浙江省温州市外国语学校学年九年级上学期月考数学试题.docx
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浙江省温州市外国语学校学年九年级上学期月考数学试题
浙江省温州市外国语学校2021-2022学年九年级上学期12月月考数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
评卷人
得分
一、单选题
1.下列事件是必然事件的为()
A.明天早上会下雨B.任意一个三角形,它的内角和等于
C.踯一枚硬币,正面朝上D.打开电视机,正在播放“新闻联播”
2.若2a=3b,则
的值为( )
A.
B.
C.
D.
3.抛物线y=x2﹣2与y轴交点的坐标是( )
A.(0,2)B.(0,﹣2)C.(2,0)D.(﹣2,0)
4.如图,以AB为直径的半圆上有一点C,∠C=25°,则∠COB的度数为( )
A.25°B.30°C.50°D.65°
5.将抛物线
向右平移2个单位,则所得抛物线的表达式为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图,直线a∥b∥c,直线m分别交直线a,b,c于点A,B,C,直线n分别交直线a,b,c于点D,E,F.若
,则
的值为( )
A.
B.
C.2D.3
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=15,sinB=
,则AC等于( )
A.3B.9C.4D.12
8.如图,四边形
内接于圆,
,若
的弧长分别为
,则
的弧长为()
A.
B.
C.
D.
9.抛物线y=x2﹣2x﹣1上有点P(﹣1,y1)和Q(m,y2),若y1>y2,则m的取值范围为( )
A.m>﹣1B.m<﹣1C.﹣1<m<3D.﹣1≤m<3
10.小金将一块正方形纸板按图1方式裁剪,去掉4号小正方形,拼成图2所示的矩形,若已知AB=9,BC=16,则3号图形周长为( )
A.
B.
C.
D.
评卷人
得分
二、填空题
11.已知线段
,
,则
、
的比例中项为__________.
12.二次函数y=
+2的顶点坐标为_________.
13.已知扇形所在的圆半径为
,面积为
,则扇形圆心角的度数为__________.
14.有三辆车按1,2,3编号,苗苗和珊珊两人可任意选坐一辆车,则两人同坐一辆车的概率为___.
15.如图,AD、BC是⊙O中的两条弦并交于点E,连AB、CD,若
,则△ABE与△CDE的面积比为___.
16.如图,某农场计划修建三间矩形饲养室,饲养室一面靠现有墙(墙可用长≤20m),中间用两道墙隔开,已知计划中的修筑材料可建围墙总长为60m,设饲养室宽为xm,占地总面积为ym2,则三间饲养室总面积y的最大值___.
17.如图,等腰△ABC中,AB=AC=
,BC=
,BD是AC边上的中线,G是△ABC的重心,则GD=___.
18.如图,圆内接正十二边形由边长相等的六个正方形和六个等边三角形拼成,则图1中cos∠AOB=___,若圆O半径为
,则图2中△BCD的面积为___.
评卷人
得分
三、解答题
19.一个布袋里装有3个只有颜色不同的球,其中2个红球,1个白球.
(1)求摸出一个球是白球的概率.
(2)第一次摸出1个球,记下颜色,放回摇匀,再摸出1个球,求两次摸出颜色相同的球的概率(用树状图或列表来表示分析过程).
20.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(4,1),C(1,1)是正方形网格中的格点三角形(顶点在格上),请正方形网格按下列要求画一个格点三角形与△ABC相似.
(1)在第二象限中画△A1B1C1,使得△A1B1C1的面积是△ABC的2倍.
(2)在第三象限中画出△A2B2C2,使得以点O为位似中心,△ABC与△A2B2C2位似比为1:
2.
21.如图,点
是二次函数
图像的顶点,
,
是线段
的两个端点.
(1)若
,求
的值.
(2)若二次函数
图像与线段
有公共点,求
的取值范围.
22.如图,在矩形ABCD中,F为CD上的点,AF⊥BD且AF,BD相交于点E,
(1)求证:
ABD∽
DAF;
(2)若AB=8,BG=3AD,求AG的长.
23.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=4,BC=8,CD=2m(m>2),P为CD中点,以P为圆心,CP为半径作半圆P,交线段AC于点E,交线段AD于点F.
(1)当E为CA中点时,
①求证:
E是弧CF的中点.
②求此时m的值.
(2)连结PF,若PF平行△ABC的某一边时求出满足条件的m值.
(3)连结PE,将PE绕着点E顺时针旋转90°得到EP',连结AP',当AP'⊥AC时,求此时CE的长.
参考答案:
1.B
【解析】
【分析】
直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案.
