苏教版七年级数学下册 73 图形的平移 知识点.docx
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苏教版七年级数学下册73图形的平移知识点
7.3图形的平移知识点
一、平移的概念
1、平移的定义:
在平面内,把一个图形沿着一定的方向平行移动而达到另一个位置,这种图形的平行移动简称为平移。
2、平移的两个要素:
(1)平移方向;
(2)平移距离。
3、对应点、对应线段、对应角一个图形经过平移后得到一个新的图形,这个新图形与原图形是能够互相重合的全等形,我们把互相重合的点称为对应点,互相重合的线段称为对应线段,互相重合的角称为对应角。
4、平移方向和距离的确定
(1)要对一个图形进行平移,在平移前必须弄清它的平移方向和平移距离,否则将无法实现平移,那么怎样确定这两点呢?
A.若给出带箭头的线段:
从箭尾到箭头的方向表示平移方向,而带箭头的线段的长度,表示平移距离,也有时另给平移距离的长度。
B.若给出由小正方形组成的方格纸:
在方格中的平移,从方向上看往往是要求用横纵两次平
移来完成(有特殊要求例外),而移动距离是由最终要达到的位置确定的。
C.具体给出从某点P到另一点P’的方向为平移方向,线段PP’的长度为平移距离。
D.给出具体方位(如向东或者西北等)和移动长度(如10cm)
(2)图形平移后,平移方向与平移距离的确定。
图形平移后,原图形与新图形中的任意一对前后对应点的射线方向就是原平移方向,这对对应点间的线段长度就是原平移距离。
例:
如图为一只小兔,将图进行平移,得到的图形可能是下列选项中的( )
A.
B.
C.
D.
【分析】根据平移的性质,图形只是位置变化,其形状与方向不发生变化,进而得出即可.
【解答】解:
如图为一只小兔,将图进行平移,得到的图形可能是下列选项中的C.
故选:
C.
【点评】此题主要考查了生活中的平移现象,正确根据平移的性质得出是解题关键.
知识点二、平移的性质
图形平移的实质是图形上的每一点都沿着同一个方向移动了相同的距离。
平移后的图形与原图形
①对应线段平行(或在同条一直线上)且相等;
②对应点连线平行(或在同一条直线上)且相等;
③图形的形状与大小都不变(全等);
④图形的顶点字母的排列顺序的方向不变。
例:
如图,Rt△ABC沿直角边所在直线向右平移
BC的长度得到△DEF,DE交AC于点G,若AB=6,BC=8,则EG=( )
A.3B.4C.4.5D.5
【分析】利用平移的性质得到BE=4,DE∥AB,则CE=BE=4,根据平行线分线段成比例定理计算GE的长.
【解答】解:
∵Rt△ABC沿直角边所在直线向右平移4个单位得到△DEF,
∴BE=4,DE∥AB,
∴CE=BE=4,
∵GE∥AB,
∴
,即
,
∴GE=3.
故选:
A.
【点评】本题考查了平移的性质:
把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同;新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等.
知识点三、平移作图
平移作图的步骤:
1.定:
根据题目要求,确定平移的方向和距离;
2.找:
找出确定图形形状的关键点;
3.移:
按平移的方向和距离确定各关键点平移后的对应点;
4.连:
按原图顺序依次连接各对应点.
确定一个图形平移后的位置需要三个条件:
①图形原位置;②平移的方向;③平移的距离.
例:
下列平移作图错误的是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】根据平移变换的性质进行解答即可.
【解答】解:
A、B、D符合平移变换,C是轴对称变换.
故选:
C.
【点评】本题考查的是作图﹣平移变换,熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键.
巩固练习
一.选择题(共12小题)
1.如图是校园一角,学校预留了一个矩形草坪.但被学生踩踏出了一条由A到B的小路.不走预留的人行道而横穿草坪,解释这一现象用到的数学知识是( )
A.两点之间线段最短
B.两点确定一条直线
C.垂线段最短
D.两平行线间的距离处处相等
2.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DEF,若△ABC的周长为12cm,四边形ABFD的周长为18cm,则平移的距离为( )
A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm
3.小明身高1.65米,他乘坐电梯从1楼到5楼,此时他的身高为( )米.
A.1.55B.1.65C.1.78D.1.85
4.如所示图形可由平移得到的是( )
A.
B.
C.
D.
5.把△ABC沿BC方向平移,得到△A'B'C',随着平移距离的不断增大,△A'B'C'的面积大小变化情况是( )
A.增大B.减小C.不变D.不确定
6.下列各组图形可以通过平移互相得到的是( )
A.
