高数高等教育出版社第一版第二章习题详解参考.docx
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高数高等教育出版社第一版第二章习题详解参考
第二章习题解答参考
习题2-1
1.设f(x)=8x,试按定义求f
(1).
解
2.设
f
1
xf1
lim
81x8
.
f
(1)=lim
8
x0
x
x
0
x
2
bx
c,其中a,b,c为常数.按定义求f(x).
f(x)=ax
解
f
x
f
x
x
f
x
=lim
x
x
0
2
2
a
x
x
b
x
x
c
ax
c
bx
lim
x
x
0
2ax
x
a
x
2
bx
2ax
b.
lim
x
x
0
3.证明(sinx)=cos
x.
证
设f
x
sin
x,
则f
x
x
f
x
sin
x
x
sinx
2cos
x
x
x
sin
2
2
2cos
x
sin
x
f
x
x
f
x
x
2
f
x
lim
2
lim
x
x
x
0
x
0
sin
x
x
2
limcos
x
cosx
,
2
x
2
x
0
所以(sinx)=cosx.
4.下列说法可否作为
f(x)
在x0可导的定义?
f(x
0h)
f(x0
h)
(1)lim
h
存在;
h0
解
不能.因为从极限式中不能判断
fx0存在,也不能判断
lim
f(x0h)f(x0)存在.
h
0
h
1
例如fx
x在x
0点不可导,但lim
f(0
h)
f(0h)
h
h
lim
0
h0
h
h
0
h
却存在.
(2)lim
f(x0
h)
f
(x0)和
lim
f(x0
h)
f
(x0)存在且相等;
h
0
h
h0
h
解
可以.因为lim
f(x0
h)
f(x0)
f
x0
,
h
h
0
lim
f(x0
h)
f(x0)
f(x0
h)
f(x0
)
f
x0,根据导数存在的充要
h
lim
h
h0
h
0
条件,可知f
x0
存在.
5.求下列函数的导数:
(1)y
x5;
(2)y
1
;
(3)
x
2
3
2
(4)y
log1
x;
(5)y
x
x
;
(6)
3
x5
解
(1)y
5x51
5x4;
yx
3
7
x;
ylgx.
(2)
(3)
(4)
1
1
3
1
y
x2
2
;
x
2
2xx
22
15
22x27x;
y
x7
22x7
7
7
y
1
1
;
1
xln3
xln
3
(5)
(6)
2
5
1
1
5
1
2
y
x3
2
x6
6
x6
6
;
5
6
x
1
y.
xln10
6.已知物体的运动规律为st3(米),求这物体在t2(秒)时的速度.
解因为st
3,v
ds
3t2,所以t2时,v2
32
2
12.
dt
7.如果f(x)为偶函数,且f(0)存在,证明f(0)=0
.
2
证因为f
(0)=
lim
f
x
f
0,而f(x)为偶函数,故f(
x)f(x),
x
0
x
所以f(0)
lim
f
x
f
0
f
xf0
,
0
lim
f(0)
x
x
x0
x
所以f(0)=0
.
8.抛物线yx2在哪一点的切线平行于直线y4x5?
在哪一点的切线垂
直于直线2x
6y
5
0?
解由y
x
2,可得y
2x,若切点为
x0,x02,则依题设2x0
4,即x02
时,切线平行于直线
1
1,即x0
3
y4x
5;2x0
时,切线垂直于直线
3
2
2x6y5
0;
所以抛物线
切线垂直于直线
y
x
2在点
2,4的切线平行于直线y
4x5?
在点
3
9
的
2
4
2x
6y5
0.
9.在抛物线yx2上取横坐标为x11及x23的两点,作过这两点的割线,
问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线?
解
由题设可知y
2x
,所取的两点为1,1
,3,9,连接两点的直线斜率
为k
4,依题设,应有2x
4,即x
2,所以所求点为
2,4
.
10.如果y
fx
在点
4,3
处的切线过点
0,2,求f
4
.
解
依题设,曲线在点
4,3
处的切线为y
3
f
4
x
4,
满足2
3f
4
0
4
,从而
f4
1
.
4
11.讨论下列函数在x
0处的连续性与可导性:
x
2
1
x
0,
(1)y
3x;
(2)y
sin
x
0,
x
0.
