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教材
第一讲和差问题
【知识方法】
已知两数的和,又知道这两数的差,求这两数各是多少的应用题,我们通常称作“和差”应用题。
如:
△+□=16,△-□=4,你知道△、□代表什么数吗?
解答这样的问题,我们一般假设这两个数变成相等的数,通常用画线段图的方法把题目中的已知条件形象直观的表示出来,找出条件和问题的内在联系。
在解答核查问题时,可以假设小数增加到与大数同样多,先求大数,再求小数;也可以假设大数减少到与小数同样多,先求小数,再求大数。
由此可得和差问题的基本数量关系是:
(和+差)÷2=大数;(和—差)÷2=小数。
【重点点拨】
【例一】两筐水果共重160千克,第一筐比第二筐多10千克,两筐水果各多少千克?
分析:
我们可以采用“假设法”思考:
如果第一筐增加加10千克,这样两筐就同样多了,这时两筐的总重量应该是160+10=170千克,这个重量正好相当于第一筐重的2倍,就可以西安求出第一筐的重量,再求出第二筐的重量;我们也可以假设如果第一筐减少10千克,这样两筐就同样多了,这时两筐的总重量应该是160—10=150千克,这个重量正好相当于第二筐重的2倍,就可以先求出第二筐的重量,再求出第一筐的重量。
解答:
(160+10)÷2=85(千克)………第一筐重量
85—10=75(千克)………第二筐重量
或者(160—10)÷2=75(千克)………第二筐重量
75+10=85(千克)………第一筐重量
答:
第一筐水果中85千克,第二筐水果中75千克。
【例1】哥哥今年14岁,妹妹今年8岁,当兄妹俩岁数的和是42岁时两人各应该是多少岁?
分析:
由于“年龄差”不随年份的推移而变化,所以,兄妹的年龄差始终是14—8=6(岁)。
当兄妹的岁数和是42岁时,由和差公式可以求解。
解答:
(42+6)÷2=24(岁)………哥哥的岁数
42—24=18(岁)………妹妹的岁数
答:
那时哥哥24岁,妹妹18岁。
【例2】甲、乙两人共有150元,如果甲增加13元,而乙减少27元,那么两人的钱数就相等,求甲、乙两人各有多少元?
分析:
两人的钱数各是多少元,关键是找到两个人的钱数差是多少元。
如图可知,甲和乙相差13+27=40(元),由和差公式可以求解。
解答:
13+27=40(元)
(150+40)÷2=95(元)………乙
150—95=55(元)………甲
答:
甲有55元,乙有95元。
【例3】甲乙两桶油共重164千克,如果从甲桶中倒出8千克给乙桶,那么两桶油重量正好相等。
原来甲乙油各种多少千克?
分析:
由图可知,从甲桶倒出8千克给乙桶,两桶油正好相等,说明甲桶比乙桶一共多8×2=16(千克),这就是两者的差,根据和差公式可以直接解答。
解答:
8×2=16(千克)
(164+16)÷2=90(千克)………原来甲桶的油量
164—90=74(千克)………原来乙桶油的重量
答:
原来甲桶的油重90千克,乙桶油重74千克。
【例4】一条客轮在一条江上往返载客。
顺江而下是,每小时行80千米;逆江而上时,每小时行50千米。
求这条客轮在静水中的速度和这条江的水流速度。
分析:
因为顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度—水流速度。
根据题意,静水速度与水流速度之和为每小时80千米,它们的差为每小时50千米,所以这是和差问题。
解答:
(80+50)÷2=65(千米)………静水速度
80—65=15(千米)………水流速度
答:
静水中船速为每小时65千米,水流速度为每小时15千米。
【例5】甲、乙、丙三个数的和为390,甲比乙大30,乙比丙大30,这三个数分别是多少?
分析:
从390里减去3个30剩下就是丙的3倍,所以用390—30×3=300,就是丙的3倍,再用300÷3=100就求出丙,然后分别算出甲和乙。
解答:
390—30×3=300
300÷3=100………丙
100+30=130………乙
130+30=160………甲
答:
甲数是160,乙数是130,丙数是100。
【培优高手】
1、指数接到了,学校开展植树节活动,三年级两个班共植树60棵,三一班比三二班多植8棵树,两个班各值多少棵树?
