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数理金融知识总结.docx
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数理金融知识总结
数理金融知识总结
篇一:
金融数学心得体会
金融数学心得体会
金融数学,又称分析金融学、数理金融学、数学金融学,是20世纪80年代末、90年代初兴起的数学与金融学的交叉学科。
它的研究对象是金融市场上风险资产的交易,其目的是利用有效的数学工具揭示金融学的本质特征,从而达到对具有潜在风险的各种未定权益的合理定价和选择规避风险的最优策略。
它的历史最早可以追朔到1900年,法国数学家巴歇里埃的博士论文“投机的理论”。
该文中,巴歇里埃首次使用Brown运动来描述股票价格的变化,这为后来金融学的发展,特别是为现代期权定价理论奠定了理论基础。
不过他的工作并没有得到金融数学界的重视。
直到1952年马科维茨的博士论文《投资组合选择》提出了均值——方差的模型,建立了证券投资组合理论,从此奠定了金融学的数学理论基础。
在马科维茨工作的基础上,1973年布莱克与斯科尔斯得到了著名的期权定价公式,并赢得了1997念得诺贝尔经济学奖。
它对于一个重要的实际问题提供了令人满意的答案,即为欧式看涨期权寻求公平的价格。
后两次发现推动了数学研究对金融的发展,逐渐形成了一门新兴的交叉学科,金融数学。
在本学期的金融数学课程当中,我们学习了二叉树无套利定价模型、条件期望、鞅过程、马尔科夫过程、风险中性定价与概率测度等知识。
下面就某些问题给出我的理解。
鞅理论的引入是现代金融理论最新的研究成果。
1977年,哈里森和柯瑞普斯提出了期权定价理论的鞅方法,他们用鞅论中的鞅测度概念来刻画无套利市场和不完全市场,并用等价鞅测度对期权进行定价和套期保值或对冲。
他们证明了市场无套利的重要条件是等价鞅测度存在,市场完备的重要条件是等价鞅测度存在且唯一。
在市场是有效的假定下,证券的价格可以等价于一个鞅随机过程。
他们利用等价鞅测度的概念研究衍生证券的定价问题,得到的结果不仅能深刻揭示金融市场的运行规律,而且可以提供一套有效的算法,求解复杂的衍生金融产品的定价与风险管理问题。
鞅表达了对未来股价贴现值的最好估计就是当前股价,这符合有效市场和完全市场的假设。
有效市场要求当前价格反应了所有市场信息,因此,未来的信息不会对当前股价产生影响,其价格过程应该是个适应过程,适应是随机过程能够使用的基本条件;另外有效市场要求投资者个体行为不应对价格产生影响,因此这时的价格是合理价格,而合理的价格不应该有套利机会,如果当前价值不等于未来现金流的贴现,比如大于未来现金流,在完全市场下,我们可以通过较低的财富构建组合,复制股票未来的现金流,获得套利;反之同样可以构造套利策略。
因此在风险中性测度下,股价的贴现
过程是一个鞅,投资于股票和货币市场账户的任何资产组合的贴现价格都是鞅。
在真实概率测度下,股票价格是一个下鞅,因为事实上其平均增长速度应该高于货币市场以补偿投资者的内在风险。
利用鞅理论研究金融理论的另一个好处是它能够较好地解决金融市场不完备时的衍生证券定价问题,从而使现代金融理论取得了突破性的进展。
目前基于鞅方法的衍生证券定价理论在现代金融理论中占主导地位,但在国内还是一个空白。
马尔科夫性就是过程(或系统)在时刻t所处的状态为已知的条件下,过程在时刻t所处状态的条件分布与过程在时刻t之前所处的状态无关。
通俗的说,就是在已经知道过程“现在”的条件下,其“将来”不依赖于“过去”。
在有效市场下,股票应该满足马氏性,因为有效市场假设当前价格已经反映了所有市场信息,即所有历史信息和新发布的市场信息都已经反映在当前价格上,研究历史价格对未来的预测不会有帮助,自然对未来价格的估计只依赖当前的信息。
股票价格的马尔科夫性保证了该衍生证券的价格过程不是路径依赖的。
马尔可夫性的存在大大缩减了我们需要处理的信息量,为了预测未来,我们只需要直到今天的数据,而不用存储繁杂的历史数据。
