考研数学三真题及答案.docx
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2012年考研数学三真题
一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分。
下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。
)
(1)曲线y=x2+xx2-1渐近线的条数为
(A)0(B)1
(C)2(D)3
【答案】C。
【解析】
由limx→+∞y=limx→+∞x2+xx2-1=1=limx→-∞y=limx→-∞x2+xx2-1,
得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线;
由limx→1y=limx→1x2+xx2-1=∞得x=1是曲线的一条垂直渐近线;
由limx→-1y=limx→-1x2+xx2-1=12得x=-1不是曲线的渐近线;
综上所述,本题正确答案是C
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线
(2)设函数fx=(ex-1)(e2x-2)⋯(enx-n),其中n为正整数,则f'0=
(A)-1n-1n-1!
(B)-1nn-1!
(C)-1n-1n!
(D)-1nn!
【答案】A
【解析】
【方法1】
令gx=(e2x-2)⋯(enx-n),则
fx=(ex-1)gx
f'(x)=exgx+(ex-1)g'x
f'0=g0=-1-2⋯(-(n-1))
=-1n-1n-1!
故应选A.
【方法2】
由于f0=0,由导数定义知
f'0=limx→0f(x)x=limx→0(ex-1)(e2x-2)⋯(enx-n)x
=limx→0(ex-1)x∙limx→0(e2x-2)⋯(enx-n)
=-1-2⋯-n-1=-1n-1n-1!
.
【方法3】
排除法,令n=2,则
fx=(ex-1)(e2x-2)
f'x=exe2x-2+2e2x(ex-1)
f'0=1-2=-1
则(B)(C)(D)均不正确
综上所述,本题正确答案是(A)
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念
(3)设函数f(t)连续,则二次积分0π2dθ2cosθ2f(r2)rdr=
(A)02dx2x-x24-x2x2+y2f(x2+y2)dy
(B)02dx2x-x24-x2f(x2+y2)dy
(C)02dy1+1-y24-y2x2+y2f(x2+y2)dx
(D)02dy1+1-y24-y2f(x2+y2)dx
【答案】B。
【解析】
令x=rcosθ,y=rsinθ,则r=2所对应的直角坐标方程为x2+y2=4,r=2cosθ所对应的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1。
由0π2dθ2cosθ2f(r2)rdr的积分区域
2cosθ 得在直角坐标下的表示为 2x-x2 所以0π2dθ2cosθ2f(r2)rdr=02dx2x-x24-x2f(x2+y2)dy 综上所述,本题正确答案是(B)。 【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算 (4)已知级数n=1∞(-1)nnsin1nα绝对收敛,级数n=1∞(-1)nn2-α条件收敛,则 (A)0<α≤12(B)12<α≤1 (C)1<α≤32(D)32<α<2 【答案】D。 【解析】 由级数n=1∞(-1)nnsin1nα绝对收敛,且当n→∞时(-1)nnsin1nα~1nα-12,故α-12>1,即α>32 由级数n=1∞(-1)nn2-α条件收敛,知α<2 综上所述,本题正确答案是(D) 【考点】高等数学—无穷级数—数项级数敛散性的判定 (5)设α1=00c1,α2=01c2,α3=1-1c3,α4=-11c4,其中c1,c2,c3,c4为任意常数,则下列向量组线性相关的为 (A)α1,α2,α3(B)α1,α2,α4 (C)α1,α3,α4(D)α2,α3,α4 【答案】C。 【解析】 n个n维向量相关⇔α1,α2,⋯αn=0 显然α1,α3,α4=01-10-11c1c3c4=0 所以α1,α3,α4必线性相关 综上所述,本题正确答案是(C)。 【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关和线性无关 (6)设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,且P-1AP=100010002.若P=α1,α2,α3,Q=(α1+α2,α2,α3),则Q-1AQ= (A)100020001(B)100010002 (C)200010002(D)200020001 【答案】B。 【解析】由于P经列变换(把第2列加至第1列)为Q,有 Q=P100110001=PE21 (1) 那么Q-1AQ=[PE21 (1)]-1APE21 (1)=E21 (1)-1P-1APE21 (1) =100-110001100010002100110001=100010002 综上所述,本题正确答案是(B)。 