2、当哥哥3岁时,弟弟出生,今年两人的年龄和为17岁,今年兄弟二人各多少岁?
(出生时是0岁)
3、甲、乙两船共有乘客623人,如果甲船增加34人,乙船减少57人,那么两船的乘客同样多。
乙船原有多少乘客?
4、甲、乙两桶油共重60千克,若把甲桶6千克油倒入乙桶,那么两桶油重量正好相等,问甲、乙两桶油各原有多少油?
5、一个人骑自行车,顺风每小时可骑20千米,逆风每小时可骑16千米,这个人在没有风的时候每小时可骑多少千米?
风的速度是每小时多少千米?
6、幼儿园买来49千克苹果分给大、中、小三个班,大班比中班多分6千克,小班分得多少千克?
7、小兰期末考试是语文和数学的平均分是96分,数学比语文多4分。
小兰语文、数学各的多少分?
8、两个连续双数的和是26,这两个双数各是多少?
9、甲、乙两筐苹果共75千克,从甲筐取出5千克苹果放入乙筐里,甲筐苹果还比乙筐多7千克。
甲、乙两筐原各有苹果多少千克?
10、两堆石子相差16粒,如果混在一起,那么可以重新分成数量都是28粒的三堆。
求原来两堆石子各有多少粒?
11、方方和圆圆共有图书70本,如果方方给圆圆5本,那么圆圆就比方方多4本。
问:
方方和圆圆原来各有图书多少本?
12、甲的书比乙多9本,比丙多2本,乙、丙共有书47本。
问:
甲、乙、丙各有书多少本?
第二讲和倍问题
【知识方法】:
已知两个数的和与两个数间的倍数关系,求这两个数分别是多少,像这样的应用题,通常叫做“和倍问题”。
要想顺利地解答和倍应用题,最好的方法是根据题意,画出线段图,使数量关系一目了然,从而正确的列式解答。
解答和倍应用题,关键是要找出两数的和以及与其对应的倍数和,从而先求出1倍数,再求出几倍数。
数量关系可以这样表示:
两数和÷(倍数+1)=小数(一倍数),小数×倍数=大数(几倍数)或两数和-小数=大数。
【重点点拨】:
【例一】甲班和乙班共有图书160本。
甲班的图书本数是乙班的3倍,甲班和乙班各有图书多少本?
分析
设乙班的图书本书为1份,则甲班图书为乙班的的3倍,那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍。
还可以理解为4份的数量是160本,求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数,然后再求出甲班的图书本数。
解答:
160÷(3+1)=40(本)………乙班
40×3=120(本)………甲班
或160-40=120(本)
答:
甲班有图书120本,乙班有图书40本。
【例二】创维电机厂1,2月份共生产电机400台,2月份生产的台数比1月份的5倍少68台,两个月各生产多少台?
分析:
“2月份生产的台数比1月份的5倍少68台”,是以1月份生产的台数为一倍数。
本题与例一是整倍数,本题并不是整5倍。
400台并不是1月份的整6倍,它比1月份的6倍少68台,换句话说,400台在增加68台就是整6倍了。
解答:
(400+68)÷(1+5)=78(台)
400-78=322(台)或78×5-68=322(台)
答:
1月份生产78台,2月份生产322台。
【例三】甲、乙、丙三个班共有图书180本,甲班的图书本数是乙班的
3倍,乙班的本数是丙班的2倍,那么甲、乙、丙三个班各有图书多少本?
分析:
可以把丙班的图数本书看作1倍数,乙班的本数就为2倍数,甲班的本数就为2×3=6倍数,这样与180本对应的倍数就应为1+2+6=9倍,这样就可以求出1倍数即丙班的本数。
解答:
2×3=6
180÷(1+2+6)=20(本)………丙班本数
20×2=40(本)………乙班本数
40×3=120(本)………甲班本数
答:
甲班有图书120本,乙班有图书40本,丙班有图书20本。
【例四】甲队有45人,乙队有75人。
甲队要调入乙队多少人,乙队人数才是甲队人数的3倍?
