高中数学2122综合测试 31.docx
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高中数学2122综合测试31
数学选修2-1和2-2综合测试
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分)
⒈有下面四个命题:
⑴方程2x-5=0在自然数集N中无解
⑵方程2x²+9x-5=0在整数集Z中有一解,在有理数集Q中有两解
⑶x=i是方程x²+1=0在复数集C中的一个解
⑷x的四次方=1在实数R上有两解,在复数集C中也有两解
其中正确命题的个数为()(复数的定义)
A、1B、2C、3D、4
2、点P是椭圆x²/5+y²/4=1上的一点,F1和F2是焦点,且F1PF2=30°,求△F1PF2的面积()(S△F1PF2=b²tanα/2)
A、4/(2+√3)B、4/(2+√2)C、2D、3/2
3、a,b为非零向量,“a⊥b”是“函数f(x)=(xa+b)*(xb+a)为一次函数”的()(常用逻辑用语的辨别)
A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件
4、已知P是椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)上的一动点,且P椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为-1/2,则椭圆的离心率为()(椭圆的离心率)
A、√3/2B、√2/2C、1/2D、√3/3
5、在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=π/2,AB=AC=AA1=1,已知G和E分别为A1B1和CC1的中点,D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点),若GD⊥EF,则线段DF的长度的最小值()(建立空间直角坐标系)
A.√5/5B.1C.2√5/5D.3√5/5
6、设函数f(x)在实数集R上的导函数是f'(x),且2f(x)+xf'(x)>x^2则下面不等式恒成立的是?
(导数与函数结合)
A.f(x)>0
B.f(x)<0
C.f'(x)>x
D.f'(x) 7、已知f(x)=x^3+x(x属于R),a,b,c也属于R,且a+b大于0,b+c大于0,c+a大于0,则f(a)+f(b)+f(c)的符号为(推理与证明) A.正B.负C.等于0D.无法确定 8、7.“因为指数函数y=ax是增函数(大前提),而y=x是指数函数(小前提),所以y=x是增函数(结论)”,上面推理的错误是( )(三段论的辨析) A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提错都导致结论错 9、 (微积分应用) 10、某人为了观看2012年奥运会,从2005年起,每年5月10日到银行存入a元定期储蓄,若年利率为p且保持不变,并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期,到2012年将所有的存款及利息全部取回,则可取回的钱的总数(元)为( )(归纳推理应用) A.a(1+p)7 B.a(1+p)8 C.ap[(1+p)7-(1+p)] D.ap[(1+p)8-(1+p)] 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分) 11、已知x是实数,y是纯虚数,且满足(2x-1)+(3-y)i=y-I,则x,y的值分别是(复数的计算) 12、设A,B两点的坐标是(-a,0)(a,0),若动点M满足kMA*kMB=-1,则动点M的轨迹方程为(轨迹方程及x的取值范围) 13、已知F是双曲线x²/4-y²/12=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为(双曲线的性质) 14、观察下列等式: C15+C55=23-2, C19+C59+C99=27+23, C113+C513+C913+C1313=211-25, C117+C517+C917+C1317+C1717=215+27, …… 由以上等式推测到一个一般的结论: 对于n∈N*,C14n+1+C54n+1+C94n+1+…+C4n+14n+1=__________________.