小学奥数思维03逻辑思路.docx
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小学奥数思维03逻辑思路
(三)逻辑思路
“逻辑思路”,主要是指遵循逻辑的四大基本规律来分析推理的思路。
【同一律思路】同一律的形式是:
“甲是甲”,或“如果甲,那么甲”。
它的基本内容是,在同一思维过程中,同一个概念或同一个思想对象,必须保持前后一致性,亦即保持确定性。
这是逻辑推理的一条重要思维规律。
运用这一规律来解题,我们把它叫同一律思路。
例1某公安人员需查清甲、乙、丙三人谁先进办公室,三人口供如下:
甲:
丙第二个进去,乙第三个进去。
乙:
甲第三个进去,丙第一个进去。
丙:
甲第一个进去,乙第三个进去。
三人口供每人仅对一半,究竟谁第一个进办公室?
分析(用同一律思路推理);
这一类问题具有非此即彼的特点。
比如甲是否是第一个进办公室只有两种可能:
是或非。
我们用1表示“是”,0表示“非”,则可把口供列表处理。
(1)若甲第一,则依据丙的口供见左表,这个表与甲的口供仅对一半相矛盾;
(2)若甲非第一,则依据丙的口供,乙第三个进去,进行列表处理如右表,与“三人口供仅对一半”相符。
从而可以判定,丙最先进入办公室。
这个问题也可以不列表而用同一律推理。
甲的话第一句对,第二句错,则丙第二,乙不是第三,又不是第二,自然乙第一,甲第二,这个结论与丙说的话“半对半错”不符。
因此,有甲的第一句错,第二句对。
即乙第三个进去,丙不是第二个,自然是第一个。
这个结论与乙的话“半对半错”相符:
甲不是第三,丙是第一。
并且这个结论与丙的话“半对半错”也相符:
甲不是第一,乙是第三。
在整个思维过程中,我们对三人的话“半对半错”进行了一一验证,直到都符合题目给定的条件为止。
例2从前一个国家里住着两种居民,一个叫宝宝族,他们永远说真话;另一个叫毛毛族,他们永远说假话。
一个外地人来到这个国家,碰见三位居民,他问第一个人:
“请问你是哪个民族的人?
”
“匹兹乌图。
”那个人回答。
外地人听不懂,就问其他两个人:
“他说的是什么意思?
”
第二个人回答:
“他说他是宝宝族的。
”
第三个人回答:
“他说他是毛毛族的。
”
请问,第一个人说的话是什么意思?
第二个人和第三个人各属于哪个民族?
分析(用同一律思路思考):
如果第一个人是宝宝族的,他说真话,那么他说的是“我是宝宝族的”。
如果这个人是毛毛族的,他说假话,他说的还是“我是宝宝族的”。
这就是说,第一个人不管是什么民族的,那句话的意思都是:
“我是宝宝族的”。
根据这一推理,那么第二个人回答“他说他是宝宝族的”这句话是真的,而从条件可知,说真话的是宝宝族人,因此可以判断第二个人是宝宝族人。
不管第一个人是什么民族的,根据前面推理已知他说的话是“我是宝宝族的”,而第三个人回答“他说他是毛毛族的”显然是错的,而说假话的是毛毛族人,因此可以断定第三个人是毛毛族人。
我们在分析本题时,始终保持了思维前后的一致性,这就是同一律思路的具体运用。
【不矛盾律思路】不矛盾律的形式是“甲不是非甲”。
它的基本内容是:
同一对象,在同一时间内和同一关系下,不能具有两种互相矛盾的性质,它是逻辑推理的又一重要规律,运用不矛盾律来推理、思考某些问题的解答,这种思路我们把它叫做不矛盾律思路。
例1有三个和尚,一个讲真话,一个讲假话,另外一个有时讲真话,有时讲假话。
一天,一位智者遇到这三个和尚,他先问左边的那个和尚:
“你旁边的是哪一位?
”和尚回答说“讲真话的。
”他又问中间的和尚:
“你是哪一位?
”和尚答:
“我是半真半假的。
”他最后问右边的和尚:
“你旁边是哪一位?
”答:
“讲假话的。
”根据他们的回答,智者马上分清了他们,你能分清吗?