分析:
容易求得“二数之和”为45+75=120(人)。
如果从“乙队人数才是甲队人数的3倍”推出“1倍”数(即小数)是“甲队人数”那就错了。
这个“1倍”数是谁?
根据题意,应是调动后甲对的剩余人数。
倍数关系也是调动后的人数关系,即“调入人后的乙队人数”是“调走人后甲队剩余的人数”的3倍。
解答:
(45+75)÷(3+1)=30(人)………甲队调动后剩下的人数
45-30=15(人)………甲队调入乙队人数
答:
甲队要调入15人到乙队,乙队人数才是甲队人数的3倍。
【例五】甲、乙两个粮库原来共存粮170吨,后来从甲库运出30吨,给乙库运进10吨,这是甲库存粮是乙库存粮的2倍,两个粮库原来各存粮多少吨?
分析:
根据“甲、乙两个粮库原来共存粮170吨,后来从甲库运出30吨,给乙库运进10吨”,可求出这时甲、乙两个粮库共存粮170-30+10=150(吨)。
根据“这时甲库存粮是乙库存粮的2倍”,如果这时把乙库存粮作为1倍数,那么甲、乙库所存的粮就相当于乙库存粮的3倍,于是可求出这时乙库存粮多少吨。
进而可求出乙库原来存粮多少吨,最后就可以求出甲库原来存粮多少吨。
解答:
(170-30+10)÷(2+1)=50(吨)………乙库运进10吨后的总吨数
50-10=40(吨)………原来乙库存粮的吨数
170-40=130(吨)………原来甲库存粮的吨数
答:
甲库原来存粮130吨,乙库原来存粮40吨。
【例六】529是甲、乙、丙、丁4个数的和。
如果甲数加上2,乙数减少3,丙数乘以2,丁数除以2以后,则4个数相等。
求4个数各是多少?
分析:
由于丙数乘以2和丁数除以2相等,也就是丙数的2倍和丁数的一半相等,即丁数相当于丙数的4倍。
乙减2之后是丙的2倍,甲加上2之后也是丙的2倍。
根据这些倍数关系,可以先求出丙数,在分别求出其他各数。
解答:
丙数是:
(549+2-3)÷(2+2+1+4)=61
甲数是:
61×2-2=120
乙数是:
61×2+2=124
丁数是:
61×4=244
答:
甲、乙、丙、丁分别是120,124,61,244。
【培优高手】
1、学校有科技书和故事书共480本,其中科技书的本数是故事书的2倍,两种书各是多少本?
2、某学校四、五年级共有学生218人,五年级学生人数是四年级的2倍少22人。
问四、五年级各有学生多少人?
3、甲、乙、丙三个数之和是360,又知甲是乙的3倍,乙是丙的2倍。
求这三个数。
4、第一仓库存粮320吨,第二仓库存粮180吨,从第二仓库运多少吨到第一仓库后,第一仓库的吨数是第二仓库的4倍?
5、甲、乙两个粮仓存粮320吨,现在甲仓运出40吨,乙仓运进20吨,这时甲仓库存粮是乙仓库的2倍,甲、乙两仓原来各有存粮多少吨?
6、甲、乙、丙、丁四个人一共做了370个零件,如果把甲做的个数加2,乙做的个数减3,丙做的个数乘2,丁做的个数除以2,四个人做的零件个数正好相等,问四个人各做多少个零件?
7、甲、乙两人共有150张画片,甲的张数比乙的2倍多30张,两人各有多少张?
8、体育是买来75个球,其中篮球是足球的2倍,排球比足球多3个,这三个球各多少个?
9、两箱茶叶共176千克,从甲箱取出30千克放乙箱,乙箱的千克数就是甲箱的3倍。
两箱原有茶叶各多少千克?
10、被除数、除数、商三个数的和是212,已知商是2,被除数和除数各是多少?
11、两个数的和是682,其中一个加数的个位是0,若把0去掉,则与另一个数相同,这两个数各是多少?
12、商店运来橘子、苹果、香蕉共53千克,橘子的重量是苹果的3倍少3千克,香蕉的重量是苹果的2倍多2千克,橘子重量是多少千克?
