C、3个D、4个
考点:
轴对称图形。
分析:
根据轴对称图形的概念求解.
解答:
解:
图中的第一个,第三个和第四个图形为轴对称图形,第二个图形既是轴对称又是中心对称图形.
故选D.
点评:
掌握好轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.
4、(2002•吉林)下列图形中,轴对称图形的个数有( )
A、4个B、3个
C、2个D、1个
考点:
轴对称图形。
分析:
根据轴对称图形的概念,得等边三角形一定是轴对称图形.此题主要是分析等边三角形内部的图形即可.
解答:
解:
第一个、第三个、第四个是轴对称图形.故选B.
点评:
看组合图形的对称性,一定要注意观察各部分的对称性.
二、轴对称的性质不清
例、指出下列图形中的轴对称图形,画出它们的对称轴.
考点:
作图-轴对称变换。
专题:
作图题。
分析:
根据轴对称的性质确定轴对称图形,再画出对称轴.
解答:
解:
点评:
解答此题要明确轴对称的性质:
①对称轴是一条直线
②垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线,或中垂线.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
③在轴对称图形中,对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等.
④在轴对称图形中,对称轴把图形分成完全相等的两份.
⑤如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
三、等腰三角形的性质
例1、等腰三角形的周长为20厘米,其中一边长为8厘米,则腰长为( )
A、6厘米B、8厘米
C、6厘米或8厘米D、以上都不对
考点:
等腰三角形的性质。
分析:
等腰三角形的一边长为8,但没有明确指明是底边还是腰,因此要分两种情况,分类讨论.
解答:
解:
∵等腰三角形的一边长为8,周长为20,
∴当8为底时,其它两边都为6、6,8、6、6可以构成三角形;
当8为腰时,其它两边为8和4,8、8、4可以构成三角形.
∴腰长是6cm或8cm.
故应选C.
点评:
本题考查了等腰三角形的性质;解题中涉及分类讨论的思想方法.求三角形的周长,不能盲目地将三边长相加起来,而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯,把不符合题意的舍去.
例2、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则这个等腰三角形的一个底角的度数为 65°或25° .
考点:
等腰三角形的性质;三角形内角和定理。
分析:
本题已知没有明确三角形的类型,所以应分这个等腰三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论.
解答:
解:
当这个三角形是锐角三角形时:
高与另一腰的夹角为40,则顶角是50°,因而底角是65°;
当这个三角形是钝角三角形时:
高与另一腰的夹角为40°,则顶角的外角是50°,则底角是25°.
因此这个等腰三角形的一个底角的度数为25°或65°.
故填25°或65°.
点评:
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理;等腰三角形的高线,可能在三角形的内部,边上、外部几种不同情况,因而,遇到与等腰三角形的高有关的计算时应分类讨论.
四、对称轴的概念混淆
例、下列语句中,正确的是( )
A、等腰三角形底边上的中线就是底边上的垂直平分线B、等腰三角形的对称轴是底边上的高
C、一条线段可看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形D、等腰三角形的对称轴就是顶角平分线
考点:
三角形的角平分线、中线和高。
分析:
在三角形中,高、中线对应的都是一条线段,而角平分线对应的是一条射线.垂直平分线对应的是直线、对称轴对应的同样为一条直线,根据各种线之间的对应关系即可得出答案.
解答:
解:
A、三角形中,中线是连接一个顶点和它所对边的中点的连线段,而线段的垂直平分线是直线,故A错误;
B、三角形的高对应的是线段,而对称轴对应的是直线,故B错误;
C、线段是轴对称图形,对称轴为垂直平分线,故C正确;
D、角平分线对应的是射线,而对称轴对应的是直线,故D错误.
故选择C.
点评:
本题考查了三角形的基本性质,在三角形中,高、中线对应的都是一条线段,而角平分线对应的是一条射线.这些都属于基本的概念问题,要能够吃透概念、定义.
五、线段垂直平分线的性质8、△ABC中AC>BC,边AB的垂直平分线与AC交于点D,已知AC=5,BC=4,则△BCD的周长是( )
A、9B、8
C、7D、6
考点:
线段垂直平分线的性质。
分析:
要求△BCD的周长,现有BC=4,只要求出CD+BD即可,根据垂直平分线的性质得BD=AD,于是得到CD+BD=AC,答案可得.
