910研究性课题多面体欧拉定理的发现完美版.docx
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910研究性课题多面体欧拉定理的发现完美版
课题:
9.10研究性课题:
多面体欧拉定理的发现
(一)
教学目的:
1.了解多面体与简单多面体的概念、发现欧拉公式-
2.培养学生发现问题、探究问题、归纳总结能力.
教学重点:
欧拉公式的发现过程.
教学难点:
欧拉定义及其证明.
授课类型:
新授课•
课时安排:
1课时•
教具:
多媒体、实物投影仪*
内容分析:
本节为研究性课题.通过研究欧拉定理的发现过程,让学生了解欧拉公式及
其简单应用,扩大学生的知识面,培养学生学习数学的兴趣
教学过程:
一、复习引入:
1.欧拉生平事迹简说:
欧拉(Euler),瑞士数学家及自然科学家”1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭,自幼受父亲的教育,13岁入读巴塞尔大
学15岁大学毕业,16岁获硕士学位,1783年9月18日于俄国彼得堡去逝(详细资料附后)
2+多面体的概念:
由若干个多边形围成的空间图形叫多面体;每个多边形叫多面体的面,两个面的公共边叫多面体的棱,棱和棱的公共点叫多面体的顶点,连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线•
3•凸多面体:
把多面体的任一个面展成平面,如果其余的面都位于这个平面的同一侧,这样的多面体叫凸多面体•如图的多面体则不是凸多面体.
4.凸多面体的分类:
多面体至少有四个面,按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等.
二、讲解新课:
1•简单多面体:
考虑一个多面体,例如正六面体,假定它的面是用橡胶薄膜做
成的,如果充以气体,那么它就会连续(不破裂)变形,最后可变为一个球面•
如图:
象这样,表面经过连续变形可变为球面的多面体,叫做简单多面体+
说明:
棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体
2•五种正多面体的顶点数、面数及棱数:
正多面体
顶点数V
面数F
棱数E
正四面体
4
4
6
正六面体
8
6
12
正八面体
6
8
12
正十二面体
20
12
30
正二十面体
12
20
30
(1)
(2)⑶(4)
发现:
它们的顶点数V、面数F及棱数E有共同的关系式:
VF-E=2•
上述关系式对简单多面体都成立
3.欧拉公式的探究
V、面数F、和棱数E,并计算⑸
1•请查出图⑹的顶点数
V+F-E=6+6-10=2
2•查出图⑺中的顶点数V、面数F、和棱数E,并验证上面公式是否还成
立?
⑺⑻
3.假如图⑸t图⑻的多面体表面是像皮膜,向内充气则⑸⑹将变成一个
(9)
可以验证:
只有像⑸⑹这样,经过连续变形,表面能变为一个球面的多面体才满足公式V+F-E=2。
这个公式称为欧拉公式,这样的多面体称为简单多面体。
4.欧拉定理(欧拉公式):
简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E有关系式:
VF-E=2.
证明:
(方法一)
(10)
⑴如图⑽:
将多面体的底面ABCDE剪掉,抻成平面图形,其顶点、棱数,
面数(剪掉面用右图中ABCDE表示)均没有变,故所有面的内角总和不变。
⑵设左图中共有F个面,分别是ni,n2,,nF边形,顶点数为V,棱数为E,
则山•n2•11(•nF=2E•
左图中,所有面的内角总和为
(n,-2)180(n2-2)180“nF-2)180
=(mn2nF_2F)180
=(2E-2F)180
=(E-F)360
⑶右图中,所有面的内角总和为
V上360°+(V下一2)180°+(V下一2)180”(剪掉的底面内角和)
=(V上+V上-2)360—(V—2)360°
⑷(E-F)360=(V-2)360°
整理得V•F-E=2.
(方法二)以四面体ABCD为例来说明:
将它的一个面BCD去掉,并使其变为平面图形,四面体的顶点数V、棱
数E与剩下的面数(F-1)变形后都没有变,因此,要研究V、E和F的关系,只要去掉一个面,将它变形为平面图形即可
B
对平面图形,我们来研究:
(1)去掉一条棱,就减少一个面.例如去掉BC,就减少一个面ABC.同理,去掉棱CD、BD,也就各减少一个面ACD、ABD.