(考查归纳推理的能力) 三、解答题(共6小题,15~18题每题13分,19,20题每题14分) 15、已知ab≠0求证: a+b=1的充要条件是a³-b³+ab-a²-b²=0(充要条件的证明) 16、求证: ln(n+1)>1/3+1/5+1/7+...+1/(2n+1)(n∈R+)(数学归纳法和导数结合) 17、 (微积分与导数相结合) 18、 (空间直角坐标系解决几何问题) .19、已知点F(0,1),直线l: y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且向量QP*QF-FP*FQ=0(椭圆综合应用), ⑴求动点P的轨迹C的方程 ⑵已知圆M过定点D(0,2),圆心M在轨迹C上运动,且圆M与x轴交于AB两点,设||DA|=L1,|DB|=L2,求L1/L2+L2/L1的最大值 20、设函数f(x)=(a/3)x^3+bx^2+4cx+d的图象关于原点对称.y=f(x)的图象在点P(1,m)处的切线斜率为-6.且当x=2时函数f(x)有极值.(导数综合应用) 1.求a.b.c.d的值 2.若x1,x2属于[-1,1].求证|f(x1)-f(x2)|<=44/3 答案解析 1、选C.有三解1、-1、i² 2、选A.S△F1PF2=b²tanα/2=4×[1/(2+√3)]=4/(2+√3) 3、选B.函数f(x)=(xa+b)*(xb+a)为一次函数﹤=﹥a⊥b且|a|≠|b| 4、选B.设P(x0,y0),则[y0/(x0-a)]×[y0/(x0-a]=﹣1/2 化简得x0²/a²+2y0²/a²=1又P在椭圆上,所以x0²/a²+y0²/b²=1 所以a²=2b²,e=√2/2 5、选A.以A为原点,AB,AC,AA1为x,y,z轴j建立坐标系 选A.D(0,y,0)F(x,0,0),G(1/2,0,1),E(0,1,1/2) 向量GD=(-1/2,y,-1),向量EF=(x,-1,-1/2) ∵GD⊥EF∴-x/2-y+1/2=0 ∴y=1/2-x/2(0 |DF|²=x²+y²=x²+(1/2-x/2)²=5/4*x²-1/2x+1/4 =5/4(x²-2/5x)+1/4=5/4(x-1/5)²+1/5≥1/5 ∴|DF|min=√5/5 6、选A.反正法: 设f(x)=<0则0 如果x<0f'(x)<0x<0时减函数 x>0f'(x)>0x>0是为增 所以f(x)>f(0) 令原式中x=0则f(x)>0 即f(x)>f(x)>0矛盾则 f(x)>0恒成立 f(x)>1/2*x(x-f'(x))因为f(x)>0恒成立 则1/2*x(x-f'(x))=<0 7、选A2[f(a)+f(b)+f(c)]=(a^3+b^3+a+b)+(b^3+c^3+b+c)+(c^3+a^3+c+a)=(a+b)(a^2-ab+b^2+1)+(b+c)(b^2-bc+c^2+1)+(c+a)(c^2-ca+a^2+1) 因为(a+b)(a^2-ab+b^2+1)=(a+b)[(a-b/2)^2+3b^2/4+1]>0 同理(b+c)(b^2-bc+c^2+1)>0 (c+a)(c^2-ca+a^2+1)>0 所以2[f(a)+f(b)+f(c)]>0 8、选A当a﹥0时y=ax为增函数,当a﹤0时y=ax为减函数 9、选D.∫f(ax+b)dx=(1/a)∫f(ax+b)d(ax+b) 令ax+b=t 则,原式=(1/a)∫f(t)dt 已知: ∫f(x)dx=F(x)+C 所以,原式=(1/a)F(t)+C 将t=ax+b代入,就有: 原式=(1/a)F(ax+b)+C 10、选D.到2006年5月10日存款及利息为a(1+p). 到2007年5月10日存款及利息为 a(1+p)(1+p)+a(1+p)=a[(1+p)2+(1+p)] 到2008年5月10日存款及利息为 a[(1+p)2+(1+p)](1+p)+a(1+p) =a[(1+p)3+(1+p)2+(1+p)] …… 所以到2012年5月10日存款及利息为 a[(1+p)7+(1+p)6+…+(1+p)] =a(1+p)[1-(1+p)7]1-(1+p) =ap[(1+p)8-(1+p)]. 