第三讲差倍问题
【知识方法】
已知两个数的差与两个数的倍数关系,要求两个数是多少,这一类题,我们把它们称为“差倍问题”。
解答差倍问题与解答和倍问题相类似,要先求出差和相对应的倍数,然后求出1倍数,再求出几倍数。
此外,还要充分利用线段图帮助分析数量关系。
差倍问题的数量关系式是:
两数差÷(倍数-1)=较小数(1倍数);较小数×倍数=较大数,或较小数+两数差=较大数。
【重点点拨】
【例1】甲班的图书本数比乙班多40本,甲班的图书本数是乙班的3倍,甲班和乙班各有图书多少本?
分析:
根据甲班的图书是乙班的3倍且甲班的图书比乙班多40本,这40本对应的倍数就是3-1=2,就可以求出一倍数即乙班的本数,再求出甲班的本数。
解答:
40÷(3-1)=20(本)………乙班的本数
20+40=60(本)或20×3=60(本)………甲班的本数
答:
甲班有图书60本,乙班有图书20本。
【例2】有两根同样长的绳子,第一根截去12米,第二根接上14米,这时第二根长度是第一根长度的3倍,两个绳子原来各长多少米?
分析:
两根绳子原来的长度一样长,但是从第一根截去12米,第二根又接上14米后,这时两根绳子相差了12+14=26(米),且这时第二根的长度是第一根长度的3倍。
应该把变化后的第一根长度看作1倍,而26米正好相当于第一根绳子剩下的长度的2倍。
所以,第一根截去12米后剩下的长度可以求出来了,那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了。
解答:
(12+14)÷(3-1)=13(米)………第一根截去12米后剩余的长度
13+12=25(米)………两根绳子原来的长度
答:
两根绳子原来各长25米。
【例3】甲、乙两个工程队,甲队有56人,乙队有34人。
两队调走同样多人后,甲队人数是乙队人数的3倍。
问:
调动后两队各还有多少人?
分析:
因为甲、乙队调走的人数相同,所以两队人数的差还是56-34=22(人),
这时甲队人数是乙队的3倍,所以22人就对应的是3-1=2倍,这样就可以求出1倍数即现在乙队的人数,然后再求出甲队的人数。
解答:
(56-34)÷(3-1)=11………调动后乙队人数
11×3=33(人)或11+(56-34)=33………调动后甲队人数
答:
调动后甲队有33人,乙队有11人。
【例4】菜站运来的白菜的重量是萝卜的3倍,卖出白菜1800千克、萝卜300千克后,剩下两种蔬菜的重量正好相等,菜站运来萝卜和白菜各是多少千克?
分析:
根据“菜站运来的白菜的重量是萝卜的3倍”应把运来的萝卜的重量看作是1倍;“卖出白菜1800千克、萝卜300千克后,剩下两种蔬菜的重量正好相等”,说明运来白菜比萝卜多1800-300=1500(千克)。
这个重量相当于萝卜重量的3-1=2倍,这样就可以先求出运来的萝卜是多少千克,再求出运来的白菜是多少千克。
解答:
(1800-300)÷(3-1)=750(千克)………运来萝卜的千克数
750×3=2250(千克)………运来白菜的千克数
答:
菜站运来白菜2250千克,萝卜750千克。
【例5】公园有杨树和柳树,杨树的棵树比柳树的棵数的2倍多95棵,又知杨树比柳树多465棵,杨树、柳树各多少棵?
分析:
已知杨树的棵数是柳树的2倍多95棵。
如果杨树棵数减去95棵,就恰好是柳树的2倍,柳树为1倍数,那么与柳树的(2-1)倍对应的棵数应该是(465-95)棵。
这样就可以求出1倍数。
解答:
(465-95)÷(2-1)=370(棵)………柳树的棵数
370×2+95=835(棵)或370+465=835(棵)………杨树的棵数
答:
公园里有柳树370棵,有杨树835棵。
【例6】小云比小雨少20本书后,后来小云丢了5本书,小雨新买了11本书,这时小雨的书比小云的书多2倍。
问:
原来两人各有多少本书?