所以(F一1)—E、V的值都不变,因此V•(F一1)一E的值也不变+
(2)再从剩下的树枝形中,去掉一条棱,就减少一个顶点+例如去掉CA,就减
少一个顶点C•同理,去掉DA就减少一个顶点D,最后剩下
AB(如图).
B
在此过程中V-E的值不变,但这时面数F是0,
所以V(F-1)-E的值也不变+
由于最后只剩下AB,所以V•(F-1)-E=2•0-仁1,
最后加上去掉的一个面,就得到V•F-E=2.
4.欧拉示性数:
在欧拉公式中令f(p)二VF-E,f(p)叫欧拉示性数+
说明:
(1)简单多面体的欧拉示性数f(P)=2.
(2)带一个洞的多面体的欧拉示性数f(p)=0•例如:
长方体挖去一个洞连
结底面相应顶点得到的多面体f(P)"6,6-32=0.
三、讲解范例:
例1.一个n面体共有8条棱,5个顶点,求n•
解:
•••VF-E=2,•••F=E2-V=5,二n-5.
例2.一个正n面体共有8个顶点,每个顶点处共有三条棱,求n*
8疋3
解:
•••V-8,E12,
•••F=E2-V=6,
n=6.
四、小结:
欧拉定理及其证明;欧拉示性数.
五、课后作业:
*
六、板书设计(略)"
七、欧拉(EulerLonhard,1707〜1783)
I欧拉,瑞士数学家及自然科学家.在1707年4月15日出生于瑞士的巴「塞尔,1783年9月18日于俄国的彼得堡去逝+欧拉出生于牧师家庭,自幼已受到父亲的教育.13岁时入读巴塞尔大学,15岁大学毕业,16岁获得硕士学位一
欧拉的父亲希望他学习神学,但他最感兴趣的是数学*在上大学时,,他已受到约翰第一•伯努利的特别指导,专心研究数学,直至18岁,
:
他彻底的放弃当牧师的想法而专攻数学,于19岁时(1726年)开始创作|文章,并获得巴黎科学院奖金.
1727年,在丹尼尔.伯努利的推荐下,到俄国的彼得堡科学院从事研究工作"并在1731
年接替丹尼尔第一•伯努利,成为物理学教授”
在俄国的14年中,他努力不懈地投入研究,在分析学、数论及力学方面均有出色的表
现,此外,欧拉还应俄国政府的要求,解决了不少如地图学、造船业等的实际问题+1735年,
他因工作过度以致右眼失明.在1741年,他受到普鲁士腓特烈大帝的邀请到德国科学院担任物理数学所所长一职+他在柏林期间,大大的扩展了研究的内容,如行星运动、刚体运动、
热力学、弹道学、人口学等,这些工作与他的数学研究互相推动着.与此同时,他在微分方程、曲面微分几何及其它数学领域均有开创性的发现.
1766年,他应俄国沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡+在1771年,一场重病使他的左眼亦完全失明.但他以其惊人的记忆力和心算技巧继续从事科学创作■他通过与助手们的讨论以及直接口授等方式完成了大量的科学著作,直至生命的最后一刻+
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一,他不但为数学界作出贡献,更把数学推至几乎整个物理的领域.此外,他是数学史上最多产的数学家,写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本,《无穷小分析引论》(1748),《微分学原理》(1755),以及《积分
学原理》(1768-1770)都成为数学中的经典著作.
欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域,为微分几何及分析学的一些重要分支(如无穷级数、微分方程等)的产生与发展奠定了基础•
欧拉把无穷级数由一般的运算工具转变为一个重要的研究科目+他计算岀E函数在偶数
点的值.他证明了a2k是有理数,而且可以伯努利数来表示+
此外,他对调和级数亦有所研究,并相当精确的计算岀欧拉常数y的值,其值近似为
0.57721566490153286060651209…
在18世纪中叶,欧拉和其它数学家在解决物理方面的问过程中,创立了微分方程学.当
中,在常微分方程方面,他完整地解决了n阶常系数线性齐次方程的问题,对于非齐次方
程,他提出了一种降低方程阶的解法;而在偏微分方程方面,欧拉将二维物体振动的问题,
归结出了一、二、三维波动方程的解法.欧拉所写的《方程的积分法研究》更是偏微分方程
在纯数学研究中的第一篇论文,
在微分几何方面(微分几何是研究曲线、曲面逐点变化性质的数学分支),欧拉引入了
空间曲线的参数方程,给出了空间曲线曲率半径的解析表达方式+在1766年,他出版了《关
于曲面上曲线的研究》,这是欧拉对微分几何最重要的贡献,更是微分几何发展史上一个
里程碑.他将曲面表为z=f(x,y),并引入一系列标准符号以表示z对x,y的偏导数,这些
符号至今仍通用•此外,在该著作中,他亦得到了曲面在任意截面上截线的曲率公式・
欧拉在分析学上的贡献不胜枚举,如他引入了G函数和B函数,这证明了椭圆积分的加
法定理,以及最早引入二重积分等等.在代数学方面,他发现了每个实系数多项式必分
解为一次或二次因子之积,即a+bi的形式*欧拉还给出了费马小定理的三个证明,并引入了
数论中重要的欧拉函数©(n),他研究数论的一系列成果奠定了数论成为数学中的一个独立分支+欧拉又用解析方法讨论数论问题,发现了E函数所满足的函数方程,并引入欧拉乘积+
而且还解决了著名的柯尼斯堡七桥问题.
欧拉的风格是很高的,拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家"从19岁起和欧拉通信、讨论
等周问题的一般解法,从而引起了变分法的诞生”等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题,拉
格朗日的解法,博得了欧拉的热烈赞扬,1759年10月2日欧拉在回信中盛赞拉格朗日的成
就,并谦恭地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表,使年轻的拉格朗日的著作得以发表和流传,赢得巨大声誉.
1783年9月18日下午,欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功,请朋友们吃饭.那
时天王星刚发现不久,欧拉写岀计算天王星轨道的要领,还和他的孙子逗笑,喝茶后,突然疾病发作,烟斗从手中落下……欧拉就这样“停止了生命和计算”
历史学家把欧拉和阿基米德、牛顿、高斯并列为有史以来贡献最大的四位数学家•他们有一个值得注意的共同点,就是在创建纯粹理论的同时,还应用这些数学工具去解决大量天文、物理、力学等方面的实际问题•他们的工作常常是跨学科的,他们不断地从实践中吸取丰富的营养,但又不满足于具体问题的解决,而力图探究宇宙的奥秘,揭示其内在的规律.
欧拉留给后人丰富的科学遗产中,分析、代数、数论占40%,几何占18%,物理和力
学占28%,天文占11%,弹道学、航海科学、建筑等其他问题占3%+1748年在瑞士洛桑岀
版的他的《无穷小分析引论》,是划时代的代表作,也是世界上第一本完整的有系统的分析学.
欧拉对数学的研究如此广泛,因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的
重要常数、公式和定理■
风,没有衣裳;时间,没有居所;它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且,还有诗和远方的田野。
你赤手空拳来到人世间,为了心中的那片海不顾一切。
运动太多和太少,同样的损伤体力;饮食过多与过少,同样的损伤健康;唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康。
秋水无痕聆听落叶的情愫红尘往事呢喃起涟
漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少年路岁月极美,在于它必然的流逝。
春花、秋月、夏日、冬雪。
你必汗流满面才得糊口,直到你归了土;因为你是从土而出的。
你本是尘土,仍要归于尘土。
我始终相信,开始在内心生活得更严肃的
能练就创造天堂的力量;只有流过血的手指,才能弹出世间的绝响。
时光只顾催人老,不解多情,长恨离亭,滴泪春衫酒易醒。
梧桐昨夜西风急,淡月朦胧,好梦频惊,何处高楼雁一声?