有限个马尔科夫过程的整体称为马尔科夫链,它可以看作在时间集上对状态过程相继观察的结果。
马尔科夫链的运动变化分析,主要是分析研究链内有限马尔科夫过程的状态及相互关系,进而预测链的未来状况。
马尔科夫预测法是根据事件的目前状况预测其将来各个时刻(或时期)变动状况的一种预测方法。
常用于对地理、天气、市场的预测。
最优停时理论是概率论体系中一个具有很强的实用性领域,近年来,不少金融学家和金融数学家将这一理论与现代的投资组合理论相结合,取得了不错的成绩。
如果我们把停时定义为做某件事情的时间,则停时的定义表明我们要不要在t时刻做这件事取决于t时刻及之前我们所能获得信息。
从这个意义上看,停时可以有很多应用:
买入股票的时间;卖出股票的时间;一支股票被ST的时间;公司发生违约的时间。
在违约停时的应用中,我们通过给出违约风险的结构模型中对违约时间的定义以及它与停时的关系,学习了两种信用风险模型:
merton(1973)和首中时模型(Black&cox(1976))在二叉树模型中违约概率的估计原理。
merton的模型考虑违约只发生在到期时刻的概率,则该时刻就是一个停时。
为了完善merton模型对违约发生在该时间未结束情况下的漏洞,(Black&cox)提出了首时中模型,假设违约可在到期前任何时刻发生。
通过相同模型,我们可以给出不同公司的信用评估。
在美式看跌期权的应用中,由于美式衍生证券允许持有人在到期日之前的任何时刻行权,这就使得美式衍生证券在任何时刻的价值至少不低于其持有人即刻行权所获得的支付,即所谓内在价值。
在风险中性概率测度下,美式衍生证券的贴现过程是一个上鞅。
其持有人应该在衍生证券衍生证券价值等于内在价值的第一时刻行权。
它的行权策略就是一个
停时。
(即行权策略可以依赖于以往的股价变动,但必须在无法看到未来股价变动的情况下决策)。
一旦停时被选定,就能计算相应于这一停时的衍生证券支付贴现过程的风险中性期望值。
美式衍生证券的价值是(相应于所有停时)支付贴现过程风险中性期望的最大值。
将鞅、上鞅、下鞅停止于停时所得到的停时过程仍然具有相同的倾向。
拉东——尼科迪姆导数为我们提供了一个从真实概率测度到风险中性概率测度的变换,以及在有限概率模型中从一个概率测度到另一个概率测度的变换。
利用这个概念我们可以将不同概率测度下的期望和条件期望联系起来,使我们不再把风险中性环境和真实概率环境割裂开来,让我们知道对于真实概率下的金融问题如何和风险中性环境结合起来解决,比如最优投资决策问题。
从拉东——尼科迪姆导数我们又推导出状态价格的概念。
状态价格的意义在于当且仅当出现在w时在时刻n的支付为1的合约在时刻0的价格。
这个价格不依赖概率测度,体现了资产价格与期望回报以及所承受的风险有关。
状态价格有一个好处,如果我们知道了每一个状态的价格,任何n时刻支付的合约,其在0时刻的价格就等于状态价格的线性组合。
拉东——尼科迪姆导数过程不但给出了在局部信息空间上测度变换的Radon-nikodym导数,而且将不同测度下的条件期望联系起来。
这样无论我们是现在对未来价值估计,还是在未来某个时刻对更长时间后的价值进行估计,我们都能够将风险中性下的估计和真实概率下的估计联系起来。
在最近的十几年里,金融数学的研究受到了前所未有的重视。
人们越来越深刻的认识到,数学已成为金融学研究中随处可见的关键技术。
而同时金融学的发展也为数学知识和技巧的运用提供了重要的平台。
当今各种金融创新产品不断出现,对金融数学这一学科来说既是增加了新的动力又是对各种理论的挑战。
金融危机的发生,一个很重要的因素就是对不断出现的金融创新产品的滥用,金融数学作为解决金融衍生产品定价的工具,需要创造出来既严谨科学又可造作运用符合实际的经济模型。
因此我们在创造和使用金融数学理论时应该将其与实际金融产品和金融市场有机结合起来,这样,金融数学这一新兴的生命力强的创造力大的学科才能更好的给金融市场添加强有力的稳固的基石。
篇二:
20XX北大经院金融硕士考研复习心得
20XX北大经院金融硕士考研复习心得凯程金融硕士辉煌的战绩:
凯程已经在金融硕士树立了不可撼动的优势,凯程在20XX年考研中,清华五道口金融学院考取13人,清华经管6人,北大经院金融硕士8人,人大和贸大各15人,中财金融硕士10人,复旦上交上财等名校18人,成功源自凯程专业的辅导,对金融硕士的深刻把握,虽然凯程的金融硕士费用有点贵,但是效果是非常显著的,考取名校金融硕士的学生,大多数是跨专业,且有不少学生来自二本三本院校,在凯程他们实现了名校梦,有意向考金融硕士的同学,可以到凯程的官方网站查看他们的经验谈视频,注意是经验谈视频,很多机构说自己辅导了多少学生,他们网站一个视频经验谈都没有,说明他们没有成功案例,没有辅导经验,请同学们和家长们慎重选择。
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凯程徐老师:
各位同学大家好,我是凯程的徐老师。
在我们今天的成功学员访谈过程当中呢,特意邀请到了考入北大经济学院金融硕士的王ry同学,也就是坐在我旁边的这位同学。
首先先请王zy同学做一个自我介绍。
凯程学员王zy:
各位同学好,我叫王zy,我今年考研我选择了报考北京大学经济学院的金融硕士。
考北大这个经济学院的第一个原因是在高考的时候我就一直想考北大。
但是因为高考失利就没有考上,然后就一直想要在研究生阶段考上北大。
我选择这个经济学院,其实因为北大(包括其它一些相关的学院)考专业课的时候比较偏重数理。
因为我本科专业是数理经济与数理金融,我们本科期间不管是上课还是考试,它的风格都是跟经济学院考研的专业课风格比较一致。
所以说就选择了这个经济学院,我觉得可能比较适合我。
然后我是从去年的7、8月份开始这么一个系统的复习。
但是因为我是本专业嘛,如果是对于跨专业的同学,我还是推荐,复习时间可能需要花一年或者至少接近一年的时间,这样可能比较充足。
凯程徐老师:
很好。
凯程学员王zy:
我初试总分是377分,是排23名,其实这个初试排名不是特别靠前,但我复试是第二名,然后总分现在是第四,所以最后就被北大经济学院成功地录取,大概是这么一个情况。
凯程徐老师:
非常恭喜你。
凯程学员王zy:
谢谢老师。
凯程徐老师:
尤其是我们可以看到复试这一边,我们如果把复试好好认真去对待,早早作准备,那么我们是可以让自己的名次向前提升的,其实我觉得你给很多同学做了一个很好的榜样了。
尤其王ry同学也是我们凯程集训营ViP学员,那么我接下来要问的第一个问题就是,在咱们的辅导过程当中,你最大的一个收获是什么?
凯程学员王zy:
因为我是参加凯程复试集训营的,因为我刚才也说到了,我的这个初试排名其实不靠前,但是其实很大程度上是复试给我很大的一个提升。
因为我们这个复试比例是40%,初试是60%,但是因为初试的分数,总分是要先除以5,所以这个复试比重其实还是非常高的。
凯程徐老师:
对的。
凯程学员王zy:
然后在这个凯程培训,我觉得有一下几点:
第一个,因为我们是没有笔试,是面试。
面试就是他通过一些抽题,对你专业素养考察的综合性是比较强的。
在我们经济学院,它20XX年考的是宏微观的一些基础知识,然后20XX年是结合一些热点,可能跟课本结合的不是特别紧密,是通过热点来考察。
然后今年的话,它又有一个变化,主要是偏重《公司理财》和《国际金融》一些分析的知识,同时也结合一些热点来考。
所以我觉得在凯程复试集训营的收获是比较大的,比如说包括一些往届的学长学姐回来给大家讲解一些专业课的知识,还有一些金融方面的热点。
因为我们可能没有那么多精力去做这么好的一个总结,我觉得这个是有很大的帮助。
但是关于这个专业课的话,我觉得一方面是需要像凯程这样总结这么一个题点,我觉得很重要。
但是更多地还是需要自己去继续学习,一旦这个复试考完了,如果觉得自己有希望进复试的话,就一定要尽早地去准备。
因为特别像经济学院,它这个考察没有一个明确的范围。
它综合性很强,就是大家一定要自己多去看。
第二个,因为我们这个是以面试的形式进行。
我觉得凯程对我帮助最大的就是有模拟面试。
我参加了大概4到5次的模拟面试。
因为对于绝大多数同学,都没有经历过考研的面试,所以这个很有必要。
凯程徐老师:
面试前的辅导?