【考点】线性代数—矩阵—矩阵运算、初等变换 (7)设随机变量X,Y相互独立,且都服从区间(0,1)上的均匀分布,则PX+Y2≤1= (A)14(B)12 (C)π8(D)π4 【答案】D。 【解析】 PX2+Y2≤1=x2+y2≤1f(x,y)dxdy 而fx,y=fXxfYy=1,0 即fx,y是在正方形0 x2+y2≤1f(x,y)dxdy实际上就是单位圆x2+y2≤1在第一象限的面积。 综上所述,本题正确答案是D。 【考点】概率论与数理统计—多维随机变量的分布—二维随机变量分布 (8)设X1,X2,X3,X4为来自总体N1,σ2(σ>0)的简单随机样本,则统计量X1-X2X3+X4-2的分布为 (A)N0,1(B)t (1) (C)χ2 (1)(D)F(1,1) 【答案】B。 【解析】 1,X1-X2~N0,2σ2,故X1-X22σ~N0,1; 2,X3+X4-2~N0,2σ2,故X3+X4-22σ~N0,1,(X3+X4-22σ)2~χ2 (1), (X3+X4-22σ)2/1=X3+X4-22σ 3,X1-X2与X3+X4-2相互独立。 X1-X22σ与(X3+X4-22σ)2也相互独立, 所以X1-X22σX3+X4-22σ=X1-X2X3+X4-2~t (1) 综上所述,本题正确答案是B。 【考点】概率论与数理统计—数理统计的概念 二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分。 ) (9)limx→π4(tanx)1cosx-sinx=。 【答案】e-2。 【解析】这是一个‘1∞’型极限,由于 (tanx)1cosx-sinx=[1+(tanx-1)]1cosx-sinx limx→π4tanx-1cosx-sinx=limx→π4tanx-1cosx(1-tanx)=limx→π4-1cosx=-2 所以limx→π4(tanx)1cosx-sinx=e-2 【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (10)设函数fx=lnx,&x≥12x-1,&x<1,y=ffx,则dydxx=e=。 【答案】1e 【解析】 y=ffx可看做y=fu,与u=fx的复合,当x=e时 u=fe=lne=12lne=12 由复合函数求导法则知 dydxx=e=f'12∙f'e=2∙12xx=e=1e 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念 (11)设连续函数z=f(x,y)满足limx→0y→1fx,y-2x+y-2x2+(y-1)2=0,则dz(0,1)= 。 【答案】2dx-dy 【解析】 由limx→0y→1fx,y-2x+y-2x2+(y-1)2=0,且z=f(x,y)连续,可得f0,1=1,且 fx,y-f0,1=2x-y-1+o(x2+(y-1)2),(x→0y→1) 由可微的定义得f'x0,1=2,f'y0,1=-1,即 dz(0,1)=f'x0,1dx+f'y0,1dy=2dx-dy 【考点】高等数学—多元函数的微分学—多元函数偏导数的概念与计算 (12)由曲线y=4x和直线y=x及y=4x在第一象限中围成的平面图形的面积为。 【答案】4ln2 【解析】 y y=4x y=x y=4x O12x 曲线y=4x和直线y=x及y=4x在第一象限中围成的平面域如下图,则所围面积为 S=014x-xdx+12(4x-x)dx=4ln2 【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的应用 (13)设A为3阶矩阵,A=3,A*为A的伴随矩阵。 若交换A的第1行与第2行得到矩阵B,则BA*=。 【答案】-27 【解析】 【方法1】 两行互换两列互换A变成B,所以A=-B,再由行列式乘法公式及A*=An-1,则 BA*=B|∙|A*=-AA2=-27 【方法2】根据题意 010100001A=B,即B=E12A 那么BA*=E12AA*=AE12=3E12 从而BA*=3E12=33E12=-27 【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质 线性代数—矩阵—伴随矩阵,矩阵的初等变换 (14)设A,B,C是随机事件,A,C互不相容,PAB=12,PC=13,则PABC=。 