【详解】
解:
A、明天早上会下雨,是随机事件,故此选项错误;
B、任意一个三角形,它的内角和等于180°,是必然事件,故此选项正确;
C、掷一枚硬币,正面朝上,是随机事件,故此选项错误;
D、打开电视机,正在播放“新闻联播”,是随机事件,故此选项错误;
故选:
B.
【点睛】
此题主要考查了随机事件以及必然事件的定义,正确把握定义是解题关键.
2.D
【解析】
【分析】
等式两边都除以
即可.
【详解】
解:
两边都除以
得,
.
故选:
D.
【点睛】
本题考查了比例的性质,解题的关键是主要利用了两内项之积等于两外项之积的性质.
3.B
【解析】
【分析】
求抛物线与y轴交点的坐标,可以令x=0,求得y的值即可.
【详解】
令x=0,得y=﹣2,故抛物线与y轴交于(0,﹣2).
故选B.
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,若求与坐标轴的交点,只需令x=0或y=0即可.
4.C
【解析】
【分析】
根据题意利用等腰三角形的性质得到∠A=∠C=25°,再根据圆周角定理即可得到∠COB的度数.
【详解】
解:
∵OC=OA,
∴∠A=∠C=25°,
∴∠COB=2∠A=50°.
故选:
C.
【点睛】
本题考查等腰三角形性质和圆周角定理,注意掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
5.D
【解析】
【分析】
根据“左加右减,上加下减”的规律直接求得.
【详解】
因为抛物线y=3x2−1向右平移2个单位,得:
y=3(x−2)2−1,故所得抛物线的表达式为y=3(x−2)2−1.故选D.
【点睛】
本题考查平移的规律,解题的关键是掌握抛物线平移的规律.
6.A
【解析】
【分析】
先由
得出
,再根据平行线分线段成比例定理即可得到结论.
【详解】
解:
,
,
,
.
故选:
A.
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理,解题的关键是掌握三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
7.B
【解析】
【详解】
∵sinB=
,AB=15,∴AC=
×15=9.故选B.
8.B
【解析】
【分析】
首先证明∠D=90°,可得
的长=
×圆的周长=4π.
【详解】
解:
的弧长分别为
,
∴圆的周长为
.
,
的长为
.
故选B.
【点睛】
本题考查弧长的计算,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
9.C
【解析】
【分析】
求出二次函数的对称轴,再比较P、Q两点的位置,即可得出正确答案.
【详解】
:
∵a=1>0,
∴抛物线开口向上,
∵函数对称轴为x=-
=1,
∴当y1>y2时,
①Q(m,y2)在对称轴右侧时,1≤m<3;
②Q(m,y2)在对称轴右侧时,-1<m<1,
综上,m的取值范围为是-1<m<3,
故选C.
【点睛】
考查了二次函数图象上点的坐标特征,要熟悉二次函数的性质及二次函数的图象.
10.B
【解析】
【分析】
设
而AB=9,BC=16,如图,由(图1)是正方形,(图2)是矩形,4号图形为小正方形,得到
再证明
再建立方程求解
,延长
交
于
则
再利用勾股定理求解
从而可得答案.
【详解】
解:
如图,由题意得:
(图1)是正方形,(图2)是矩形,4号图形为小正方形,
设
而AB=9,BC=16,
结合(图1),(图2)的关联信息可得:
整理得:
解得:
经检验:
不符合题意,取
延长
交
于
则
四边形
是矩形,
所以3号图形的周长为:
故选B
【点睛】
本题考查的是矩形的判定与性质,正方形的性质,锐角三角函数的应用,一元二次方程的应用,从(图形1)与(图形2)中的关联信息中得出图形中边的相等是解本题的关键.
11.2.
【解析】
【分析】
设线段x是线段a,b的比例中项,根据比例中项的定义列出等式,利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案.
【详解】
解:
设线段x是线段a,b的比例中项,
∵a=1,b=4,
∴
,
∴x2=ab=1×4=4,
∴x=2或x=-2(舍去).
故答案为2.
【点睛】
此题主要考查学生对比例线段这一知识点的理解和掌握,关键是根据比例中项的定义列出等式.
12.(1,2).
【解析】
【详解】
试题分析:
由二次函数的解析式可求得答案.∵y=(x﹣1)2+2,∴抛物线顶点坐标为(1,2).
故答案为(1,2).
考点:
二次函数的性质.
13.
【解析】
设扇形的圆心角是n°,根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程,解方程即可求解.
【详解】
解:
设扇形的圆心角是n°,根据扇形的面积公式得:
,
解得n=60.
故答案为:
60°.
【分析】
本题考查了扇形的面积公式,正确理解公式是解题的关键.
14.
