二有限元分析的基本过程.docx
- 文档编号:17763700
- 上传时间:2023-08-03
- 格式:DOCX
- 页数:10
- 大小:149.41KB
二有限元分析的基本过程.docx
《二有限元分析的基本过程.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《二有限元分析的基本过程.docx(10页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
二有限元分析的基本过程
二有限元分析的基本过程
1单元
有限元-连续体的离散化,将整体结构分割为若干基本单元,每个单元有若干节点。
单元中的基本物理量(结构分析-位移;热分析-温度;电磁分
析-电位势,磁通量;流体分析-流量,等)用单元节点处的值表示,可以写为:
{u}=[P]{ue}
其中:
{u}-单元中任意点的物理量值,它是坐标的函数:
{u}={u(x,y,z)}
[P]-形状函数,与单元形状、节点坐标和节点自由度等有关
{ue}-单元节点的物理量值;对于结构位移法可以是位移、转角或其对坐标的导数。
常用的大型分析软件中基本上是位移+转角。
结构分析时一些常用单元的节点自由度(在单元坐标系中)
杆元:
单元形状为线段,变形形式为拉伸和扭转。
在单元坐标系中:
节点自由度为Tx和Rx,其中x为杆的轴线。
在总体坐标系中:
三个位移和三个转角(T1,T2,T3,R1,R2,R3)。
梁元:
单元形状为线段,变形形式为拉伸、扭转,以及两个垂
直于轴线方向的弯曲
在单元坐标系中:
节点自由度为Tx,Ty,Tz,Rx,Ry,Rz。
其中x为梁的轴线,Y,z为梁截面的两个抗弯惯矩主轴方向。
在总体坐标系中:
三个位移和三个转角(T1,T2,T3,R1,R2,R3)。
平面单元:
三角形或四边形,变形为两个面内位移。
节点自由度为T1,T2。
单元坐标系与总体坐标系一致。
轴对称单元:
三角形或四边形,变形为两个面内位移。
节点自由度为T1,T2。
单元坐标系与总体坐标系一致。
板壳元:
三角形或四边形,变形包括两个面内位移,法向位移及两个转角(一般缺少绕法线转角)。
在单元坐标系中:
三个位移和三个转角(Tx,Ty,Tz,Rx,Ry)
在总体坐标系中:
三个位移和三个转角(T1,T2,T3,R1,R2,R3)
三维实体:
四面体〜六面体,三个方向的位移,无转角。
节点自由度为三个位移(T1,T2,T3),单元坐标系与总
体坐标系一致。
结构分析时一些特殊单元
为了表征结构分析中遇到的一些特殊现象,多数CAE软件中都引入了
一些特殊的单元,例如:
弹簧单元-模拟拉压或弯扭弹簧连接
阻尼单元-模拟阻尼器等结构件
质量单元-用于处理集中质量
接触单元-用于处理接触非线性问题
间隙单元-用于处理接触非线性问题
拉索单元-用于模拟只受拉不受压的线结构
各种连接单元-用于模拟结构件之间的不同连接方式,如
铰接、刚性连接等
刚体单元-将结构的某一部分处理为刚体,可减小计算模
型的规模
单元形状函数举例(未必是实际使用的单元):
(1)一维单元
a.杆单元
轴向拉伸和扭转:
节点位移自由度为Tx,Rx
对2节点单元(线性单元):
Tx=a0+al*x
Rx=bO+bl*x
各有2个未知数,可以由2个节点的位移值确定;
对3节点单元(二次单元):
Tx=aO+al*x+a2*x2
Rx=bO+bl*x+b2*x2
各有3个未知数,可以由3个节点的位移值确定;
b.梁单元
拉伸和扭转的形状函数与杆的情况相同;
对于弯曲变形(以单元坐标系y向为例),2节点单元相应的形状函数为:
Ty=cO+c1*x+c2*x2+c3*x3
