1987全国高中数学联赛试题及详细解析.docx
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一试题(10月11日上午8∶00——9∶30)
一.选择题(每个小题选对得5分,不选得1分;选错或选出的代号超过一个者得0分.本题满分20分):
1.对任意给定的自然数n,若n6+3a为正整数的立方,其中a为正整数,则()
A.这样的a有无穷多个B.这样的a存在,但只有有限个
C.这样的a不存在D.以上A、B、C的结论都不正确(上海供题)[来源:
Zxxk.Com]
2.边长为5的菱形,它的一条对角线的长不大于6,另一条不小于6,则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是()
A.10B.14C.5D.12(天津供题)
3.在平面直角坐标系中纵横坐标均为有理数的点称为有理点,若a为无理数,则过(a,0)的所有直线中()
A.有无穷多条直线,其中每条直线上至少存在两个有理点
B.恰有n(2≤n<+∞)条直线,其中每条直线上至少存在两个有理点
C.有且仅有一条直线至少通过两个有理点
D.每条直线至多通过一个有理点(河南供题)[来源:
Zxxk.Com]
2.已知集合
A={(x,y)||x|+|y|=α,α>0}
B={(x,y)||xy|+1=|x|+|y|}
若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则α的值为.(青海供题)
3.若k是大于1的整数,α是x2-kx+1=0的一个根,对于大于10的任意自然数n,α+α的个位数字总是7,则k的个位数字是.(河北供题)
4.现有边长为3,4,5的三角形两个,边长为4,5,的三角形四个,边长为,4,5的三角形六个,用上述三角形为面,可以拼成个四面体.(江西供题)[来源:
学*科*网Z*X*X*K]
5.五对孪生兄妹参加k个组活动,若规定:
⑴孪生兄妹不在同一组;⑵非孪生关系的任意两个人都恰好共同参加过一个组的活动,⑶有一人只参加两个组的活动,则k的最小值为.(命题组供题)
1987年全国高中数学联赛二试题
一.如图,△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形,现固定△ABC,而将△ADE绕A点在平面上旋转,试证:
不论△ADE旋转到什么位置,线段EC上必存在点M,使△BMD为等腰直角三角形.
二.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点称为整点.试证:
存在一个同心圆的集合,使得
⑴每个整点都在此集合的某个圆周上;
⑵此集合的每个圆周上,有且只有一个整点.(辛泽尔定理)
三.n(n>3)名乒乓球选手单打若干场后,任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同,试证明:
总可以从中去掉一名选手,而使在余下的选手中,任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同.
1987年全国高中数学联赛解答
一试题
一.选择题(每个小题选对得5分,不选得1分;选错或选出的代号超过一个者得0分.本题满分20分):
2.边长为5的菱形,它的一条对角线的长不大于6,另一条不小于6,则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是()
【解析】若直线斜率为k,则当k=0时直线经过x轴上所有有理点.
当k≠0时,直线方程为y=k(x-a).
若k为有理数,则当x为有理数时,y为无理数;
若k为无理数,若此时直线经过一个有理点A(x1,y1),对于直线上与A不重合的点B(x2,y2).由y1=k(x1-a),y2=k(x2-a),由于a为无理数,故y1≠0,x2-a≠0,==m,当y2为有理数时,m为有理数,当y2≠y1时,m≠1,此时x2=mx1+(1-m)a为无理数.即此直线上至多有一个有理点.选C.
4.如图,△ABC的顶点B在单位圆的圆心上,A、C在圆周上,∠ABC=2α(0<α<)现将△ABC在圆内按逆时针方向依次作旋转,具体方法如下:
第一次,以A为中心使B落到圆周上;第二次,以B为中心,使C落到圆周上;第三次,以C为中心,使A落到圆周上.如此旋转直到100次.那么A点所走过的路程的总长度为()
A.22π(1+sinα)-66αB.π
C.22π+πsinα-66αD.33π-66α(北京供题)
【答案】A
【解析】点A每k(k≡1(mod3))不动,第k(k≡2(mod3))次走过路程π-2α,第k(k≡0(mod3))走过路程(2sinα),于是所求路程=33(π-2α+πsinα).选A.