【解析】
【分析】
画出树状图计算即可;
【详解】
根据题意画树状图得:
,
,
,
共有9种等可能的结果,期中两人同坐一辆车的结果数为3,
∴两人同坐一辆车的概率为
;
故答案是:
.
【点睛】
本题主要考查了画树状图求概率,准确计算是解题的关键.
15.
##0.4
【解析】
【分析】
根据同弧对应的圆周角相等,证明出
,再根据面积比等于相似比的平方,即可求得.
【详解】
解:
根据同圆中,同弧
对应的圆周角相等,
,
又
,
,
,
,
故答案是:
.
【点睛】
本题考查了圆周角定理,相似三角形的判定及性质,解题的关键是掌握面积比等于相似比的平方.
16.
【解析】
【分析】
设饲养室宽为
,则长为
,根据长方形面积公式即可得,由墙可用长
可得
的范围,再根据二次函数的性质进行求解.
【详解】
解:
(1)设饲养室宽为
,则长为
,
,
,
;
在
时,
随
的增大而减小,
当
时,
,
故答案是:
.
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用,解题的关键是将实际问题转化为数学问题以后,准确列出二次函数关系式,正确运用二次函数的有关性质来解题.
17.
【解析】
【分析】
作
于
,求出
,设
,则
,
,在
和
中,由勾股定理得出方程,求出
,
,由勾股定理得出
,
,再由重心定理即可得出答案.
【详解】
解:
作
于
,如图所示:
是
边上的中点,
,
设
,则
,
,
在
和
中,由勾股定理得:
,
即
,
解得:
,
,
,
,
,
是
的重心,
;
故答案为:
.
【点睛】
本题考查了三角形的重心、等腰三角形的性质、勾股定理等知识;解题的关键是熟练掌握勾股定理和三角形的重心定理.
18.
;
【解析】
【分析】
连接OP,根据题意,得到PB=PO=AP,从而得到∠BPO=150°,∠BOP=15°,
∠AOP=60°,故∠AOB=45°,根据特殊角的函数值计算即可;
如图2,连接GD,GE,可得GD是圆的直径,从而得到∠GED=90°,根据DE∥GH,得到∠EGH=90°,根据∠EGH+∠CGH=180°,得到C,G,E三点共线,CG边上的高就是DE;
连接BF,CF,得到∠BFE=45°,∠CFG=15°,∠GFE=120°,计算∠CFE=135°,根据∠CFE+∠BFE=180°,得到C,F,B三点共线,于是
=
+
+
+
+
,根据半径等于正方形的边长等于等边三角形的边长,依次计算求和即可.
【详解】
连接OP,
∵圆内接正十二边形由边长相等的六个正方形和六个等边三角形拼成,
∴PB=PO=AP,
∴∠BPO=150°,∠BOP=15°,∠AOP=60°,
∴∠AOB=45°,
∴cos∠AOB=cos45°=
,
故答案为:
;
如图2,连接GD,GE,BF,CF,
∵圆内接正十二边形由边长相等的六个正方形和六个等边三角形拼成,
∴∠BFE=45°,∠CGF=150°,EF=FG=GH=HM=DM=DE,
∠GFE=∠FED=∠EDM=∠DMH=∠MHG=∠HGF=120°,
∴六边形EFGHMD是正六边形,
∵GC=GF,
∴∠CFG=15°,
∵∠GFE=120°,
∴∠CFE=135°,
∴∠CFE+∠BFE=180°,
∴C,F,B三点共线,
根据正六边形的性质,得GD是圆的直径,
∴∠GED=90°,
∵DE∥GH,
∴∠EGH=90°,
∴∠EGH+∠CGH=180°,
∴C,G,E三点共线,CG边上的高就是DE;
∴
=
+
+
+
+
,
根据正六边形的性质,得半径等于正方形的边长等于等边三角形的边长,
∴
=
=1,
过点F作FN⊥EG,垂足为N,
∴∠FGN=30°,
∴FN=
,
∴
=
=
=
,
∴
=
=1,
∴
=3
=
=
,
∴
=1+1+
+
+
=
,
故答案为:
.
【点睛】
本题考查了正多边形与圆,等边三角形的性质,特殊角的函数值,熟练掌握正六边形的判定和性质,学会分割法计算图形的面积是解题的关键.
19.
(1)
;
(2)
【解析】
【分析】
(1)根据概率公式列式计算即可得解;
(2)画出树状图或列出图表,然后根据概率公式列式计算即可得解.
【详解】
解
(1)摸出一个球的所有可能结果总数
,摸到是白球的可能结果数
,
摸出一个球是白球的概率为
.
