高考数学一轮复习132导数的应用教案.doc
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13.2导数的应用
●知识梳理
1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤.
(1)求(x).
(2)确定(x)在(a,b)内符号.
(3)若(x)>0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是增函数;
若(x)<0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是减函数.
2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤.
(1)求(x).
(2)(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;
(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.
●点击双基
1.函数y=x2(x-3)的减区间是
A.(-∞,0) B.(2,+∞)
C.(0,2) D.(-2,2)
解析:
y′=3x2-6x,由y′<0,得0 答案: C 2.函数f(x)=ax2-b在(-∞,0)内是减函数,则a、b应满足 A.a<0且b=0 B.a>0且b∈R C.a<0且b≠0 D.a<0且b∈R 解析: (x)=2ax,x<0且(x)<0, ∴a>0且b∈R. 答案: B 3.已知f(x)=(x-1)2+2,g(x)=x2-1,则f[g(x)] A.在(-2,0)上递增 B.在(0,2)上递增 C.在(-,0)上递增 D.在(0,)上递增 解析: F(x)=f[g(x)]=x4-4x2+6,(x)=4x3-8x, 令(x)>0,得- 答案: C 4.在(a,b)内(x)>0是f(x)在(a,b)内单调递增的________条件. 解析: ∵在(a,b)内,f(x)>0,∴f(x)在(a,b)内单调递增. 答案: 充分 ●典例剖析 【例1】设f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1,试求a、b的值,并求出f(x)的单调区间. 剖析: 由已知x=1处有极小值-1,点(1,-1)在函数f(x)上,得方程组解之可得a、b. 解: (x)=3x2-6ax+2b,由题意知 即 解之得a=,b=-. 此时f(x)=x3-x2-x,(x)=3x2-2x-1=3(x+)(x-1). 当(x)>0时,x>1或x<-, 当(x)<0时,- ∴函数f(x)的单调增区间为(-∞,-)和(1,+∞),减区间为(-,1). 评述: 极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点. 【例2】(2004年全国,19)已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数,求实数a的取值范围. 剖析: 在R上为减函数,则导函数在R上恒负. 解: (x)=3ax2+6x-1. (1)当(x)<0时,f(x)为减函数. 3ax2+6x-1<0(x∈R),a<0时,Δ=36+12a<0,∴a<-3. ∴a<-3时,(x)<0,f(x)在R上是减函数. (2)当a=-3时,f(x)=-3(x-)3+. 由y=x3在R上的单调性知: a=-3时,f(x)在R上是减函数,综上,a≤-3. 评述: f(x)在R上为减函数(x)≤0(x∈R). 【例3】(2004年全国,21)若函数y=x3-ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为增函数,试求实数a的取值范围. 剖析: 用导数研究函数单调性,考查综合运用数学知识解决问题的能力. 解: (x)=x2-ax+a-1=0得x=1或x=a-1, 当a-1≤1,即a≤2时,函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意. 当a-1>1,即a>2时,函数f(x)在(-∞,1)上为增函数,在(1,a-1)上为减函数,在(a-1,+∞)上为增函数. 依题意,当x∈(1,4)时,(x)<0,当x∈(6,+∞)时,(x)>0,∴4≤a-1≤6. ∴5≤a≤7.∴a的取值范围为[5,7]. 评述: 若本题是“函数f(x)在(1,4)上为减函数,在(4,+∞)上为增函数.”我们便知x=4两侧使函数(x)变号,因而需要讨论、探索,属于探索性问题. ●闯关训练 夯实基础 1.已知a>0,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,则a的最大值是 A.0 B.1 C.2 D.3 解析: (x)=3x2-a在[1,+∞)上,(x)≥0恒成立,即a≤3x2在[1,+∞)上恒成立, ∴a≤3. 答案: D 2.已知函数f(x)=x4-4x3+10x2,则方程f(x)=0在区间[1,2]上的根有 A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 解析: (x)=4x(x2-3x+5)在[1,2]上,(x)>0, ∴f(x)在[1,2]上单调递增. ∴f(x)≥f (1)=7. ∴f(x)=0在[1,2]上无根. 答案: D 3.函数f(x)的导函数y=(x)的图象如下图,则函数f(x)的单调递增区间为________. 解析: 在[-1,0]和[2,+∞)上,(x)≥0. 答案: [-1,0]和[2,+∞) 4.若函数y=-x3+bx有三个单调区间,则b的取值范围是________. 解析: y′=-4x2+b,若y′值有正、有负,则b>0. 答案: b>0 5.设函数f(x)=x3-ax2+3x+5(a>0),求f(x)的单调区间. 解: (1)(x)=3x2-ax+3,判别式Δ=a2-36=(a-6)(a+6). 1°0 Δ<0,(x)>0对x∈R恒成立.
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- 高考 数学 一轮 复习 132 导数 应用 教案