分析(运用不矛盾律思路探讨):
两件相互矛盾对立的事情,如果一件是不正确的,另一件就是正确的,这就是不矛盾律的基本思路。
我们先假设左边和尚讲的是真的,那么中间的和尚是讲真话的,但这与他的回答:
“我是半真半假的”矛盾,所以左边和尚讲真话这一假设不对。
从而左边和尚讲的是假话,他一定不是讲真话的和尚。
中间那个和尚也一定不是讲真话的,所以右边的和尚是讲真话的和尚。
根据他的话,中间是讲假话的和尚,剩下左边的和尚自然就是半真半假的。
例2一次学校举行田径运动会,A、B、C、D、E五个班取得了团体前五名,发奖后有人问他们的名次,回答是:
A班代表说:
“B是第三名,C是第五名。
”
B班代表说:
“D是第二名,E是第四名。
”
C班代表说:
“A是第一名,E是第四名。
”
D班代表说:
“C是第一名,B是第二名。
”
E班代表说:
“D是第二名,A是第三名。
”
最后,他们都补充说:
“我的话是半真半假的。
”请你判断一下,他们各个班的名次。
分析(用不矛盾律思路分析):
先简化一下记法,比如B班是第三名,则写成B-3,其它类似,这样五个班代表的讲话可简记为:
(1)B-3,C-5。
(2)D-2,E-4。
(3)A-1,E-4。
(4)B-2,C-1。
(5)A-3,D-2。
假设
(1)的前半句是真的,即B-3,那么由(4)有C-1,由(3)知A-1不对,有E-4;再由
(2)知D-2不对,从(5)知A-3,这与假设矛盾,所以
(1)中正确的应是C-5,于是由(4)知C-1不对,应该是B-2,进而知
(2)D-2不对,有E-4,并知(5)D-2不对,有A-3,最后只剩下D及第一名,所以知道D应为第一名。
最后排出名次自然就非常简单了。
上述叙述虽然简化了记号,但文字表述仍然觉得累赘,所以还可以借助图表表达上述推理过程。
如图2.21,假设B-3,在B上画一个圆圈(左图),表示推理的起点,找到另一个B,则应是不对的,画一个“×”,再找与这个B同行的“C”,它应是对的,画一个“√”,找与C同列的“A”,它不对,画一个“×”,等等。
最后A-3被画了一个“√”,这与B-3相矛盾,故B-3是错的。
在这个“B”上画一个“×”,重新开始推理(右图)。
从
(1)的C开始,因B-3是错的,则C-5记“√”,则(4)中C-1画“×”,B-2记“√”,由此推出(5)D-2记“×”,
(2)D-2记“×”,……从表中可以看出,B-2,A-3、E-4、C-5,那么谁是第一,表中虽然未表达,但明眼人一看就知道了。
【排中律思路】排中律的形式是“或者是甲,或者是非甲”。
它的基本内容是:
同一对象在同一时间内和同一关系下,或者是具有某种性质。
或者是不具有某种性质,二者必居其一,不能有第三种情况。
它是处理肯定判断与否定判断之间的关系的一个规律。
运用这一规律来推理的思路,我们把它叫排中律思路。
排中律和不矛盾律的基本作用是相同的,即都是排除思想中的矛盾。
但也有区别:
一是适用范围不同,不矛盾律的适用范围宽,既适用于互相反对的判断,也适用于互相矛盾的判断,排中律的作用范围窄些,只适用于互相矛盾的判断,不适用互相反对的判断;二是要求不同,不矛盾律要求对互相反对的和互相矛盾的判断,不能同时断定其中每一个都是真的,因为其中至少有一个是假的。
排中律则要求:
对于互相矛盾的判断,必须肯定其中一个是真,因为其中必有一真,不能都假。
如果我们确定了某一个是正确的,根据不矛盾律,就可以得出另一个是错误的。
反过来。
如果我们确定了某一个是错误的,根据排中律,就可以得出另一个是正确的。
从这方面来看,如果说不矛盾律提供我们逻辑否定的基础,那么排中律则主要提供我们逻辑肯定的基础;三是逻辑错误性质不同,不矛盾律要求的逻辑错误是“自相矛盾”,排中律要求的逻辑错误是“模棱两不可”。
例1老师有一黑两白三顶帽子,给两个学生看后,让他们闭上眼睛,从中取出两顶给他们戴上,然后让他们睁开眼睛,互相看清对方戴的帽子,并立即说出自己头上戴的帽子是什么颜色,两位同学都不能立即说出,请问你知道这两位学生戴的各是什么颜色的帽子吗?
分析(运用排中律思路思索):
假设你是这两个学生中的一个,因为你知道只有一顶黑帽子,当你看到对方戴的是黑帽子时,你能判断自己戴的帽子颜色吗?
可以的,根据排中律:
“非此即彼”,你一定会推断出自己戴的是白帽子。
现在两个学生都不能利用排中律很快地说出自己戴的是白帽子,说明他们两人都没有看见黑帽子,由此断定,老师给两位学生戴的是两顶白帽子。
例2曾实、张晓、毛梓青在一起,一位是工程师、一位是医师、一位是教师。
现在只知道:
(1)毛梓青比教师年龄大;
(2)曾实和医师不同岁;
(3)医师比张晓年龄小。
你能确定谁是工程师?