由两个节点的Ty,Rz可以确定四个未知数;
对于3节点单元:
Ty=c0+c1*x+c2*x2+c3*x3+c4*x4+c5*x5
由3个节点的Ty,Rz可以确定6个未知数;
(2)二维单元
a.平面单元(平面问题,轴对称问题),以Tx为例三节点三角元:
Tx=a0+a1*x+a2*y
三个未知数可以由三个节点的Tx表示;
6节点三角元:
Tx=a0+a1*x+a2*y+a3*x2+a4*xy+a5*y2
6个未知数可以由6个节点的Tx表示;
4节点四边形元:
Tx=a0+a1*x+a2*y+a3*xy
4个未知数可以由4个节点的Tx表示;
8节点四边形元:
Tx=a0+a1*x+a2*y+a3*x2+a4*xy+a5*y2+a6*(x3+xy2)+a7*(x2y+y3)
8个未知数可以由8个节点的Tx表示;
上面使用的简单多项式,对于4节点或8节点四边形(特别是使用简单多项式的8节点单元,三次项缺失较多),使用效果往往不好。
实际使用的是"等参数单元",通过曲线坐标变换,将任意三角形或四边形变换为等参数坐标系中的正三角形或正方形。
然后用内插函数”来构造形状
函数。
(2)二维单元(续)
b.弯曲单元(板、壳问题)
平面内的变形与平面问题相同,主要考虑法向弯曲变形-Tz,每个节点
有三个弯曲自由度:
Tz,Rx,Ry(法向位移和两个转角)。
三节点三角元:
Tz=a0+a1*x+a2*y+a3*x2+a4*xy+a5*y2
+a6*x3+a7*(x2y+xy2)+a8*y3
9个未知数可以由三个节点的Tz,Rx,Ry表示。
这是一个不完整的三次多项式,实际使用的是完整的三次多项式,然后添加约束条件消除多出来的一个未知数。
4节点四边形元:
Tz=a0+a1*x+a2*y+a3*x2+a4*xy+a5*y2
+a6*x3+a7*x2y+a8*xy2+a9*y3+2个四次项
12个未知数可以由四个节点的Tz,Rx,Ry表示。
这是一个不完整的四次多项式,效果较差,实际使用的是"等参数单元"0
同样可以构造"高阶"单元(6节点三角元、8节点四边形单元)0
(3)三维实体单元
每个节点三个自由度:
Tx,Ty,Tz,一般情况,单元坐标系x,y,z与总体坐标系X,Y,Z相同。
a.四面体单元(以Tx为例)
4节点单元:
Tx=aO+a1*x+a2*y+a3*z
四个未知数由四个节点的Tx确定。
10节点单元(增加6个边的中点):
Tx=a0+a1*x+a2*y+a3*z+a4*x2+a5*y2+
a6*z2+a7*xy+a8*yz+a9*zx
10个未知数由10个节点的Tx确定。
b.六面体单元(以Tx为例)
8节点单元(直观的例子,实际用"等参数单元"):
Tx=a0+a1*x+a2*y+a3*z+a4*x2+a5*y2+
a6*z2+a7*(xy+yz+zx)
8个未知数由8个节点的Tx确定。
20节点六面体单元:
使用完整的三次多项式,共20个未知数,由20个节点的Tx确定。
实际中使用的是"等参数单元"。
理论上,计算结果应该随着网格的细化而收敛到精确值。
但实践发现,单
元的形状函数对其计算结果和收敛性有较大影响。
经数学界研究发现,单元的构
造必须满足相容性(协调性)和完备性要求,才能保证计算结果的收敛性。
(1)单元的完备性要求:
对一般的多项式形式的单元形状函数,必须是与所解决问题的"应变-位
移"关系式中的最高阶导数相同阶数的完整多项式。
与"应变-位移"关系式中的最高阶导数相同阶数的多项式,在"应变-位
移"关系式中微分后得到常应变项。
因此,如果该多项式不完整,就会丢失某些常应变项,导致结果不准确。
这一条可以归结为:
位移函数必须包含全部刚体位移和常应变项。