分析:
“小云比小雨少20本书,后来小云丢了5本书,小雨新买了11本书”这样两人就差了20+5+11=36(本);“小雨的书比小云的书多2倍”,这样36本对应的倍数就是2倍。
解答:
(20+5+11)÷(3-1)=18(本)………小云现有的本数
18+5=23(本)………小云原有的本数
23+20=43(本)………小雨原有的本数
答:
原来小云有23本书,小雨有43本书。
【培优高手】
1、果园里桃树的棵树是杏树的3倍,桃树比杏树多20棵,桃树和杏树多少棵?
2、甲、乙两桶油重量相等。
从甲桶取走26千克油,乙桶加入14千克油,这时,乙桶油的重量是甲桶油的重量的3倍。
两桶油原来各有多少千克?
3、有两块布,第一块长74米,第二块长50米,两块布各剪去同样长的一块布后,剩下的第一块布长的米数是第二块布的3倍,问每块布各剪去多少米?
4、两块同样长的花布,第一块卖出31米,第二块卖出19米后,第二块布长是第一块的4倍,求每块花布原有多少米?
5、甲校人数比乙校人数的3倍多16人,甲校比乙校多234人,求两校人数各是多少?
6、小红看一本故事书,第二天比第一天多看21页,第三天比第二天多看15页,第三天看的页数正好是第一天的3倍,小红三天各看书多少页?
7、三一班与三二班原有图书本数一样多。
后来,三一班又买来新书24本,三二班从本班原书中拿出6本送给一年级小同学,这时,三一班图书本书是三二班的3倍,求两班原有图书各多少本?
8、甲、乙两校教师的人数相等,由于工作需要,从甲校调30人到乙校去,这时乙校教师人数正好是甲校人数的3倍,求甲、乙两校原有教师各多少人?
9、被除数比商大144,除数是7,被除数、商各是多少?
10、“小马虎”做一道加法计算题,由于把一个加数的个位数字0漏掉,结果比正确答案少54,问正确的加数是多少?
11、甲、乙两个数,如果甲数加上32就等于乙数了,如果乙数加上46就等于甲数的3倍,两个数各是多少?
13、四五班同学参加数学竞赛,如果男生少去1人,男女参赛人数相等;如果女生少去1人,男生参赛人数是女生的2倍,问四五班参加数学竞赛的男、女各几人?
第四讲间隔问题
【知识方法】
间隔问题为使其更直观,我们用图示法来说明。
间隔问题主要是研究一条封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的“段数”之间的关系问题。
显然,只有下面四种情形:
(1)非封闭线的两端都有“点”时,“点数”=“段数”+1
(2)非封闭线只有一端有“点”时,“点数”=“段数”
(3)非封闭线的两端都没有“点”时,“点数”=“段数”-1
(4)封闭线上,“点数”=“段数”
【重点点拨】
【例一】在一条长240米的马路边植树,每隔8米植一棵,两端都植,共植多少棵树?
分析:
马路全长240米,每隔8米植一棵,可以用240÷8=30个段数,又因为两端都植,点数=段数+1,所以用30+1=31(棵)。
解答:
240÷8+1=31(棵)
答:
共植树31棵。
【例二】一条水渠的旁边连两端在内共有91棵树,每两棵树中间的距离是5米,这条水渠有多长?
分析:
91可是相当于91个点,两端都在内说明点数比段数多1,所以91-1=90个段数,每两棵树中间的距离是5米,所以这个水渠的长度实际上就是90个5米即90×5=450米。
解答:
5×(91-1)=450(米)
答:
这条水渠长450米。
【例三】在一条长100米的大路上两旁各栽一行树,起点和终点都栽52棵,相邻两棵树之间的距离相等,求相邻两棵树之间的距离。
分析:
在路旁一共栽了52棵树,那么路的一旁只在了52÷2=26棵树,相当于有26个点;起点和终点都栽,说明点数比段数多1,那么段数就等于26-1=25;一共有100米,有25段,所以每段的长度及相邻两棵树之间的距离为100÷25=4米。
解答:
52÷2=26(棵)
100÷(26-1)=4(米)
答:
相邻两棵树之间的距离是4米。
【例四】要在周长400米的池塘周围每隔10米栽一棵树,再在每两棵树之间栽3棵杨树,在这个池塘周围共栽多少棵树?
