2指数函数的图像及性质.doc
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第一章基本初等函数
2指数函数的图像及性质
一、学习目标
1.理解指数函数的概念和意义.
2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象.
3.初步掌握指数函数的有关性质.
二、知识梳理
1.指数函数的定义
一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R.
2.指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域R,值域(0,+∞)
图象过定点(0,1),即x=0时,y=1
当x>0时,y>1;
当x<0时,0<y<1
当x>0时,0<y<1;
当x<0时,y>1
在R上是增函数
在R上是减函数
三、典型例题
知识点一 指数函数的概念
例1 给出下列函数:
①y=2·3x;②y=3x+1;③y=3x;④y=x3;⑤y=(-2)x.其中,指数函数的个数是( )
A.0B.1C.2D.4
答案 B
解析 ①中,3x的系数是2,故①不是指数函数;②中,y=3x+1的指数是x+1,不是自变量x,故②不是指数函数;③中,3x的系数是1,幂的指数是自变量x,且只有3x一项,故③是指数函数;④中,y=x3的底为自变量,指数为常数,故④不是指数函数.⑤中,底数-2<0,不是指数函数.
规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征:
(1)底数a为大于0且不等于1的常数;
(2)指数位置是自变量x;(3)ax的系数是1.
2.求指数函数的关键是求底数a,并注意a的限制条件.
跟踪演练1 若函数y=(4-3a)x是指数函数,则实数a的取值范围为________.
答案 {a|a<,且a≠1}
解析 y=(4-3a)x是指数函数,需满足:
解得a<且a≠1.
故a的取值范围为{a|a<,且a≠1}.
知识点二 指数函数的图象
例2 如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是( )
A.a<b<1<c<dB.b<a<1<d<c
C.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<c
答案 B
解析 方法一 在y轴的右侧,指数函数的图象由下到上,底数依次增大.
由指数函数图象的升降,知c>d>1,b<a<1.
∴b<a<1<d<c.
方法二 作直线x=1,与四个图象分别交于A、B、C、D四点,由于x=1代入各个函数可得函数值等于底数的大小,所以四个交点的纵坐标越大,则底数越大,由图可知b<a<1<d<c.故选B.
规律方法 1.无论指数函数的底数a如何变化,指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象与直线x=1相交于点(1,a),由图象可知:
在y轴右侧,图象从下到上相应的底数由小变大.
2.处理指数函数的图象:
①抓住特殊点,指数函数图象过点(0,1);②巧用图象平移变换;③注意函数单调性的影响.
跟踪演练2
(1)函数y=|2x-2|的图象是( )
(2)直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是________.
答案
(1)B
(2)0<a<
解析
(1)y=2x-2的图象是由y=2x的图象向下平移2个单位长度得到的,故y=|2x-2|的图象是由y=2x-2的图象在x轴上方的部分不变,下方部分对折到x轴的上方得到的.
(2)当a>1时,在同一坐标系中作出函数y=2a和y=|ax-1|的图象(如图
(1)).由图象可知两函数图象只能有一个公共点,此时无解.当0<a<1,作出函数y=2a和y=|ax-1|的图象(如图
(2)).若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0且a≠1)的图象有两个交点,由图象可知0<2a<1,所以0<a<.
知识点三 指数型函数的定义域、值域
例3 求下列函数的定义域和值域:
(1)y=;
(2)y=;(3)y=.
解
(1)由x-4≠0,得x≠4,
故y=的定义域为{x|x∈R,且x≠4}.
又≠0,即≠1,
故y=的值域为{y|y>0,且y≠1}.
(2)由1-2x≥0,得2x≤1,∴x≤0,
∴y=的定义域为(-∞,0].
由0<2x≤1,得-1≤-2x<0,∴0≤1-2x<1,
∴y=的值域为[0,1).
(3)y=的定义域为R.
∵x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,
∴≤-4=16.
又∵>0,
故函数y=的值域为(0,16].
规律方法 对于y=af(x)(a>0,且a≠1)这类函数,
(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围;
(2)值域问题,应分以下两步求解:
①由定义域求出u=f(x)的值域;
②利用指数函数y=au的单调性求得此函数的值域.
跟踪演练3
(1)函数f(x)=+的定义域为( )
A.(-3,0]B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪(-3,0]D.(-∞,-3)∪(-3,1]
(2)函数f(x)=x-1,x∈[-1,2]的值域为________.
答案
(1)A
(2)[-,2]
解析
(1)由题意,自变量x应满足
解得∴-3<x≤0.
(2)∵-1≤x≤2,∴≤x≤3,∴-≤x-1≤2,∴值域为.
四、课堂练习
1.下列各函数中,是指数函数的是( )
A.y=(-3)xB.y=-3x
C.y=3x-1D.y=x
答案 D
解析 由指数函数的定义知a>0且a≠1,故选D.