(2)单元的相容性(协调性)要求:
单元的位移函数必须包含所解决问题的"应变-位移"关系式中的最高阶导数低一阶的连续性。
即,在相邻单元的边界上,该导数必须连续。
如一般弹性问题(平面问题、轴对称问题和三维弹性问题),其应变-位移”关系式中只包括位移对坐标的一阶导数,只要求在单元边界上位移连续。
因此其位移形状函数只要包含坐标的一次多项式即可(Tx=a0+a1*x+a2*y+
a3*z…)。
对板弯曲问题,"应变-位移"关系式包含位移对坐标的二次导数,在单元边界上需要位移和转角都连续,因而板弯曲单元的节点自由度至少需要三个自由度:
Tz,Rx,Ry。
这也造成了难以构造简单而又满意的板弯曲单元。
在满足相容性(协调性)要求的情况下,随着网格的细化,结果是单调收敛的。
如果只满足完备性,而不满足相容性(如板弯曲问题),解有时也能收敛,但一般不是单调收敛。
2单元特性的推导(略)
3单元组集
将所有单元的应变能求和,得到整个结构的应变能:
U=SUe=1/2{u}T[K]{u}
其中{u}是整个结构所有节点的总体位移自由度按顺序排列所成,称为结构位移矢量;[K]是将各单元的刚度矩阵对应相同总体自由度的元素叠加后得到。
考虑两个杆单元的情况(下页图),各单元的节点位移矢量和单元刚度矩阵
用总体自由度序号表示如下:
在计算整个结构的应变能时,将两个单元刚度矩阵中具有相同下标的元素进
行求和,例如K4,4~K4,6、K5,4~K5,6、K6,4~K6,6,从而得到整个结构的刚度矩阵。
123
如果单元中作用有外力,可以根据静力等效原理把它们分配到单元的节点上:
然后可以求出节点外力在节点位移上所做的功:
V=[F]{u}
其中[F]为所有节点的外力矢量(每个节点三个分量),{u}为所有节点的位移矢量(每个节点三个分量)。
然后,根据最小势能原理,真实位移应该使总势能取极小值:
总势能为:
P=U-V=1/2{u}T[K]{u}-[F]{u}
对{u}取极值,即总势能对{u}的一次导数为零:
an
9{u}
由此得到:
[K]{u}-{F}=0
或
[K]{u}={F}
这就是待求解的有限元代数方程。
由于将复杂的微分方程转换为有限个数的代数方程,从而使问题的求解变得容易。
不过,现在还不能马上求解,因为数学上已经证明,没有约束的结构的刚度矩阵是一个奇异矩阵(行列式为零),从物理上来说,即存在刚体运动,及时很小的外力也能够造成无穷大的位移。
为了求解,必须对结构施加足够的约束以消除所有可能的刚体运动。
常用的约束条件有:
指定节点位移(通常是零);
弹性约束(弹性地基)
等。
缺乏足够的约束常常是求解失败的主要原因之一。
在约束自由度上会产生约束反力,对于结构而言,约束反力也是一种外力,以{R}表示约束反力,整个结构的方程可以写成:
[K]{u}={F}+{R}
其中反力{R}仅在约束自由度上不为零。
对整个结构的位移自由度重新排序,将已知位移自由度放到最后,分别以下标f和r代表未知和已知的自由度,则有:
『Kgt=rra+roi
Lk十KrJLurJIfJIkJ
展开后分解为两个方程:
[Kff]{uf}={Ff}
[Krf]{uf}+[Krr]{ur}={Fr}+{R}
第一个方程用来求解未知的位移自由度,第二个方程改写为:
{R}={Fr}-[Krf]{uf}-[Krr]{ur}
用来计算约束反力。
在求出整个结构的节点位移后,可以回到各单元,计算单元的应力、应变等其它所需的物理量(通常称为数据恢复)。
至于节点应力、应变等物理量,通常用与节点相邻的单元的平均值代表。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 有限元分析 基本 过程