15江苏高考矩阵和参数方程.doc
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2003年-2012年江苏省高考数学试题分类解析汇编
1.(江苏2008年附加10分)在平面直角坐标系中,设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线F,求F的方程.
2.(江苏2009年附加10分)求矩阵的逆矩阵.
3.(江苏2010年附加10分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,0),B(-2,0),C(-2,1)。
设k为非零实数,矩阵M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍,求k的值。
4.(江苏2011年附加10分)已知矩阵,向量.求向量,使得.
5.(2012年江苏省附加10分)已知矩阵的逆矩阵,求矩阵的特征值.
6.(2013年江苏省附加10分)已知矩阵,求矩阵.
7.(2014年江苏省附加10分)已知矩阵,,向量,为实数,若,求的值.
8.(2015年江苏省附加10分)已知,向量是矩阵的属性特征值的一个特征向量,矩阵以及它的另一个特征值。
1.(江苏2008年附加10分)
【答案】解:
设是椭圆上任意一点,点在矩阵对应的变换下变为点则有
,即,所以
又因为点在椭圆上,故,从而
所以,曲线的方程是。
【考点】圆的标准方程,矩阵变换的性质。
【分析】由题意先设椭圆上任意一点,根据矩阵与变换的公式求出对应的点,得到两点的关系式,再由点在椭圆上代入化简。
2.(江苏2009年附加10分)
【答案】解:
设矩阵A的逆矩阵为则
即∴。
解得:
。
∴A的逆矩阵为。
【考点】逆矩阵的求法。
【分析】设出逆矩阵,根据逆矩阵的定义计算即可。
3.(江苏2010年附加10分)
【答案】解:
由题设得
由,可知A1(0,0)、B1(0,-2)、C1(,-2)。
计算得△ABC面积的面积是1,△A1B1C1的面积是,则由题设知:
。
所以k的值为2或-2。
【考点】图形在矩阵对应的变换下的变化特点。
【分析】由题设得,根据矩阵的运算法则进行求解。
4.(江苏2011年附加10分)
【答案】解:
设,∵=,
∴由得,,∴,解得。
∴。
【考点】矩阵的运算法则。
【分析】设向量,由,利用矩阵的运算法则,用待定系数法可得和的值,从而求得向量。
5.(2012年江苏省附加10分)
【答案】解:
∵,∴。
∵,∴。
∴矩阵的特征多项式为。
令,解得矩阵的特征值。
【考点】矩阵的运算,矩阵的特征值。
【解析】由矩阵的逆矩阵,根据定义可求出矩阵,从而求出矩阵的特征值。
7.(2014年江苏省附加10分)
【答案】本小题主要考查矩阵的乘法等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.
,,由得解得
1.(江苏2008年附加10分)在平面直角坐标系中,点是椭圆上的一个动点,求的最大值.
2.(江苏2009年附加10分)已知曲线C的参数方程为(为参数,).
求曲线C的普通方程。
3.(江苏2010年附加10分)在极坐标系中,已知圆与直线相切,求实数的值。
4.(江苏2011年附加10分)在平面直角坐标系中,求过椭圆(为参数)的右焦点,且与直线(为参数)平行的直线的普通方程.
5.(2012年江苏省附加10分)在极坐标中,已知圆经过点,圆心为直线与极轴的交点,求圆的极坐标方程.
6.(2013年江苏省附加10分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线C的参数方程为(为参数)。
试求直线和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标。
7.(2014年江苏省附加10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),直线l与抛物线交于两点,求线段AB的长.
8.(2015年江苏省附加10分)已知圆C的极坐标方程为,求圆C的半径.
1.(江苏2008年附加10分)
【答案】解:
∵椭圆的参数方程为
∴可设动点的坐标为,其中.
∴
∴当时,取最大值2。
【考点】椭圆的参数方程
【分析】先根据椭圆的标准方程进行三角代换表示椭圆上任意一点,然后利用三角函数的辅助角公式进行化简,即可求出所求。
2.(江苏2009年附加10分)
【答案】解:
∵∴。
∴曲线C的普通方程为:
。
【考点】参数方程和普通方程。
【分析】将平方即可得到,再将化为,从而消去参数,得到曲线C的普通方程。
3.(江苏2010年附加10分)
【答案】解:
∵,∴。
∴圆的普通方程为:
,即。
直线的普通方程为:
,
又∵圆与直线相切,∴解得:
,或。
【考点】曲线的极坐标方程化成普通方程。
【分析】在极坐标系中,已知圆与直线相切,由题意将圆和直线先化为一般方程坐标,然后再根据圆心到直线的距离等于半径计算出值。
4.(江苏2011年附加10分)
【答案】解:
由题意知,椭圆的长半轴长为,短半轴长,∴。
∴右焦点为。
将已知直线的参数方程化为普通方程得,∴所求的直线的斜率为。
∴所求的方程为即。
【考点】椭圆及直线的参数方程。
【分析】把椭圆的参数方程化为普通方程,求出右焦点的坐标,把直线参数方程化为普通方程,求出斜率,用点斜式求得所求直线的方程。
5.(2012年江苏省附加10分)
【答案】解:
∵圆圆心为直线与极轴的交点,
∴在中令,得。
∴圆的圆心坐标为(1,0)。
∵圆经过点,∴圆的半径为。
∴圆经过极点。
∴圆的极坐标方程为。
【考点】直线和圆的极坐标方程。
【解析】根据圆圆心为直线与极轴的交点求出的圆心坐标;根据圆经过点求出圆的半径。
从而得到圆的极坐标方程。
7.(2014年江苏省附加10分)
【答案】本小题主要考查直线的参数方程、抛物线的标准方程等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.
直线l:
代入抛物线方程并整理得
∴交点,,故
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