如果你长时间盯着深渊,深渊也会盯着你。
所有的结局都已写好所有的泪水也都已启程却忽然忘了是怎么样的一个开始在那个古老的不再回来的夏日无论我如何地去追索年轻的你只如云影掠过而你微笑的面容极浅极淡逐渐隐没在日落后的群岚遂翻开那发黄的扉页命运将它装订得极为拙劣含着泪我一读再读却不得不承认青春是一本太仓促的书记忆是无花的蔷薇,永远不会败落。
我也要求你读书用功,不是因为我要你跟别人比成就,而是因为,我希望你将来会拥有选择的权利,选择有意义,有时间的工作,而不是被迫谋生。
尽管心很累很疲倦我却没有理由后退或滞留在过去与未来之间三千年读史,不外功名利禄;九万里悟道,终归诗酒田园。
这是一个最好的时代,这是一个最坏的时代这是一个智慧的年代,这是一个愚蠢的年代;这是一个光明的季节,这是一个黑暗的季节;这是希望之春,这是失望之冬;人们面前应有尽有,人们面前一无所有;人们正踏上天堂之路,人们正走向地狱之门。
我有所感事,结在深深肠。
你一定要“离开”才能开展你自己。
所谓父母,就是那不断对着背影既欣喜又悲伤,想追回拥抱又不敢声张的人。
心之所向素履以往生如逆旅一个人的行走范围,就是他的世界。
因为爱过,所以慈悲;因为懂得,所以宽容。
刻意去找的东西,往往是找不到的。
天下万物的来和去,都有他的时间。
与善人居,如入芝兰之室,久而自芳也;与恶人居,如入鲍鱼之肆,久而自臭也。
曾经沧海难为水,除却巫山不是云。
回首向来萧瑟处,归去,也无风雨也无晴。
半生闯荡,带来家业丰厚,儿孙满堂,行走一生的脚步,起点,终点,归根到底,都是家所在的地方,这是中国人秉持千年的信仰,朴素,但有力量。
风吹不倒有根的树我能承受多少磨难,就可以问老天要多少人生。
心,若没有栖息的地方,到哪里都是流浪...如果有来生,要做一只鸟,飞越永恒,没有迷途的苦恼。
东方有火红的希望,南
方有温暖的巢床,向西逐退残阳,向北唤醒芬芳。
如果有来生,希望每次相遇,都能化为永恒。
不乱于心,不困于情。
不畏将来,不念过往。
如此,安好。
笑,全世界便与你同声笑,哭,你便独自哭。
一辈子,不说后悔,不诉离伤。
上帝作证,我是真的想忘记,但上帝也知道,我是真的忘不了如果其中一半是百分百的话那就不是选择了而是正确答案了,一半一半,选哪一半都很困难,所以这才是选择。
跟着你,在哪里,做什么,都好。
眠。
我倾尽一生,囚你无期。
择一人深爱,等一人终老。
痴一人情深,留一世繁华。
断一根琴弦,歌一曲离别。
我背弃一切,共度朝夕。
人总是在接近幸福时倍感幸福,在幸福进行时却患得患失。
路过的已经路过,留下的且当珍惜我相信,真正在乎我的人是不会被别人抢走的,无论是友情,还是爱情。
我还是相信,星星会说话,石头会开花,穿过夏天的木栅栏和冬天的风雪之后,你终会抵达!
每一个不曾起舞的日子,都是对生命的辜负。
每个清晨都像一记响亮的耳光,提醒我,若不学会遗忘,就背负绝望。
那一年夏天的雨,像天上的星星一样多,给我美丽的晴空,我们都有小小的伤口,把年轻的爱缝缝又补补,我会一直站在你左右,陪你到最后的最后。
如果一开始就知道是这样的结局,我不知道自己是不是会那样的奋不顾身。
黄昏是一天最美丽的时刻,愿每一颗流浪的心,在一盏灯光下,得到永远的归宿。
因为有了因为,所以有了所以。
既然已成既然,何必再说何必。
想念是人最无奈的时候唯一能做的事情。
你受的苦,会照亮你的路。
我希望有个如你一般的人。
如这山间清晨一般明亮清爽的人,如奔赴古城道路上阳光一般的人,温暖而不炙热,覆盖我所有肌肤。
由起点到夜晚,由山野到书房,一切问题的答案都很简单。
我希望有个如你一般的人,贯彻未来,数遍生命的公路牌。
岁月极美,在于它必然的流逝。
春花、秋月、夏日、冬雪说并用程这为再年余生,风雪是你,成多每内淡是你,清贫是你,荣华是你,心底温柔是你,并用光所内为界,也是你。
个人的遭遇,命运的多舛都使我被迫成熟,这一切的代价都当是日后活下去的力量。
送你的白色沙漏,是一个关于成长的礼物,如果能给你爱和感动,我是多么的幸福,我有过很多的朋友,没有谁像你一样的温柔,每当你牵起我的手,我就忘掉什么是忧愁。
很多故事不就是因为没有结局才有了继续等下去的理由。
有些人,有些事,是不是你想忘记,就真的能忘记?