分析:
在池塘周围栽树,说明是一个封闭线,即点数=段数,那么用400÷10=40棵柳树,也就是有40段,每段间隔再栽3棵杨树,这样杨树就有40×3=120棵,一共就有40+120=160棵树。
也可以理解成每段里栽1棵柳树和3棵杨树一共4棵树,用40×4=160棵。
解答:
400÷10=40(棵)………柳树的棵树
40×3=120(棵)………杨树的棵树
40+120=160(棵)………一共栽的棵数
答:
在这个池塘周围共栽160棵树。
【例五】有一个工人把12米的圆钢锯成2米长的小段,锯断一次要4分钟,共需要多少分钟?
分析:
把12米厂的圆钢锯成2米长的小段,一共可以锯12÷2=6段,也就需要锯6-1=5次,每次需要4分钟,那么一共需要5×4=20分钟。
解答:
12÷2-1=5(次)
5×4=20(分钟)
答:
共需要20分钟。
【例六】一次检阅,接受检阅的一列彩车车队共30辆车,每辆车长4米,前后每辆车相隔5米。
这列车队共排列了多长?
如果车队每分钟行驶80米,那么这列车对要通过535米长的检阅场地,需要多长时间?
分析:
车队共排列的长度可以分两部分来考虑,一部分是30两车身的长度即30×4=120米,另一部分是车与车之间间隔的长度,30辆车就有30-1=29个间隔,每个间隔5米,那么间隔的总长度就是29×5=145米。
所以这列车队共排列的长度为120+145=265米。
车队通过检阅场地要行使的路程就是检阅场地的长度535米加上整个车队的长度265米,即535+265=800米。
车队每分行驶80米,所以通过检阅场地需要800÷80=10分钟。
解答:
(30-1)×5+30×4=265(米)
(535+265)÷80=10(分钟)
答:
这列车队工长265米,通过检阅场地需要10分钟。
【培优高手】
1、学校有一条60米长的走道,计划在道路一旁栽树。
每隔3米栽一棵。
(1)如果两端都各在一棵树,那么共需多少棵树苗?
(2)如果两端都不栽树,那么共需多少棵树苗?
(3)如果只有一端栽树,那么共需多少棵树苗?
2、四一班有56人,上体育课时老师要求排成一排,相邻两人之间的距离是2米,请问从第一人到最后一人的距离是多少米?
3、红领巾公园内一条林荫道全长360米,在它的一侧从头到尾等距离地放着10个垃圾桶,每两个垃圾桶之间相距多少米?
4、一个湖泊周围长180米。
沿湖泊周围每隔3米栽两棵柳树和一棵桃树,湖泊周围各栽了多少棵柳树和桃树?
5、把一根木料锯成3段要6分钟。
如果每次锯的时间相同,那么锯成7段要多少分钟?
6、某小学五年级有250人参见运动会入场式。
他们每10人一行,前后间隔为2米,主席台长32米。
他们以每分钟40米的速度通过检阅台,需要多少分钟?
7、有一条2千米长的公路,在公路两旁,每隔25米埋设一根路灯杆,从头到尾需要埋设多少根路灯杆?
8、一座15层的大楼,每层的台阶数都相等,小红从1层到3层共走了48个台阶,小红从1层走到15层共需迈多少台阶?
9、时钟4点钟敲4下,6秒钟敲完,那么12点钟敲12下,多少秒敲完?
10、爷爷带着豆豆在人行道上散步,从第一盏路灯到第8盏路灯处共走了14分钟,按同样的速度计算,当他们走了6分钟时,走到第几盏路灯处?
11、某人到十五层大楼的第十层办事,由于电梯维修,只能走楼梯。
如果从第一层走到第三层需要30秒,请问:
用同样的速度往上走到第十层,还要多少秒?
12、下图是5个大小相同的铁环连在一起的图形。
它的长度是多少?
十个这样的铁环连在一起有多长?
第五讲还原问题
【知识方法】
一个数量经过若干次变化成了另一个结果,我们从结果出发,根据每一次变化情况,一步一步地倒着想,把结果还原成开始状态,这类问题
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