解
(1)因为lim
3x
0
y
0,所以y
3x
在x
0点连续,
x
0
3
x
1
,所以y
3x在x
0点不可导;
而lim
x
lim
0
2
x0
x
x3
3
2
1
(2)因为lim
x
2
sin
1
0
y0,所以y
x
sin
x,
x
0,在x
0点连续,
x
0
x
0,
x
0.
2
1
1
xsin
1
2
x
0,
又lim
x
0
,所以y
xsin
x
在x
0
点可导.
limxsin
x
0
x
x
0
x
0,
x
0.
12.设f(x)=
sin
x,
x
0
在x
0
处可导,求a,
b的值.
ax
b,
x
0
解
因为f(x)=
sin
x,
x
0
0处可导,
ax
b,
x
在x
0
所以lim
f(x)
f
0
,且f
0
f
0
,
x
0
又lim
f(x)
0
,lim
f(x)
b,f
0
b,故b
0,f
0
0,
x0
x
0
从而f
0
lim
f
x
f0
lim
sin
x
1,
x
x
x
0
x0
f
0
lim
f
x
f
0
lim
ax
a,所以a
1
.
x
x
x0
x0
2
13.已知f(x)
x
x
0,求f
(0)
,f
(0)和f
(0)
.
x,
x
0
2
0
f(x)
f0
x2
解
因为f(x)
x,x
,所以f
(0)
lim
lim
0,
x,
x
0
x
x
x0
x0
f
(0)
f
(x)
f
0
lim
x
1,所以f
(0)
不存在.
lim
x
x
x
0
x
0
14.设函数f(x)=
x3
x
0
,求f(x)
.
3
x
0
x
解当x
0时,f(x)
3x2,当x
0时,f(x)
3x2,
当x
0时,f
(0)
lim
f
x
f0
lim
x3
0
,
x
x
x
0
x0
f
(0)
lim
f
x
f
0
lim
x3
0,所以f
(0)
0
,
x
x
x
0
x0
2
所以f
(x)=
3x
x
0
.
3x2,
x
0
4
15.设所给的函数可导,证明:
(1)奇函数的导函数是偶函数;偶函数的导函数是奇函数;
(2)周期函数的导函数仍是周期函数.
证
(1)设f
x
为奇函数,则f
x
f
x,
而f
f
x
h
f
x
,
xlim
h
h0
f
x
lim
f
x
h
f
x
f
xh
f
x
h
lim
h
h
0
h
0
f
x
h
f
x
f
xh
f
x
x
,
lim
h
lim
h
f
h
0
h0
所以fx为偶函数;
相似地,若f
x
为偶函数,则
f
x
f
x
,于是
f
x
lim
f
x
h
f
x
f
x
h
fx
h
lim
h
h
0
h0
lim
f
x
h
f
x
f
x
,所以f
x
为奇函数.
h
h0
(2)设f
x
为周期函数,则存在T,使f
xT
f
x
,则
f
x
T
fxT
h
fxT
fxh
fx
f
x,
lim
h
lim
h
h
0
h
0
所以f
x
也是以T
为周期的周期函数.
16.设有一根细棒,取棒的一端作为原点,棒上任意点的坐标为
x.于是分
布在区间[0,x]上细棒的质量m是x的函数m
m(x).应怎样确定细棒在点
x0处
的线密度(对于均匀细棒来说,单位长度细棒的质量叫这细棒的线密度)
?
解
设在x0
处的线密度为
x0
,给x0
以x的增量,
则在区间[x0,x0
x]上细棒的平均线密度为
mx0
x
mx0
,
x
故x0
m
x0
x
m
x0
m
x0.
lim
x
x0
17.证明:
双曲线xy
a2
上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积
都等于2a
2.
5
2
2
2
证
由xy
a2
可得y
a
x
0,于是y
a2,x
0,若切点为
x0,
a
,
x0
x
x
则该点处的切线为
y
a2
a2
x
x0
,它与两坐标轴的交点分别为
2x0,0
,
x0
x02
2
2
0,
2a
,所以所求三角形的面积为
S
1
2x0
2a
2a
2.
x0
2
x0
18.设函数f
(x)在x
0处可导,试讨论函数|f(x)|在x
0处的可导性.
解
因为函数f
(x)在x
0处可导,所以lim
f(x)
f0
f
0
存在,
x
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