(2)画树状图如下:
由树状图知,一共有9种情况,两次摸出颜色相同的球有5种,
所以两次摸出颜色相同的球的概率
.
【点睛】
本题考查的是用列表法或树状图法求概率,解题的关键是掌握公式:
概率
所求情况数与总情况数之比
20.
(1)作图见解析;
(2)作图见解析
【解析】
【分析】
(1)使得三角形底不变,高变为原来的2倍即可;
(2)根据位似比是1:
2作图即可;
【详解】
(1)如图所示,△A1B1C1即为所求;
(2)由△ABC与△A2B2C2位似比为1:
2作图如下;
【点睛】
本题主要考查了位似作图,准确分析作图是解题的关键.
21.
(1)
;
(2)
.
【解析】
【分析】
(1)利用
表示二次函数的顶点坐标,由
,建立方程
,解方程即可得到答案;
(2)先求解当
时的二次函数值,利用抛物线与线段
有交点,建立不等式组,解不等式组即可得到答案.
【详解】
解:
(1)
,
,
轴.
,
顶点
的纵坐标为
,
,
所以顶点的横坐标为:
顶点的纵坐标为:
点
的坐标为
,
解得:
,(负根舍去)
(2)
轴,
的解析式为:
.
当
时,抛物线的函数值为:
,
结合题意可知,
,
解得:
,
所以二次函数
图像与线段
有公共点时,
.
【点睛】
本题考查的时二次函数的性质,顶点坐标,函数值,同时考查解一元一次不等式组的解法,掌握以上知识时解题的关键.
22.
(1)见解析;
(2)16
【解析】
【分析】
(1)先证明∠BAD=∠ADF=90°,进而可得∠ADB+∠ABD=90°,由AF⊥BD可得∠ADB+∠DAF=90°,进而可得∠ABD=∠DAF,由此可证得
ABD∽
DAF;
(2)根据BG=3AD,AD=BC可得CG=2AD,由
ADF∽
GCF可得
,再结合CD=AB=8可得CF=
,DF=
,由
(1)得
,由此可求得AD=
,进而可求得BG=3AD=
,再利用勾股定理即可求得AG的长.
【详解】
(1)证明:
∵在矩形ABCD中,
∴∠BAD=∠ADF=∠ABC=90°,
∴∠ADB+∠ABD=90°,
∵AF⊥BD,
∴∠AED=90°,
∴∠ADB+∠DAF=90°,
∴∠ABD=∠DAF,
又∵∠BAD=∠ADF,
∴
ABD∽
DAF;
(2)解:
∵在矩形ABCD中,
∴AD=BC,AB=CD=8,AD//BC,
∵BG=3AD,AD=BC,BG=BC+CG,
∴CG=2AD,
∵AD//BC,
∴
ADF∽
GCF,
∴
,
又∵CD=8,
∴CF=
,DF=
,
∵
ABD∽
DAF,
∴
,
∴
,
解得
,
∴BG=3AD=
,
在Rt
ABG中,
,
∴AG的长为16.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理,熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键.
23.
(1)①见解析;②
;
(2)m的值为
或6;(3)
【解析】
【分析】
(1)①连接DE,证明
是等腰三角形,根据“三线合一”的性质可得
,证得
,从而可得结论;②根据勾股定理得到AC
,由E为AC中点得EC
,再证明
,由相似三角形的性质列出比例式,求出m的值即可;
(2)分PF//AC和PF//BC两种情况求解即可;
(3)设CE=x,作PG⊥AC,则
,
证明
得
,再证明
,列比例式求出x的值即可.
【详解】
解:
(1)如图,连接DE
∵CD是圆P的直径,
∴∠DEC=90°,即DE⊥AC
∵E为CA中点
∴AE=CE
∴AD=CD
∴
∴
∴E是
的中点;
②在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC=8,
∴
∵E是AC的中点
∴
∵AB//CD,
∴
∴
,即
∵
∴
又
∴
∴
,即
解得,
;
(2)分两种情况:
①当PF//AC时,如图,
则有
∴
,即
∴
∴
②当PF//BC时,如图,
过点A作AH⊥DC,垂足为H,则四边形AHCB是矩形,
∴AH//BC,HC=AB=4,AH=BC=8
∴PF//AH
∵
∴
∴
∴
∴DH=AH,即
解得,
综上,m的值为
或6;
(3)过点P作
于点G,如图,
∵PE=PC
∴
∵
∴
又
∴
又
,
∴
∴
设
,则
∵
∴
∴
∴
又
∴
∴
,即
∴
,即
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质,圆的基本概念,相似三角形的判定与性质,正确作出辅助线以及进行分类讨论是解答本题的关键.
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