振动力学第一章单自由度系统的自由振动.ppt
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振动力学第一章单自由度系统的自由振动.ppt
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刘丽丽,振动力学,绪论单自由度系统的振动多自由度系统的振动连续系统的振动振动问题的定性理论,教学内容,振动问题的提法,力学模型,振动和系统的分类,基本概念与学习目的,绪论,基本概念与学习目的,绪论,定义从广义上讲,如果表征一种运动的物理量作时而增大时而减小的反复变化,就可以称这种运动为振动如果变化的物理量是一些机械量或力学量,例如物体的位移、速度,加速度、应力及应变等等,这种振动便称为机械振动,4,振动:
机械或结构系统在其平衡位置附近的往复运动。
绪论,5,绪论,振动是自然界最普遍的现象之一各种物理现象,诸如声、光、热等都包含振动
(1)心脏的搏动、耳膜和声带的振动,
(2)桥梁和建筑物在风和地震作用下的振动,(3)飞机和轮船航行中的振动,(4)机床和刀具在加工时的振动各个不同领域中的现象虽然各具特色,但往往有着相似的数学力学描述。
正是在这个共性基础上,有可能建立某种统一的理论来处理各种振动问题振动力学借助数学、物理、实验和计算技术,探讨各种振动现象,阐明振动的基本规律,以便克服振动的消极因素,利用其积极因素,为合理解决各种振动问题提供理论依据,6,绪论,学习目的许多情况下,振动是有害的它常常是造成机械和结构破坏和失效的直接原因例如:
1940年美国的TacomaNarrows吊桥;1972年日本海南电厂的一台66万千瓦的气轮发电机组主轴断裂;1986年,前苏联切尔诺贝利核电站4号机组严重振动,导致核泄漏;2008年汶川地震及2011年日本地震;振动会影响精密仪器的功能,降低加工精度,加剧构件疲劳和磨损桥梁因振动而倒塌、飞机机翼的颤振、机轮的抖振而造成事故强烈的振动噪声而形成严重公害,7,绪论,美国Tacoma吊桥因风载引起振动坍塌,8,绪论,2008年5.12汶川地震伤亡人数:
69227人遇难,374643人受伤,失踪17923人,9,绪论,2011年3.11日本地震伤亡人数:
已确认14704人遇难,10969人失踪,10,绪论,学习振动力学的目的之一:
掌握振动的基本理论和分析方法,用以确定和限制振动对工程结构和机械产品的性能、寿命和安全的有害影响,11,绪论,学习目的振动也有它积极的一方面,是可以利用的例如:
振动是通信、广播、电视、雷达等工作的基础工业用的振动筛、振动沉桩、振动输送以及地震仪等学习振动力学的目的之二:
运用振动理论去创造和设计新型的振动设备、仪器及自动化装置,12,振动问题的提法,力学模型,振动和系统的分类,基本概念与学习目的,绪论,13,振动问题的提法,绪论,通常的研究对象被称作系统它可以是一个零部件、一台机器或者一个完整的工程结构等外部激振力等因素称为激励(输入)在激励作用下,系统发生的振动称为响应(输出),14,绪论,第一类:
已知激励和系统,求响应第二类:
已知激励和响应,求系统第三类:
已知系统和响应,求激励,振动问题按这三个环节可分为三类问题,15,绪论,第一类:
已知激励和系统,求响应正问题动力响应分析主要任务在于验算结构、产品等在工作时的动力响应(如变形、位移、应力等)是否满足预定的安全要求和其它要求在产品设计阶段,对具体设计方案进行动力响应验算,若不符合要求再作修改,直到达到要求而最终确定设计方案,这一过程就是所谓的振动设计,?
16,绪论,第二类:
已知激励和响应,求系统第一类逆问题系统识别,系统辨识求系统,主要是指获得对于系统的物理参数(如质量、刚度和阻尼系数等)和系统关于振动的固有特性(如固有频率、主振型等)的认识以估计物理参数为任务的叫做物理参数辨识,以估计系统振动固有特性为任务的叫做模态参数辨识或试验模态分析,?
17,绪论,第三类:
已知系统和响应,求激励第二类逆问题环境预测例如:
为了避免产品在公路运输中的损坏,需要通过实地行车记录汽车振动和产品振动,以估计运输过程中是怎样的一种振动环境,运输过程对于产品是怎样的一种激励,这样才能有根据地为产品设计可靠的减震包装,?