凯程学员王zy:
对,所以我觉得多参加几次,把从进教室一直到退场整个流程过一遍,我觉得到时候你真正去面试的时候就不那么紧张。
因为像我的话,我每次参加模拟面试的时候,其实说实话我是很紧张的。
不是说表现不好,而是因为我把每次模拟都当做一个真正的面试。
我第一次面试都流了很多汗,特别紧张。
但是这样有一个好处是什么?
因为我这样4
到5次之后,我自己的心理上就已经有充分的准备了。
然后到真正那次面试的时候,其实我是不紧张的。
我是第一个参加面试的,面试我也跟很多同学交流,我们很多复试的同学,他们都说面试的时候特别紧张。
但是我就跟他们不一样,虽然我是第一个,但是我觉得我在整个过程中还是比较自信的。
凯程徐老师:
很淡定。
凯程学员王zy:
对。
然后精神状态也比较饱满,所以我面试的分数比较高可能和这点有很大关系。
凯程徐老师:
很好,我们是一下就跳到了讲复试这个环节啊。
我觉得ry今天给我的感觉是淡定自信,能够侃侃而谈。
可见,多练几次是很好的。
在我以往的接触当中,很多同学就觉得初试才需要培训,复试是不需要培训的。
尤其,有的同学觉得面试能怎么培训?
其实我觉得只要是我们考试当中任何一种形式,比如说面试或者抽签啊,只要我们及早去做准备,多做模拟,都是有它可培训的形式,希望同学一定要注意。
因为我们可以看到,ry在整个复试的过程当中,提分提得特别高,直接跻身到了前四名里,那么也就保证未来在北大的时候也是以很大的名次进去的。
我觉得这样是非常棒的一种情况。
刚才在你的自我介绍里面,我今天特别欣赏你的自我介绍。
为什么?
你不仅给大家梳理了一下你的考研分数,也很饱满地给大家说了我为什么想考这个北大的金融硕士。
我可以看到,你代表了一批学生,就是本科想圆清华北大梦,但是不小心没圆好,然后你想在研究生阶段再把它捡起来,然后再去圆梦。
凯程学员王zy:
对。
凯程徐老师:
所以很多同学都带有这样的情结在进行考试,那么我建议早复习,早准备。
既然你有这个梦想,那么就要全力以赴地去复习。
凯程学员王zy:
是。
凯程徐老师:
很好。
那么接下来我是这样想的,我们刚才把复试的一个基本情况都跟大家做了一个介绍。
当然你考的是本专业,还想请你再介绍一下本专业的各科经验,咱们分科来说好吧?
请先介绍下你的强项科目。
凯程学员王zy:
好,那我先跟大家说一下这个专业课吧。
因为北大经济学院它考研有一个风格,就是它没有范围,有的学院它可能给你指定书目,或者至少给你说一个大致的科目的范围。
但是北大经济学院它从来不会有这个范围。
但是根据近几年来看,因为它是20XX年开始改革,近几年的风格是考察《公司理财》、《投资学》和《数理统计》,还有《计量经济学》这四块。
因为一般的金融硕士它会考察国际金融和货币银行学这两科,但是因为经济学院我在准备的时候,我看它前两年的真题它没有考相关的内容。
甚至有别的同学说可能我们会考这个宏观、微观,但是我当时分析了一下,我就基本上没有复习宏观、微观、货银、国金,因为时间非常有限,我是从7、8月份才开始的。
凯程徐老师:
对,只有小半年的时间。
凯程学员王zy:
对,所以我就集中精力看了刚才我提到的那四个。
这个经济学院我还要再补充一点,就是它出的题每年都有一个你想不到的。
比如说今年我们就考了一个赫尔的那个《衍生品》,那本书里面的一个关于期权定价。
因为之前大家可能都看的是《公司理财》和《投资学》,所以我讲这个就是想提醒大家,关于这个数目它没有指定的,包括整本书。
有的同学就会问,我是看到哪一章就不看了?