二.填空题(每小题填写结果完全正确者得8分,填写错误或多填、少填者均得0分,本题满分40分):
1.已知集合
M={x,xy,lg(xy)}
及N={0,|x|,y},
并且M=N,那么
(x+)+(x2+)+(x3+)+…+(x2001+)的值等于.(陕西供题)
2.已知集合
A={(x,y)||x|+|y|=α,α>0}
B={(x,y)||xy|+1=|x|+|y|}
若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则α的值为.(青海供题)
【答案】α=2或2+.
【解析】集合A的图形是依次连(α,0),(0,α),(-α,0),(0,-α)四点的线段.[来源:
学科网]
集合B的图形是直线x=1,x=-1,y=1,y=-1.它们交得一个正八边形.
若此4条直线为图中的4条实线,则α=tan22.5°+1=.或此正八边形各边与原点距离相等,知直线x+y=α与原点距离=1.α=.
若此4条直线为图中的4条虚线,则α=2+2,Þα=2+.
∴α=2或2+.
4.现有边长为3,4,5的三角形两个,边长为4,5,的三角形四个,边长为,4,5的三角形六个,用上述三角形为面,可以拼成个四面体.(江西供题)
若再取两个③类三角形时,由于AD=,不满足(*)式,故不可以构成四面体.
情况⑵:
两个①类,两个③类.此时取BC=5,AB=CD=3,于是斜边BC上的高AE=DF=h=.且BE=CF=x=,则EF=5-2×=.
于是AD2=AE2+EF2+FD2-2AE·DFcosθ=(337-288cosθ)∈(,25).
由于AD=,不满足(*)式,故不可以构成四面体.
∴只能构成1个四面体.
5.五对孪生兄妹参加k个组活动,若规定:
⑴孪生兄妹不在同一组;⑵非孪生关系的任意两个人都恰好共同参加过一个组的活动,⑶有一人只参加两个组的活动,则k的最小值为.(命题组供题)
1987年全国高中数学联赛二试题
一.如图,△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形,现固定△ABC,而将△ADE绕A点在平面上旋转,试证:
不论△ADE旋转到什么位置,线段EC上必存在点M,使△BMD为等腰直角三角形.
[来源:
Zxxk.Com]
【解析】证明:
以A为原点,AC为x轴正方向建立复平面.设C表示复数c,点E表示复数e(c、e∈R).则点B表示复数b=c+ci,点D表示复数d=e-ei.
把△ADE绕点A旋转角θ得到△AD¢E¢,
则点E¢表示复数e¢=e(cosθ+isinθ).点D¢表示复数d¢=d(cosθ+isinθ)
表示E¢C中点M的复数m=(c+e¢).
∴表示向量的复数:
z1=b-(c+e¢)=c+ci-c-e(cosθ+isinθ)=-ecosθ+(c-esinθ)i.
表示向量的复数:
z2=d¢-m=(e-ei)(cosθ+isinθ)-c-e(cosθ+isinθ)
=(esinθ-c)-iecosθ.
显然:
z2=z1i.于是|MB|=|MD¢|,且∠BMD¢=90°.即△BMD¢为等腰直角三角形.故证.
二.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点称为整点.试证:
存在一个同心圆的集合,使得
⑴每个整点都在此集合的某个圆周上;
⑵此集合的每个圆周上,有且只有一个整点.(辛泽尔定理)
三.n(n>3)名乒乓球选手单打若干场后,任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同,试证明:
总可以从中去掉一名选手,而使在余下的选手中,任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同.
又证:
把这些选手编为1至n号,以n个点表示这n个人,各点也相应编为1至n号.
反设去掉任何一各选手后都有两个选手的已赛过的对手完全相同.于是先去掉1号选手,则有两个选手的已赛过的对手完全相同,设为第i号与第j号,在表示此二人的点间连一条线,并在线上注上“1号”.这说明,此二人在去掉1号选手之前必是一人与1号赛过,另一人与1号没有赛过.而且不可能在去掉1号后有三人都相同,否则,此三人与1号选手比赛的情况只有两种:
赛过或没有赛过,如果去掉1号后,此三人的情况完全相同,则去掉1号之前必有2人赛过的对手完全相同.如果去掉1号后有不止一对选手的已赛过对手完全相同,则只任取其中的一对连线,其余的对则不连线.
连线后把1号选手放回来,再依次去掉2号、3号,……,直至n号,每去掉1个选手,都会在某两点之间连出1条线.这样,就在n个选手之间连了n条线.且这些线上分别注了1至n号,每条线注了1个号码,每个号码只注在1条线上.
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