18,振动问题的提法,力学模型,振动和系统的分类,基本概念与学习目的,绪论,19,力学模型,绪论,振动系统三要素:
质量,刚度,阻尼质量是感受惯性(包括转动惯量)的元件,刚度是感受弹性的元件,阻尼是耗能元件描述振动系统的两类力学模型:
(1)连续系统模型(无限多自由度系统,分布参数系统)结构参数(质量,刚度,阻尼等)在空间上连续分布数学工具:
偏微分方程
(2)离散系统模型(多自由度系统,单自由度系统)结构参数为集中参量数学工具:
常微分方程,20,振动问题的提法,力学模型,振动和系统的分类,基本概念与学习目的,绪论,21,振动和系统的分类,绪论,按运动微分方程的形式可分为:
线性振动:
描述其运动的方程为线性微分方程,相应的系统称为线性系统。
线性系统的一个重要特性是线性叠加原理成立非线性振动:
描述其运动的方程为非线性微分方程,相应的需要称为非线性系统。
对于非线性振动,线性叠加原理不成立按对系统的激励类型分为:
自由振动:
系统受初始激励后不再受外界激励的振动受迫振动:
系统在外界控制的激励作用下的振动自激振动:
系统在自身控制的激励作用下的振动参数振动:
系统自身参数变化激发的振动,22,绪论,按系统的响应类型可分为:
确定性振动:
响应是时间的确定函数暂态振动:
只在较短的时间中发生稳态振动:
可在充分长的时间中进行简谐振动:
响应为时间的正弦或余弦函数周期振动:
响应为时间的周期函数,可用频谱分析的方法展开为一系列周期可通约的简谐振动的叠加准周期振动:
若干个周期不可通约的简谐振动组合而成的振动混沌振动:
响应为时间的始终有限的非周期函数随机振动:
响应为时间的随机函数,只能用概率统计的方法描述,23,绪论,按系统的性质从不同的方面可分为:
确定性系统和随机性系统:
确定性系统特性是可用时间的确定性函数给出;随机系统特性是不能用时间的确定性函数给出,只具有统计规律。
离散系统和连续系统:
离散系统由彼此分离的有限个质量元件、弹性元件和阻尼元件构成的系统,有有限个自由度,数学描述为常微分方程;连续系统是由杆、弦、轴、梁、板等弹性元件组成的系统,有无穷多个自由度,数学描述为偏微分方程。
定长系统和参变系统:
定长系统是系统特性不随时间改变的系统,数学描述为常系数微分方程;参变系统是系统特性随时间变化的系统,数学描述为变系数微分方程。
线性系统和非线性系统:
线性系统是质量不变、弹性力和阻尼力与运动参数成线性关系的系统,数学描述为线性微分方程;非线性系统是不能简化为线性系统的系统,数学描述为非线性线性微分方程。
24,线性振动模型:
系统惯性力、弹性力和阻尼力与运动参数(位移、速度、加速度)成线性关系,非线性振动模型:
不具备上述线性关系,线性振动理论是对振动现象的近似描述非线性因素来源:
几何、物理.,绪论,25,示例:
几何非线性,绪论,26,绪论,主要参考教材:
刘延柱,陈立群,陈文良.振动力学.高等教育出版社,2011倪振华.振动力学.西安交通大学出版社,1994胡海岩,孙久厚,陈怀海.机械振动与冲击.航空工业出版社,2002胡海岩.应用非线性动力学.航空工业出版社,2000,27,绪论,要求:
预习:
每次上课前进行预习作业:
认真和独立完成作业,28,判断对错:
已知系统模型和外载荷,求系统的响应是动力学的第一类逆问题;,2.已知输入和输出求系统特性是动力学的第二类逆问题;,3.已知系统特性和响应求载荷是动力学正问题;,4.物理参数识别、模态参数识别均属于第一类逆问题.,29,1.齐次微分方程通解的结构,二阶常系数线性微分方程的解,30,通解是什么意思?
问题1:
线性无关是什么意思?
问题3:
问题2:
特解是什么意思?