也许有那么一个时侯,你忽然会觉得很绝望,觉得全世界都背弃了你,活着就是承担屈辱和痛苦。
这个时候你要对自己说,没关系,很多人都是这样长大的。
风平浪静的人生是中年以后的追求。
当你尚在年少,你受的苦,吃的亏,担的责,扛的罪,忍的痛,到最后都会变成光,照亮你的路。
你要做一个不动声色的大人了。
不准情绪化,不准偷偷想念,不准回头看。
去过自己另外的生活。
你要听话,不是所有的鱼都会生活在同一片海里。
有人说,鲁迅是杂文,胡适是评论;鲁迅是酒,胡适是水。
酒让人看到真性情,也看到癫狂,唯有水,才是日常所需,是真生活。
有时候会很自豪地觉得,我唯一的优势就是,比你卑微。
于是自由。
再也读不到传世的檄文,只剩下廊柱上龙飞凤舞的楹联。
再也找不见慷慨的遗恨,只剩下几座既可凭吊也可休息的亭台。
再也不去期待历史的震颤,只有凛然安坐着的万古湖山。
呼兰河这小城里边,以前住着我的祖父,现在埋着我的祖父。
诗意上来时,文字不要破坏它。
水,看似柔顺无骨,却能变得气势滚滚,波涌浪叠,无比强大;看似无色无味,却能挥洒出茫茫绿野,累累硕果,万紫千红;看似自处低下,却能蒸腾九霄,为云为雨,为虹为霞……一切达观,都是对悲苦的省略我们孩还发多夫道知道了,就得看不我们后心回的”家“,不是起用看把一个有邮递区
号、邮差找得到的家,后心天能们后心回的”家“,不是空于而,风每都到小是一段时光。
它们能够躲过所有凝视的目光,却躲不过那些出其不意投来的目光。
中国人对待自然环境与外国人截然不同,外国人注意到的是人如何改变土地,而中国人关注的是土地怎样改变了人。
、堂皇转眼凋零,喧腾是短命的别名。
在流光溢
彩的日子里,生命被铸上妖冶的印记。
托尔斯泰说:
“忧来无方,窗外下雨,坐沙发,吃巧克力,读狄更斯,心情又会好起来,和世界妥协。
”成熟是一种明亮而不
刺眼的光辉,一种圆润而不腻耳的声响,一种不再需要对别人察言观色的从容,一种终于停止向周围申诉求告的大气,一种不理会喧闹的微笑,一种洗刷了偏激的淡漠,一种无需声张的厚实,一种能够看的很远却并不陡峭的高度。
我不要天堂,我只要底线。
因为没有底线,就没有自由。
宠辱不惊,看庭前花开花落;去留无意,望天上云卷云舒。
如果你想知道周围有多么黑暗,你就得留意远处的微弱光线。
如果我没有刀,我就不能保护你。
如果我
有刀,我就不能拥抱你。
“今天比昨天慈悲,今天比昨天智慧,今天比昨天快乐。
这就是成功。
”没有悲剧就没有悲壮,没有悲壮就没有崇高我们都在阴沟里,但仍
有人仰望星空。
没有人性的觉醒,权力与财富只使人更粗鄙堕落。
满地都是六便士,他却抬头看见了月亮。
走出酒吧的那一刹,我被遽然刺来的阳光下了一跳。
闭
上眼,我想起了我的收音机。
它已经很旧很老,退役多年了。
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