2.y=x的图象可能是( )
答案 C
解析 0<<1且过点(0,1),故选C.
3.y=2x,x∈[1,+∞)的值域是( )
A.[1,+∞)B.[2,+∞)
C.[0,+∞)D.(0,+∞)
答案 B
解析 y=2x在R上是增函数,且21=2,故选B.
4.函数f(x)=ax的图象经过点(2,4),则f(-3)的值是________.
答案
解析 由题意知4=a2,所以a=2,因此f(x)=2x,故f(-3)=2-3=.
5.函数y=x2-1的值域是________.
答案 (0,2]
解析 ∵x2-1≥-1,
∴y=≤-1=2,又y>0,
∴函数值域为(0,2].
1.指数函数的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞),且f(0)=1.
2.当a>1时,a的值越大,图象越靠近y轴,递增速度越快.当0<a<1时,a的值越小,图象越靠近y轴,递减的速度越快.
五、巩固练习
1.y=2x-1的定义域是( )
A.(-∞,+∞)B.(1,+∞)
C.[1,+∞)D.(0,1)∪(1,+∞)
答案 A
解析 不管x取何值,函数式都有意义,故选A.
2.已知集合M={-1,1},N=,则M∩N等于( )
A.{-1,1}B.{-1}C.{0}D.{-1,0}
答案 B
解析 ∵<2x+1<4,∴2-1<2x+1<22,
∴-1<x+1<2,∴-2<x<1.
又∵x∈Z,∴x=0或x=-1,即N={0,-1},
∴M∩N={-1}.
3.函数y=2x+1的图象是( )
答案 A
解析 当x=0时,y=2,且函数单调递增,故选A.
4.当x∈[-2,2)时,y=3-x-1的值域是( )
A.(-,8]B.[-,8]
C.(,9)D.[,9]
答案 A
解析 y=3-x-1,x∈[-2,2)上是减函数,∴3-2-1<y≤32-1,即-<y≤8.
5.指数函数y=(2-a)x在定义域内是减函数,则a的取值范围是________.
答案 1<a<2
解析 由题意可知,0<2-a<1,即1<a<2.
6.函数y=ax-5+1(a≠0)的图象必经过点________.
答案 (5,2)
解析 指数函数的图象必过点(0,1),即a0=1,由此变形得a5-5+1=2,所以所求函数图象必过点(5,2).
7.已知函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点(2,),其中a>0且a≠1.
(1)求a的值;
(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域.
解
(1)∵f(x)的图象过点(2,),
∴a2-1=,则a=.
(2)由
(1)知,f(x)=()x-1,x≥0.
由x≥0,得x-1≥-1,
于是0<()x-1≤()-1=2,
所以函数y=f(x)(x≥0)的值域为(0,2].
8.函数y=5-|x|的图象是( )
答案 D
解析 当x>0时,y=5-|x|=5-x=()x,又原函数为偶函数,故选D.
9.已知函数f(x)=若f(a)+f
(1)=0,则实数a的值等于( )
A.-3B.-1C.1D.3
答案 A
解析 依题意,f(a)=-f
(1)=-21=-2,
∵2x>0,∴a≤0,∴f(a)=a+1=-2,故a=-3,
∴选A.
10.方程|2x-1|=a有唯一实数解,则a的取值范围是____________.
答案 {a|a≥1,或a=0}
解析 作出y=|2x-1|的图象,如图,要使直线y=a与图象的交点只有一个,∴a≥1或a=0.
11.求函数y=()x2-2x+2(0≤x≤3)的值域.
解 令t=x2-2x+2,则y=()t,
又t=x2-2x+2=(x-1)2+1,
∵0≤x≤3,
∴当x=1时,tmin=1,当x=3时,tmax=5.
故1≤t≤5,∴()5≤y≤()1,
故所求函数的值域[,].
12.函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大,求a的值.
解 ①若a>1,则f(x)是增函数,
∴f(x)在[1,2]上的最大值为f
(2),最小值为f
(1).
∴f
(2)-f
(1)=,即a2-a=.
解得a=.
②若0<a<1,则f(x)是减函数,
∴f(x)在[1,2]上的最大值为f
(1),最小值为f
(2),
∴f
(1)-f
(2)=,即a-a2=,
解得a=
综上所述,a=或a=.
13.设0≤x≤2,y=4-3·2x+5,试求该函数的最值.
解 令t=2x,0≤x≤2,
∴1≤t≤4.
则y=22x-1-3·2x+5=t2-3t+5.
又y=(t-3)2+,t∈[1,4],
∴y=(t-3)2+,t∈[1,3]上是减函数;t∈[3,4]上是增函数,
∴当t=3时,ymin=;当t=1时,ymax=.
故函数的最大值为,最小值为.
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