【答案】34 【解析】 A,C互不相容,自然有C⊃A,当然更有C⊃AB,所以 PABC=P(ABC)P(C)=P(AB)1-P(C)=1223=34 【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—事件的关系与运算,概率的基本公式,事件的独立性 三、解答题: 15~23小题,共94分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (15)求极限limx→0ex2-e2-2cosxx4 【解析】 【方法1】 limx→0ex2-e2-2cosxx4=limx→0e2-2cosx∙limx→0ex2-2+2cosx-1x4 =limx→0x2-2+2cosxx4(等价无穷小代换) =limx→02x-2sinx4x3(洛必达法则) =12limx→01-cosx3x2=16limx→012x2x2=112 【方法2】 limx→0ex2-e2-2cosxx4=limx→0e2-2cosx∙limx→0ex2-2+2cosx-1x4 =limx→0x2-2+2cosxx4(等价无穷小代换) =limx→0x2-2+2(1-x22! +x44! +o(x4))x4(泰勒公式) =limx→0112x4+o(x4)x4=112 【方法3】 limx→0ex2-e2-2cosxx4=∙limx→0eξ(x2-2+2cosx)x4(拉格朗日中值定理) =limx→0x2-2+2cosxx4 =limx→02x-2sinx4x3(洛必达法则) =12limx→016x3x3(x-sinx~16x3) =112 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较,极限的四则运算 高等数学—一元函数微分学—微分中值定理,洛必达(L'Hospital)法则 (16)计算二重积分Dexxydxdy,其中D是以曲线y=x,y=1x及y轴为边界的无界区域。 【解析】 Dexxydxdy=01dxx1xexxydy=1201ex(1-x2)dx =12ex(1-x2)01+01xexdx =-12+xex01-01exdx =12 【考点】高等数学—一元函数积分学—不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算 (17)某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10000(万元)。 设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别是x(件)和y(件),且这两种产品的边际成本分别为20+x2(万元/件)与6+y(万元/件). (I)求生产甲、乙两种产品的总成本函数C(x,y)(万元); (II)当总产量为50件时,甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小? 求最小成本; (III)求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本,并解释经济意义。 【解析】 (I)总成本函数Cx,y=10000+20x+x24+6y+y22(万元) (II)由题意知,求Cx,y在x+y=50时的最小值,构造拉格朗日函数 Fx,y,λ=Cx,y+λx+y-50=10000+20x+x24+6y+y22+λx+y-50 解方程组F'x=20+x2+λ=0,F'y=6+y+λ=0,x+y-50=0.得x=24,y=26. 因可能极值点唯一,且实际问题存在最小值,故总产量为50件时,甲乙两种产品的产量分别是24,26时可使总成本最小,且此时投入总费用 Cminx,y=10000+20×24+2424+6×26+2622=11118 (万元) (III)甲产品的边际成本函数: C'x,y=20+x2,于是,当总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本 C'x,y=20+242=32 其经济意义为: 当甲乙两种产品的产量分别是24,26时,若甲的产量每增加一件,则总成本增加32万元。 (18)证明: xln1+x1-x+cosx≥1+x22,(-1 【解析】 【方法1】 记fx=xln1+x1-x+cosx-1-x22,则 f'x=ln1+x1-x+2x1-x2-sinx-x, f''(x)=41-x2+4x21-x22-1-cosx 当-1 又因为f'0=0,所以,当-1 从而当-1 即xln1+x1-x+cosx≥1+x22,(-1 【方法2】 记fx=xln1+x1-x+cosx-1-x22,(-1 显然,fx是偶函数,因此只要证明fx≥0x∈[0,1) 由于 f'x=ln1+x1-x+2x1-x2-sinx-x,x∈[0,1) ln1+x1-x>02x1-x2>2x=x+x>x+sinx 从而有f'x>0,x∈(-1,1) 有f0=0 则当-1 即xln1+x1-x+cosx≥1+x22,(-1 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念,导数和微分的四则运算,函数单调性的判别,函数的极值 (19)已知函数fx满足方程f''x+f'x-2fx=0及f''x+fx=2ex (I)求fx的表达式; (II)求曲线y=f(x2)0xf(-t2)dt的拐点。 