11、-3/2和4i 设y=bi(b∈R且b≠0) 则(2x-1)+(3-bi)i=bi-i 整理得(2x-1+b)+3i=(b-1)i ∴2x-1+b=0且b-1=3 解得x=-3/2y=4i 12、x²+y²=a²(x≠±a) 设M为(x,y)x≠±a ∵kMA*kMB=-1 ∴y/(x+a)×y/(x-a)=-1 ∴x²+y²=a²(x≠±a) 13、9 已知F(-4,0)设F1为双曲线的右焦点,则F1(4,0),点A(1,4)在双曲线两支之间,由双曲线定义,|PF|-|PF1|=2a=4,而|PF|+|PA|=4+|PF1|+|PA|≥4+|AF1|=4+5=9 当且仅当A,P,F1三点共线时,取等号 14、24n-1+(-1)n22n-1 等式右端第一项指数3,7,11,15,…构成的数列通项公式为an=4n-1,第二项指数1,3,5,7,…的通项公式bn=2n-1,两项中间等号正、负相间出现,∴右端=24n-1+(-1)n22n-1. 15、必要性: ∵a+b=1 a+b-1=0 ∴(a+b)(a²-ab+b²)-(a²-ab+b²) =(a²-ab+b²)(a+b-1) =0 充分性: a³+b³+ab-a²-b²=0 (a²-ab+b²)(a+b-1)=0 ∵ab≠0∴a≠0且b≠0 ∴a²-ab+b²=(a-b/2)²+(3/4)b²﹥0 ∴a+b-1=0即a+b=1 综上所述: 当ab≠0时a+b=1的充要条件是a³-b³+ab-a²-b²=0 16、 17、⑴设tx^2=u φ(x)=(1/x^2)∫(0,x^2sinx)f(u)du .φ'(x)=[xf(x^2sinx)(2xsinx+x^2cosx)-2∫(0,x^2sinx)f(u)du]/x^3(x不等于0) ⑵x=0时,φ(0)=0,limφ(x)/x=lim∫(0,x^2sinx)f(u)du/x^3 =limf(x^2sinx)(2xsinx+x^2cosx)/3x^2=f(0)=2 x趋于0时,limφ'(x) =lim[xf(x^2sinx)(2xsinx+x^2cosx]/x^3-2lim∫(0,x^2sinx)f(u)du]/x^3 =f(0)-2limf(x^2sinx)(2xsinx+x^2cosx)/3x^2 =-2 在x=0处不连续 18、 19、⑴设P(x,y),Q(x,-1) ∵QP*FQ-FP*FQ=0 ∴(0,y+1)●(-x,2)-(x,y-1)●(x,-2)=0 ∴2(y+1)-(x²-2y+2)=0 ∴轨迹为C: x²=4y ㈡设M(t,t²/4),|MD|²=t²+(2-t²/4)² 圆M: (x-t)²+(y+t²/4)²=t²+(2-t²/4)² 令y=0,得(x-t)²=4,x=t±2 ∴A(t-2,0),B(t+2,0) l1=√(t²-4t+8),l2=√(t²+4t+8) ∴l1/l2+l2/l1=(l1²+l2²)/(l1l2) =[(t²-4t+8)+(t²+4t+8)]/√[(t²+4t+8)(t²-4t+8)] =(2t²+16)/√[(t²+8)²-16t²] =(2t²+16)/√(t⁴+64) =2√[(t²+8)²/(t⁴+64)] =2√[(t⁴+64+16t²)/(t⁴+64)] =2√[1+16t²/(t⁴+64)] =2√[1+16/(t²+64/t²)] ∵t²+64/t²≥2√64=16∴ ∴1+16/(t²+64/t²)≤2 20、⑴函数f(x)=(a/3)x^3+bx^2+4cx+d的图象关于原点对称,则f(0)=0, 所以d=0① f(x)=x[(a/3)x²+bx+4c]②, f´(x)=ax²+2bx+4c③, 当x=2时函数f(x)有极值,根据对称性,当x=-2时函数f(x)也有极值,x=±2是函数的两个极值点,也是f´(x)=ax²+2bx+4c=0的两个根,代入得: 4a±4b+4c=0,解得b=0④,c=-a⑤,代入②函数f(x)化为: f(x)=(a/3)x(x²-12)⑥, 同时f´(x)=a(x²-4),又y=f(x)的图象在点P(1,m)处的切线斜率为-6, 所以f´ (1)=a(1²-4)=-6,所a=2⑦,由⑤,c=-2⑧, 于是f(x)=(2/3)x(x²-12)⑨,f´(x)=2(x²-4)⑩, a=2b=0c=-2d=0 ⑵.当x∈[-1,1]时,由⑩f´(x)<0,f(x)单调递减, x1,x2属于[-1,1],所以|f(x1)-f(x2)|≤f(-1)-f (1) 由⑨,f(-1)=22/3,f (1)=-22/3 所以|f(x1)-f(x2)|≤22/3-(-22/3)=44/3
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