我觉得只要时间允许的话就尽可能多看。
每一章它都有可能考到,只要是那种比较偏数理的,不是说那种偏问答的,它都可能考。
这个是我想讲的第一点,就是关于这个考试范围和科目。
然后第二点关于复习,我觉得因为北大经济学院考专业课的方式不像数学或者政治那么规范,那么系统,通过我总结,我觉得它的命题可能还是偏重于一些计算和证明。
其实我觉得这个专业课并不需要练特别多的题,有可能有的同学去买了一些习题,或者去网上找一些模拟题,我觉得北大经济学院考察方式还是希望你把课本上的理论脉络给弄清楚。
比如说,考的这个《公司理财》和《投资学》就是一些基本的理论模型,然后让你去计算。
像《公司理财》那本,就是罗斯的那本书,其实它的课后题我都做过。
它每一章的最后几道题其实都挺难的,但是其实考研的时候它考不到那么复杂。
所以我觉得,当然题也是要做,但是更多的是你要把理论给弄清楚,弄透彻。
然后像数理统计和计量经济学它不像光华,光华它考那个统计会偏向应用一些,可能是你自己去算或者怎么样。
但是经济学院它这个就考得非常重数理的证明,比如说今年就考了无偏性和一致性的证明。
实际上这种,我觉得还是像我刚才说的,做题当然也得做,但是更重要的是大家要把中间的这些证明还有各种定理之间的脉络或者思想给理清楚。
像数学统计的话,一般可能很多同学是看了浙大的蓝色的那本书,但是我觉得,特别是像今年的这个题目来看,我觉得这本书可能不太够,还是推荐大家去看茆诗松的一本白色的稍微厚一点的《数理统计》。
然后计量经济学的话,因为我本科我们学的《计量经济学》是学的伍德·里奇的那本书。
那本书比另一本叫古扎拉蒂那本书要深一点。
然后我就是看那本书,结合李子奈那本书,就是黄色的小一点的那个《计量经济学》,这两本结合来看。
我觉得因为经济学院还是像我刚才说的,它没有一个指定的书目,所以你一定要多看,融会贯通。
比如说看两本书你不一定要从头看到尾,因为两本书它的内容是相似的嘛。
比如说这本书上面有另一本书没有讲到的,你就这样交叉着看,这样体系会比较全面一些。
大致就是这些方面的经验了。
凯程徐老师:
好,ry上面讲的这几点综合是侧重一个知识的范围和怎么样选取参考书。
我想ry在一开始学习的时候可能碰到了这个困扰。
凯程学员王zy:
对。
凯程徐老师:
就是整个范围给师弟师妹们传达了之后,你在这一块上讲得非常得细致,包括用什么书,包括要去加入什么,很好。
我觉得我跟每个同学做这样经验访谈的时候,每个同学讲经验的侧重点都是不一样的。
我建议大家多听几个,那么你可以吸收到不同的师兄师姐的精华之处。
那么刚才你讲到的这个参考书,我建议大家一定要动笔记一下,都说得非常详细。
我们除了主干的时间看这些科目之外,考北大的话,有必要扩展新的经济学阅读,当你读得多一些,你考场上更容易驾驭时间。
那么这个时候,我想也可能会迎来另外一个问题,比如说我们好多同学,准备地说是所
有的同学,他觉得学一轮是会有很多忘记和不理解的地方,他需要反复学。
这样的话他在主干的这个科目里面,可能就已经耗尽了自己所有的时间,这样就没有时间再读一些额外的可以做补充性的东西。
据我个人做老师的经验,不是每个同学都有时间去做一个课外性的扩充。
那么针对这些同学,你有怎样的一个建议?
凯程学员王zy:
您就是说时间有限?
凯程徐老师:
对。
尤其是跨专业的学生啊,就是在刚才你介绍的统计啊,计量啊,包括《公司理财》和投资就已经觉得很多了。
就觉得学这些都学不完,我没有时间再去做师兄讲到的那几本阅读了。
那么这样的同学你有什么样的建议给他们?