谁是医师?
谁是教师吗?
分析(沿着排中律思路探索):
根据排中律的要求,如果我们能确定某个是错误的,就可以得出另一个是正确的。
现在已知
(1)曾实和医师不同岁,
(2)医师比张晓年龄小,就可以判定曾实和张晓都不是医师,因此只有毛梓青是医师;
若张晓是教师,则根据
(1)毛梓青比教师年龄大,即毛梓青比张晓年龄大,与(3)医师比张晓年龄小,即毛梓青比张晓年龄小,这两个结论是互相矛盾的,因此张晓不可能是教师。
张晓既不是医师(因为毛梓青是医师),又不是教师,所以张晓应该是工程师了。
因为三个人、三个职业,已经确定了毛梓青是医师,张晓是工程师,剩下的曾实只能是教师了。
该题的思路还可以用下表表示:
【充足理由律思路】充足理由律的形式是:
“所以有甲,是因为有乙”。
它的意思是说,任何正确的思想,一定有它的充足理由;任何思想,只有当它具有充足的理由时,这种思想才能被认为是正确的。
在数学中,如果由条
正确的,A就是B的正确性的充分理由。
因此B的正确性要以A的正确性为基础,而要使A的正确性得到确认,又得为它提出充足的理由,照此类推。
这样,当我们要论证某一思想是正确的时候,常常要引证一系列的理由。
以此连锁引证下去,直到最后的理由——它的正确性已经确定,并且得到普遍承认的。
具体说来有下列三种:
(1)明显的事实,它可以为人们所直接感知的;
(2)公理;(3)科学的规律。
当然在实际进行论证时,并不是总要引证到最后的理由,数学中已经证明过的定理、定律、公式、法则等,都可以作为论证所根据的理由。
充足理由律是进行推理的基础。
运用充足理由律来思考数学问题,我们把它叫做充足理由律思路。
例1200米赛跑,张强比李军快0.2秒,王明的成绩是39.4秒,赵刚的成绩比王明慢0.9秒,但比张强快0.1秒,林林比张强慢3秒,请你给这五人排出名次来。
分析(运用充足理由律思路思索):
题中有两种概念。
一是成绩好坏,需要进行量的计算;二是快慢关系推理,先用计算量进行比较推理。
抓住“各人跑200米需要的时间”为比较量。
并设字母A、B、C、D、E来分别表示张强、李军、王明、赵刚、林林的时间。
∵王明的成绩是39.4秒,赵刚的成绩比王明慢0.9秒(即C=39.4秒,D=C+0.9)
∴D=39.4+0.9=40.3(秒)
又∵赵刚比张强快0.1秒(即D+0.1=A)
∴A=40.3+0.1=40.4(秒)(传递性)
又∵张强比李军快0.2秒(即A=B-0.2)
∴B=A+0.2=40.4+0.2=40.6(秒)
又∵林林比张强慢3秒(即A=E-0.3)
∴E=A+3=40.4+3=43.4(秒)
由43.4>40.6>40.4>40.3>39.4
即E>B>A>D>C
谁是第一、谁是第二、第三、第四、第五名,不就一目了然了吗?
本题还可以单纯用快慢关系来进行判断。
∵A<B,D>C,D<A,E>A,
可得B、E均>A>D>C,
∴一、二、三名分别应是C、D、A。
但第四、五名仍需计算。
由E=A+3秒,B=A+0.2秒,
可知E>B,
故B是第四,E是第五名。
例2填数使下列竖式成立:
分析(运用充足理由律思路来探讨这两个式题):
第
(1)题。
抓住乘、除法法则和乘除的互逆关系去思考。
∵()()×5=33()
∴只要求得33()÷5=()(),就可以得出竖式被乘数了,现可知33()÷5商的十位得6,故被乘数的十位应是6,个位是几呢?
再往下看:
乘数35的十位数字是3,3与被乘数个位相乘的积的末尾数字要是8,显然只有3与6相乘末尾数字才能是8,所以被乘数是66。
找到了被乘数是66以后,其他数字自然就容易找到了。
第
(2)题仍抓住除法算式特征和乘除的互逆关系去找理由。
由除法竖式特征第二次余数为0,只好把被除数十位数和个位数同时移下,故可得y=0。
∴x>8。
又∵1≤x≤9,∴x=9,
则商数为9807。
∴ab≥12。
故ab=12。
此题确定了商和除数,其他数字自然就容易找了。
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