【解析】 (I)联立f''x+f'x-2fx=0,f''x+fx=2ex, 得f'x-3fx=-2ex,因此 fx=e3dx-2exe-3dx+C=ex+Ce3x 代入f''x+fx=2ex,得C=0,所以fx=ex (II)y=fx20xf-t2dt=ex20xe-t2dt y'=2xex20xe-t2dt+1 y''=2x+2(1+2x2)ex20xe-t2dt 当x<0时,y''<0;当x>0时,y''>0,又y0=0,所以曲线的拐点为(0,0) 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念,导数和微分的四则运算,函数单调性的判别,函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 (20)设A=1a0001a0001aa001,β=1-100. (I)计算行列式|A|; (II)当实数a为何值时,方程组Ax=β有无穷多解,并求其通解。 【解析】 (I)按第一列展开 A=1∙1a001a001+a-14+1a001a001a=1-a4, (II)当A=0时,方程组Ax=β有无穷多解,由上可知a=1或-1 如果a=1 11000110001110011-100→1100011000110-1011-10-1→11000110001100111-10-2→11000110001100001-10-2 rA=3,rA=4,方程组无解,舍去 当a=-1时, 1-10001-10001-1-10011-100→1-10001-10001-10-1011-101→ 1-10001-10001-100-111-100→1-10001-10001-100001-100 rA=3=rA,方程组有无穷多解,取x4为自由变量,得方程组通解为 (0,-1,0,0)T+k(1,1,1,1)T,k为任意常数 【考点】线性代数—线性方程组—线性方程组有解和无解的判定,非齐次线性方程组的通解 (21)已知A=101011-10a0a-1,二次型fx1,x2,x3=xT(ATA)x的秩为2 (I)求实数a的值; (II)求正交变换x=Qy将f化为标准形。 【解析】 (I)因为rATA=r(A),对A做初等行变换 A=101011-10a0a-1→10101100a+10a0, 所以,当a=-1时,rA=2 (II)由于a=-1,所以ATA=202022224,矩阵ATA的特征多项式为 λE-ATA=λ-20-20λ-2-2-2-2λ-4=λ(λ-2)(λ-6), 于是ATA的特征值为λ1=2,λ2=6,λ3=0 当λ1=2时,由方程组2E-ATAx=0,可得到属于λ1=2的一个单位特征向量12(1,-1,0)T; 当λ2=6时,由方程组6E-ATAx=0,可得到属于λ2=6的一个单位特征向量16(1,1,2)T; 当λ3=0时,由方程组0E-ATAx=0,可得到属于λ3=0的一个单位特征向量13(1,1,-1)T。 令Q=121613-121613026-13, 则f在正交变换x=Qy下的标准形为 y=2y12+6y23 【考点】线性代数—矩阵—矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 线性代数—二次型—二次型的标准形和规范形,用正交变换和配方法化二次型为标准形 (22)设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为 XY 0 1 2 0 14 0 14 1 0 13 0 2 112 0 112 (I)求P{X=2Y}; (II)求Cov(X-Y,Y). 【解析】 (I)PX=2Y=PX=0,Y=0+PX=2,Y=1=14+0=14 (II)由(X,Y)的概率分布可得 PX=0=14+14=12;PX=1=0+13+0=13; PX=2=112+112=16; PY=0=14+112=13;PY=1=0+13+0=13; PY=2=14+112=13; PXY=0=712;PXY=1=13;PXY=4=112 所以 EX=0∙12+1∙13+2∙16=23 EY=130+1+2=1 DY=13(0-1)2+13(1-1)2+13(2-1)2=23 EXY=13+13=23 所以 CovX-Y,Y=EXY-EX∙EY-DY=23-23-23=-23 【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质 (23)设随机变量X,Y相互独立,且都服从参数为1的指数分布,记U=maxX,Y,V=min{X,Y}. (I)求V的概率密度fV(v); (II)求E(U+V). 【解析】 (I) FVv=PV≤v=PminX,Y≤v=1-PminX,Y≤v =1-PX≥v,Y≥v=1-PX≥v}P{Y≥v =1-e-ve-v=1-e-2v,v>0 当v≤0时,FVv=0,fVv=2e-2v,v>00,v≤0 (II) EU+V=EX+Y=EX+EY=1+1=2 【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—常见随机变量的分布,连续型随机变量的概率密度,随机变量函数的分布 概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质
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