解答:
解∵D在AB的垂直平分线上,
∴AD=DB,
∴△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=9.
故选A.
点评:
本题考查的知识点为:
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等;对线段进行等效转移时正确解答本题的关键.
六、镜面对称性质
例、一天小刚照镜子时,在镜子中看见挂在身后墙上的时钟,如图,猜想实际的时间应是 4:
15 .
考点:
钟面角。
分析:
根据镜面对称的性质求解,在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒,且关于镜面对称.
解答:
解:
根据镜面对称的性质,题中所显示的时刻与4:
15成轴对称,所以此时实际时刻为4:
15.
点评:
本题考查镜面反射的原理与性质.解决此类题应认真观察,注意技巧.
方法指导
类型一:
对称轴问题
例1.观察下图中的图案,问这些轴对称图形,各有几条对称轴?
思路点拨:
对于一个图形的对称轴一定要按定义全方位地去找或按照定义实际操作一下,否则就容易造成漏解或找不到对称轴.
解:
举一反三:
【变式1】试说出下列图形的对称轴的条数.
(1)线段;
(2)角;(3)平行线(两条).
解析:
类型二:
轴对称图形的作法
例2.已知△ABC,直线l.求作
,使
和△ABC关于l对称.
思路点拨:
作一个图形关于已知直线的对称图形关键是作出一些特殊点关于已知直线的对称点,所谓的特殊点,即可以决定图形的大小和形状的点,一般来说一个多边形的特殊点就是它的各个.
作法:
举一反三:
【变式】把图中的图形补成以l为对称轴的轴对称图形.
解析:
类型三:
中垂线问题
例3.如图所示,在△ABC中,AC=10cm,AB的中垂线交AB于E,交AC于D,
△DBC的周长为16cm,求BC的长.
思路点拨:
欲求BC长,只需求出DB+DC.而DE垂直平分,故
,此题可解.
解析:
举一反三:
【变式1】如图所示,AD垂直平分BC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F.求证DE=DF.
思路点拨:
欲证DE=DF,只需证AD是∠BAC的平分线.而AD是BC中垂线可得B、C两点关于对称,故△ABD和△ACD关于对称,则可得∠BAD
=.
证明:
【变式2】如图所示,在道路OA、OB的交叉区域内有M、N两所学校,现在要在此区域内建一图书馆P,使它到两条道路距离相等,并且到两所学校距离也相等,求P点位置.
思路点拨:
P点到OA、OB距离相等,只需P在上即可.P到M、N距离相等,只需P点在上即可.
解:
类型四:
最短路问题
☆☆例4.在锐角∠AOB内有一定点P,试在OA、OB上确定两点C、D,使△PCD的周长最短.
思路点拨:
△PCD的周长等于PC+CD+PD,要使△PCD的周长最短,根据两点之间线段最短,只需使得PC+CD+PD的大小等于某两点之间的距离,于是考虑作点P关于直线OA和OB的对称点E、F,则△PCD的周长等于线段EF的长.
解析:
举一反三:
【变式】草原上两个居民点A、B在河流a的同旁,一汽车从A出发到B,途中需要到河边加水.汽车在哪一点加水,可使行驶的路程最短?
在图上画出该点.
思路点拨:
若P为直线a上的点,则要使PA+PB最小与线段有关的结论是两点之间
最短,当把PA+PB转化成为一条线段时,点P就是符合条件的点.
解析:
类型五:
坐标系中的对称问题
例5.如图,
(1)请写出△ABC中各顶点的坐标.
(2)在同一坐标系中画出直线m:
x=-1,并作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′.(3)若P(a,b)是△ABC中AC边上一点,请表示其在△A′B′C′中对应点的坐标.
思路点拨:
直线m:
x=-1表示直线m上任意一点的横坐标都等于,因此过点(-1,0)作_____轴的平行线即直线m.画出直线m后,再作点A、C关于直线m的对称点A′、C′,而点B在直线m上,则其关于直线m对称的点B′就是.
解析:
举一反三:
【变式】如下图,一束光线从y轴上的点A(0,2)出发,经过x轴上点C反射后经过点B(6,6),则光线从点A到点B所
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- 轴对称 图形 复习 指导