不含任意常数的确定的微分方程的解,对n阶奇次微分方程来说,含有n个线性无关的特解,这些特解的线性组合就是n阶奇次微分方程的通解,二阶常系数线性微分方程的解,31,2.非齐次微分方程通解的结构,二阶常系数线性微分方程的解,32,3.齐次微分方程通解的求法特征根法,二阶常系数线性微分方程的解,33,4.非齐次微分方程特解的求法待定系数法,二阶常系数线性微分方程的解,34,二阶常系数线性微分方程的解,求下列齐次方程的通解,求下列非齐次方程的特解,课堂练习,35,上次课复习,1.对于齐次方程:
请根据特征方程的特征根写出齐次方程的通解。
其中:
或,特解的形式为:
当是特征方程的单根时,,上次课复习,2.对于非齐次方程:
的取值为:
当不是特征方程的根时,,非齐次通解,齐次通解,非齐次特解,=,3.对于非齐次方程:
的通解的结构可表示为:
单自由度系统的自由振动,第一章,振动系统的组成,单自由度系统的振动方程,引言,第一章:
单自由度系统的自由振动,无阻尼单自由度系统的自由振动,为什么要研究单自由度系统的振动,在工程上有许多振动系统可以简化为单自由度系统,用单自由度系统的振动理论就可以得到满意的结果。
2.单自由度系统的基本概念具有普遍意义。
多自由度系统和无限自由度系统的振动,在特殊的坐标系中考察时,显示出与单自由度系统类似的性态。
?
第一章:
单自由度系统的自由振动,引言,第一章:
单自由度系统的自由振动,引言,第一章:
单自由度系统的自由振动,振动系统的组成,第一章:
单自由度系统的自由振动,振动系统的组成,弹性元件,第一章:
单自由度系统的自由振动,振动系统的组成,弹性元件的意义和性质,第一章:
单自由度系统的自由振动,振动系统的组成,假定振动系统的振动幅值不会超过弹性元件的线性范围;,第一章:
单自由度系统的自由振动,振动系统的组成,惯性元件,惯性元件的意义和性质,对于角振动系统:
第一章:
单自由度系统的自由振动,振动系统的组成,阻尼元件,阻尼元件的意义和性质,阻尼系数:
使阻尼器产生单位速度所需施加的力,单位:
对于角振动系统:
使阻尼器产生单位角速度所需施加的力矩,单位:
第一章:
单自由度系统的自由振动,单自由度系统的振动方程,结论:
只要以系统静平衡位置为坐标原点,那么在列写系统运动方程时就可以不考虑系统重力的作用。
无阻尼单自由度系统的自由振动,第一章:
单自由度系统的自由振动,正确理解固有频率的概念,会建立单自由度无阻尼系统的运动微分方程,会求单自由度无阻尼系统的固有频率,第一章:
单自由度系统的自由振动,1.1无阻尼单自由度系统的自由振动,1.1.1固有频率概念的引出,图无阻尼单自由度系统,特征方程,对固有频率的正确理解:
固有频率仅取决于系统的刚度和质量;,固有频率与初始条件和外力等外界因素无关,是系统的固有特性;它与系统是否振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系,第一章:
单自由度系统的自由振动,1.1无阻尼单自由度系统的自由振动,固有频率,第一章:
单自由度系统的自由振动,1.1无阻尼单自由度系统的自由振动,通解:
1.1.2初始扰动引起的自由振动,自由振动:
运动方程:
振幅:
第一章:
单自由度系统的自由振动,1.1无阻尼单自由度系统的自由振动,初相位:
自由振动:
初始条件是外界能量注入的一种方式,有初始位移即注入了弹性势能,有初始速度即注入了动能。
无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后,其自由振动是以为振动频率的简谐振动,并且永无休止;,在简谐运动三要素中,哪些参数是系统的固有参数?
哪些参数是依赖于外部条件的参数?
第一章:
单自由度系统的自由振动,1.1无阻尼单自由度系统的自由振动,图同相的两个振动信号,第一章:
单自由度系统的自由振动,1.1无阻尼单自由度系统的自由振动,当,时,两振动步调相反,称为反相。
图反相的两个振动信号,第一章:
单自由度系统的自由振动,1.1无阻尼单自由度系统的自由振动,
(1)简谐振动是一种周期振动,1.1.3简谐振动的特征,第一章:
单自由度系统的自由振动,1.1无阻尼单自由度系统的自由振动,固有频率,表示单位时间内振动的周期数.,第一章:
单自由度系统的自由振动,1.1无阻尼单自由度系统的自由振动,的单位:
第一章:
单自由度系统的自由振动,1.1无阻尼单自由度系统的自由振动,
(2)简谐振动的位移、速度和加速度之间的关系,速度与位移的“相位差是90度”意味着什么?
加速度与位移的“相位差是180度”意味着什么?