凯程学员王zy:
这样的话我觉得《公司理财》就看罗斯那本,然后《投资学》就看博迪那本,计量就是我刚才说的那几本就任选一就可以了,就选那本伍德·里奇那本书就比较好。
统计我觉得如果大家没有统计基础的话,就学浙大的那本书,如果你想学得深一点,就看茆诗松那本。
然后像我说的赫尔《衍生品》那本书就是在你前面已经掌握得比较好的基础上再去阅读,如果前面几本书你还没有看的话,肯定是先看那四本,那四本是必然会考的。
凯程徐老师:
重中之重。
凯程学员王zy:
对,一定要把那些看完。
然后就是说,可能它会出一些题是从赫尔那本书考,你再有时候的话,就去看那个。
大概是这么一个情况。
凯程徐老师:
很好,我们把前面的参考书给大家说了一下。
还有一个就是分数的问题,在北大这边考专业课,历年来它的分数都不会像别的学校排得那么高。
凯程学员王zy:
对,比较低。
凯程徐老师:
比如说我们今年最好分,也就是119分是吧?
凯程学员王zy:
是。
凯程徐老师:
咱们ry是考了107,这个分数已经非常高了,一点都不低。
那么我想在考场上咱们未必是每一道题都能拿下来,因为它考的范围很广,它肯定要考一两个难度稍微高一点的题。
那么你要和别人比的是什么呢?
就是不会的东西大家都可能不会,那么我要把我会的地方,在咱们这几本参考书里的题一定要做会,这也是我们学习的一个基本办法。
凯程学员王zy:
是的。
凯程徐老师:
不要去拼难题,怪题。
我们就是把我们框框里面该做的题别失分,这才是我们考研的一个王道。
好,在专业课上,ry还有没有要补充的?
凯程学员王zy:
基本上就是这些了。
篇三:
关于金融数学的分析部分
队名:
数你最行队长:
梅旺
成员:
梅旺杨磊光赖楚廷叶肖丽郭良纯
关于金融数学的分析部分
金融数学方向概况
金融数学专业是汕头大学数学系09年新增的一个专业。
它是利用数学工具研究金融,进行数学建模、理论分析、数值分析等定量分析,以求找到金融学内在规律并用以指导实践。
金融数学也可以理解为现代数学与计算机技术在金融领域的应用,是金融学、信息学、工程学的一门交叉学科,发展很快,是目前十分活跃的前沿学科之一。
金融数学是一门新兴综合学科,越来越受到国际金融界和应用数学界的高度重视。
它主要培养适应现代市场需要、能对金融活动进行定量分析和科学预测的复合型金融人才。
该专业以数学方法和计算机技术为主要工具,研究和解决科技领域和社会经济领域中提出的实际问题。
培养具有扎实的数学基础理论、能够熟练借助数学工具和计算机技术解决实际问题,并具有发展潜力和广泛的适应性的高级专门人才.并为金融业提供具有定量分析财务能力的专业人才,它着重应用数学和统计学在金融系统中的应用。
该专业在利物浦大学已有多年历史,而且证明毕业生受业面广,极受银行、保险公司等金融机构的欢迎。
在20XX年该专业在中国首次出现,它将为中国乃至世界金融行业的快速发展提供急需的金融人才。
所有专业和专业方向在第1、第2学期都必修基础课程。
学习金融数学的根本目的在于应用数学工具去解决金融业界提出的有关风险管理、风险度量、衍生产品定价以及投资效益优化等各种问题。
这里应用是目的,建模是关键,随机分析与偏微分方程是基础,计算数学是工具。
把金融问题转化为数学问题。
为人们应用数学方法去解决实际问题提供了前提。
建模是解决金融问题的关键和起始点。
提高数学基本功的同时,加深学生对现代金融市场基本概念的理解,以提高对金融实际的“感觉”和直观能力。
数值计算能力就是利用计算机解决金融实际问题的能力。
应具备的专业素质技能
学习本专业后能具有扎实的数学基础知识,掌握数学和金融数学的基本理论与基本方法,了解金融数学发展的历史概况﹑新进展及应用前景,了解国家金融、保险等有关政策和法规,初步具备使用数学、金融数学及计算技术解决有关金融市场、投资决策、财务管理等方面的实际问题的能力。
方向的主要基础课程有:
数学分析、高等代数、解析几何、微观经济学、宏观经济学、金融数学、国际金融、金融时间序列分析、保险精算学、概率论、常微分方程、数学模型、数理统计等;主要选修课程有:
投资学、会计学、公司财务、数理经济学、多元统计分析、c语言、数据库管理系统
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