位移最大时,速度为零;速度最大时,位移为零,加速度与位移的最大值出现在同一时刻,但符号相反,判断对错:
一个振动系统当未受到外力的持续激励时,不会发生振动;,2.单自由度线性无阻尼系统的自由振动频率由系统的参数确定,与初始条件无关;,3.线性谐振子的振动周期与其振幅有关,振幅越大,则周期越长;,4.自由振动是初始激励引起的振动,因此,对于一个单自由度线性系统,初始条件不同,自由振动的振幅、相位、频率均不同;,5.单自由度无阻尼系统的自由振动频率为其固有频率。
第一章:
单自由度系统的自由振动,1.1无阻尼单自由度系统的自由振动,(振幅),例:
升降机笼的质量为,由钢丝绳牵挂以等速度向下运动。
钢丝绳的刚度系数为,质量可忽略不计。
如果升降机运行中急刹车,钢丝绳上端突然停止运动,求此时钢丝绳所受的最大张力。
解:
第一章:
单自由度系统的自由振动,1.1无阻尼单自由度系统的自由振动,对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统,也可以利用能量守恒原理建立自由振动的微分方程,或直接求出系统的固有频率。
1.1.4能量法,第一章:
单自由度系统的自由振动,1.1无阻尼单自由度系统的自由振动,因此动能为零时势能达到最大值,将动能取最大值时的势能取作零,则有,TVconst,TmaxVmax,无阻尼系统为保守系统,其机械能守恒,即动能T和势能V之和保持不变,即:
第一章:
单自由度系统的自由振动,1.1无阻尼单自由度系统的自由振动,例:
用能量法计算固有频率,简谐运动:
第一章:
单自由度系统的自由振动,例:
用能量法计算弹簧的等效刚度,1.1无阻尼单自由度系统的自由振动,第一章:
单自由度系统的自由振动,1.1无阻尼单自由度系统的自由振动,例:
判断下列系统中,哪些弹簧是串联的,哪些弹簧是并联的。
第一章:
单自由度系统的自由振动,1.1无阻尼单自由度系统的自由振动,第一章:
单自由度系统的自由振动,1.1无阻尼单自由度系统的自由振动,解:
第一章:
单自由度系统的自由振动,1.1无阻尼单自由度系统的自由振动,课堂练习,课堂练习,求图示系统的固有频率(注:
图中所示位置均为静平衡位置)。
(a),(b),(c),第一章:
单自由度系统的自由振动,1.1无阻尼单自由度系统的自由振动,(a),第一章:
单自由度系统的自由振动,1.1无阻尼单自由度系统的自由振动,第一章:
单自由度系统的振动,1.1无阻尼单自由度系统的自由振动,(b),(c),第一章:
单自由度系统的自由振动,1.1无阻尼单自由度系统的自由振动,为什么不考虑重力了?
第一章:
单自由度系统的自由振动,1.1无阻尼单自由度系统的自由振动,课堂练习,第一章:
单自由度系统的自由振动,1.1无阻尼单自由度系统的自由振动,填空:
上次课复习,1.无阻尼单自由度系统的固有频率,其单位是,2.无阻尼单自由度系统的固有频率,3.简谐振动的三要素:
、和,振幅,频率,初相位,上次课复习,4.单自由度无阻尼振动系统的自由振动解为:
写为正弦形式为:
其中:
第一章:
单自由度系统的自由振动,有阻尼单自由度系统的自由振动,会建立单自由度有阻尼系统的运动微分方程,会求单自由度有阻尼系统的自由响应(欠阻尼),掌握阻尼比的定义,相轨迹与奇点,正确理解相平面、相点、相轨迹及奇点的概念,掌握相轨迹与奇点的特点,前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响,实际系统的机械能不可能守恒,因为总存在着各种各样的阻力。
阻尼:
阻碍物体运动,消耗系统能量的各种因素统称为阻尼。
例如:
摩擦阻尼,电磁阻尼,介质阻尼和结构阻尼。
尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方法,但是实际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定。
第一章:
单自由度系统的自由振动,1.2有阻尼单自由度系统的自由振动,最常用的一种阻尼力学模型是粘性阻尼在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体,通常就认为受到粘性阻尼。
粘性阻尼力与相对速度称正比。
第一章:
单自由度系统的自由振动,1.2有阻尼单自由度系统的自由振动,牛顿第二定律:
自由运动方程:
1.自由运动微分方程的建立,第一章:
单自由度系统的自由振动,1.2有阻尼单自由度系统的自由振动,2特征根,
(1)过阻尼情况,特征方程有一对互异实根,故通解为:
第一章:
单自由度系统的自由振动,1.2有阻尼单自由度系统的自由振动,图质量块对初始位移的过阻尼响应,结论:
过阻尼系统的自由运动为衰减非振荡运动。
第一章:
单自由度系统的自由振动,1.2有阻尼单自由度系统的自由振动,第一章:
单自由度系统的自由振动,1.2有阻尼单自由度系统的自由振动,
(2)临界阻尼情况,特征方程有一对相等实根,故通解:
图质量块对初始条件的临界阻尼响应,结论:
临界阻尼系统的自由运动为衰减非振荡运动。
思考:
应将仪表盘的指针系统设计成临界阻尼系统还是过阻尼系统?
第一章:
单自由度系统的自由振动,1.2有阻尼单自由度系统的自由振动,(3)欠阻尼情况,第一章:
单自由度系统的自由振动,1.2有阻尼单自由度系统的自由振动,或:
振幅按指数规律衰减;,自由振动具有等时性,即相邻两个正(负)峰值之间的时间间隔均为:
自由振动为非周期振动;,3.欠阻尼振动特性:
第一章:
单自由度系统的自由振动,1.2有阻尼单自由度系统的自由振动,引入对数衰减率来描述振动衰减的快慢,相邻的两次振动振幅之比的自然对数叫作对数衰减率。
当系统阻尼比较小时,有:
第一章:
单自由度系统的自由振动,1.2有阻尼单自由度系统的自由振动,图阻尼对欠阻尼系统自由振动的影响,第一章:
单自由度系统的自由振动,1.2有阻尼单自由度系统的自由振动,第一章:
单自由度系统的自由振动,1.2有阻尼单自由度系统的自由振动,小结,欠阻尼,临界阻尼,过阻尼,振幅衰减振动,衰减非振荡运动,衰减非振荡运动,动力学方程:
第一章:
单自由度系统的自由振动,1.2有阻尼单自由度系统的自由振动,【例】:
图示为一摆振系统,不计刚性摆杆质量,。
求系统绕O点小幅摆动的阻尼振动频率和临界阻尼系数。
图摆振系统的小幅振动,【思路】,要想求阻尼振动频率:
就要求:
通过系统的运动微分方程来求:
当时所对应的阻尼系数就是临界阻尼系数。
对不对?
图摆振系统的小幅振动,动量矩定理:
第一章:
单自由度系统的自由振动,1.2有阻尼单自由度系统的自由振动,第一章:
单自由度系统的自由振动,1.2有阻尼单自由度系统的自由振动,阻尼振动频率:
临界阻尼系数:
第一章:
单自由度系统的自由振动,有阻尼单自由度系统的自由振动,会建立单自由度有阻尼系统的运动微分方程,会求单自由度有阻尼系统的自由响应(欠阻尼),掌握阻尼比的定义,相轨迹与奇点,正确理解相平面、相点、相轨迹及奇点的概念,掌握相轨迹与奇点的特点,第一章:
单自由度系统的自由振动,1.3相轨迹与奇点,1.相平面内的相轨迹,相平面法是一种直观的几何方法,它适用于描述系统的一维运动。
以位置、速度为坐标建立坐标系,通常称此坐标平面为相平面(广义相平面)。
相平面中任一点代表该时刻系统的运动状态,称为相点。
相点连续变化形成的轨迹则描述了系统的运动过程,称为相轨迹,这种图形也称相图.,第一章:
单自由度系统的自由振动,1.3相轨迹与奇点,自治系统,非自治系统,初始条件:
相平面:
平面,相轨线:
随时间演化解曲线相图:
相轨线的全体,状态空间模型,第一章:
单自由度系统的自由振动,1.3相轨迹与奇点,在上半个平面:
相轨线从左到右,在下半个平面:
相轨线从右到左,横坐标轴:
相轨迹与横轴正交,自治系统相轨迹特点:
第一章:
单自由度系统的自由振动,1.3相轨迹与奇点,2.相平面的奇点,使上式右边分子分母同时为零的特殊点称为相轨迹的奇点。
奇点以外的点称为常点。
奇点的特点:
因此,奇点均分布在横坐标轴上,奇点处无积分曲线通过,或者有无数条积分曲线通过,奇点的稳定性也就是系统平衡的稳定性,在奇点处dy/dx不存在或为不定值奇点为系统的平衡点或不动点(速度加速度均为零)奇点的坐标(xs,ys)满足方程,第一章:
单自由度系统的自由振动,1.3相轨迹与奇点,第一章:
单自由度系统的自由振动,1.3相轨迹与奇点,第一章:
单自由度系统的自由振动,1.3相轨迹与奇点,自治系统Lyapunov意义下平衡点稳定性,自治系统Lyapunov意义下平衡点渐近稳定性,第一章:
单自由度系统的自由振动,1.3相轨迹与奇点,1.系统阻尼比的定义是:
2.阻尼固有频率的定义是:
3.欠阻尼自由振动响应是:
4.对数衰减率为:
上次课复习,填空:
102,上次课复习,5.在相平面的上半个平面内,相轨迹方向:
从左到右,在下半个平面内,相轨迹方向:
从右到左,在横坐标轴各点,相轨迹与横坐标轴,正交,判断对错:
1.单自由度欠阻尼系统的自由振动具有等时性,所以是周期运动;,6.奇点的坐标(xs,ys)满足,103,临界阻尼,欠阻尼,过阻尼,上次课复习,有阻尼单自由度系统的自由振动响应,104,第一章:
单自由度系统的自由振动,保守系统与非保守系统的相轨迹,会求保守系统与非保守系统的相轨迹,了解保守系统与非保守系统相轨迹的特性,静态分岔,正确理解分岔的概念,会求系统的分岔值,105,第一章:
单自由度系统的自由振动,1.4保守系统与非保守系统的相轨迹,1.保守系统的相轨迹,系统:
能量积分,106,第一章:
单自由度系统的自由振动,相轨迹方程实际上就是保守系统的能量积分,也可以写作,周期运动的周期,1.4保守系统与非保守系统的相轨迹,107,保守系统相轨迹特性,第一章:
单自由度系统的自由振动,1.4保守系统与非保守系统的相轨迹,108,第一章:
单自由度系统的自由振动,
(2)势能曲线zV(x)与横坐标轴的平行线zE交点的横坐标x=C1,C2,C3处,相轨迹与横坐标轴相交。
(3)对于平衡点有xs=S1,S2,S3:
因此,系统的平衡位置对应于势能的极值点,1.4保守系统与非保守系统的相轨迹,109,第一章:
单自由度系统的自由振动,(4)势能取极小值xS1处设EV(S1),则在xS1的某个小邻域内都有,则在相平面上可得到一围绕S1的封闭相轨迹。
当E减小时,封闭相轨迹逐渐收缩;当EV(S1)时,缩为奇点S1;,当EV(S1),相平面上不存在对应的相轨迹。
这种类型的奇点是稳定的,对应于系统的稳定平衡状态,1.4保守系统与非保守系统的相轨迹,110,第一章:
单自由度系统的自由振动,(5)势能取极大值xS2处设EV(S2),则在区间(C2,C3)内没有对应的相轨迹,当E增大时,两支曲线逐渐靠近;当EV(S2)时,在奇点S2处相接触;,当EV(S2),则演变为分布在x轴的上方和下方的两支曲线。
这种类型的奇点是不稳定的,对应于系统的不稳定平衡状态,而xC3处得到相轨迹的两个分支,,通过鞍点的相轨迹称为分隔线它将相平面分隔具有不同类型相轨迹的若干区域,1.4保守系统与非保守系统的相轨迹,111,第一章:
单自由度系统的自由振动,(6)在势能曲线的拐点xS3处,是不稳定的,也对应于系统的不稳定平衡状态,相轨迹在xS3的右半边具有鞍点性质相轨迹不封闭,1.4保守系统与非保守系统的相轨迹,112,第一章:
单自由度系统的自由振动,例:
单摆的自由振动:
设,势能,相轨迹方程,奇点,n为偶数对应势能V的极小值,奇点为中心;,n为奇数对应势能V的极大值,奇点为鞍点。
中心与鞍点相间出现。
1.4保守系统与非保守系统的相轨迹,113,第一章:
单自由度系统的自由振动,可画出势能和相轨迹曲线如图:
时,相轨迹为闭曲线,周期,设A为x的最大值,由V(A)=E确定。
即,表明周期随振幅增大而增大,代入周期式,可得,1.4保守系统与非保守系统的相轨迹,114,第一章:
单自由度系统的自由振动,物理意义,具体的说,1)闭曲线:
单摆在平衡位置附近振动。
2)开曲线:
单摆绕悬挂点转动。
3)分界线:
单摆到不稳定平
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- 振动 力学 第一章 自由度 系统 自由