B.
C.
D.
7.如图,将三角形ABE向右平移1cm得到三角形DCF,如果三角形ABE的周长是10cm,那么四边形ABFD的周长是( )
A.12cmB.16cmC.18cmD.20cm
8.如图,两个直角三角形重叠在一起,将△ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF,CH=2cm,EF=4cm,下列结论:
①BH∥EF;②AD=BE;③BD=CH;④∠C=∠BHD;⑤阴影部分的面积为6cm2.其中正确的是( )
A.①②③④⑤B.②③④⑤C.①②③⑤D.①②④⑤
9.下列现象中是平移的是( )
A.翻开书中的每一页纸张
B.飞碟的快速转动
C.将一张纸沿它的中线折叠
D.电梯的上下移动
10.下列说法错误的是( )
A.对顶角相等
B.两直线平行,同旁内角相等
C.平移不一定改变图形的形状和大小
D.同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行
11.如图,△ABC沿AB方向向右平移后到达△A1B1C1的位置,BC与A1C1相交于点O,若∠C的度数为x,则∠A1OC的度数为( )
A.xB.90°﹣xC.180°﹣xD.90°+x
12.如图,直线m∥n,点A在直线m上,BC在直线n上,构成三角形ABC,把三角形ABC向右平移BC长度的一半得到三角形A′B′C′(如图①),再把三角形A′B′C′向右平移BC长度的一半得到三角形A″CC″(如图②),再继续上述的平移得到图③,…,通过观察可知图①中有4个三角形,图②中有8个三角形,则第2020个图形中三角形的个数是( )
A.4040B.6060C.6061D.8080
二.填空题(共12小题)
13.如图,△DEF是由△ABC沿直线BC向右平移得到,若BC=6,当点E刚好移动到BC的中点时,则CF= .
14.如图,将直角三角形ABC沿CB方向平移后,得到直角三角形DEF.已知AG=3,BE=6,DE=10,则阴影部分的面积为 .
15.如图所示,△ABC经过平移得到△A′B′C′下列说法:
①△ABC≌△A′B′C′;②AB=A′B′,但AB不平行A′B′;③AA′与CC′平行且相等.其中正确的有 .(填序号)
16.如图,两个直角三角形重叠在一起,将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置,∠B=90°,AB=10,DH=4,平移距离为7,求阴影部分的面积为 .
17.如图所示,在长为50米,宽为40米的长方形地块上,有纵横交错的几条小路(图中阴影部分),宽均为1米,其他部分均种植花草,则道路的面积是 平方米.
18.如图,已知线段DE是由线段AB平移而得,AB=DC=5cm,EC=6cm,则△DCE的周长是 cm.
19.如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位后,得到△A'B'C',连接A'C,则线段A'C的长为 .
20.如图,将长为5cm,宽为3cm的长方形ABCD先向右平移2cm,再向下平移1cm,得到长方形A'B'C'D',则阴影部分的面积为 cm2.
21.如图所示,第1个图案是由黑白两种颜色的六边形地面砖组成的,第2个,第3个图案可以看成是由第1个图案经过平移而得,那么第n个图案中白色六边形地面砖的数量为 (代数式需要简化).
22.如图,在三角形ABC中,∠C=90°,AC+BC=17,AB=13,则内部五个小直角三角形周长的和为 .
23.如图,在△ABC中,BC=3,将△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1,点P、Q分别是AB、A1C1的中点,PQ的最小值等于 .
24.如图正方形ABCD先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到正方形A'B'C'D′,形成了中间深色的正方形及四周浅色的边框,已知正方形ABCD的面积为16,则四周浅色边框的面积是 .
三.解答题(共6小题)
25.如图,三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(﹣3,﹣2),B(0,﹣1),C(﹣1,1),将三角形ABC进行平移,点A的对应点为A′(1,0),点B的对应点是B′,点C的对应点是C′.
(1)画出平移后的三角形A′B′C′并写出B′,C′的坐标;
(2)求△ABC的面积.
26.如图,若△A1B1C1是由△ABC平移后得到的,且△ABC中任意一点P(x,y)经过平移后的对应点为R(x﹣5,y+2).
(1)在如图方格中画出△A1B1C1;
(2)求点A1、B1、C1的坐标;
(3)求△A1B1C1的面积.
27.如图.在平面直角坐标系中有△ABC.
(1)写出△ABC各顶点的坐标;
(2)若平移△ABC,得到三角形DEF,使A,B,C的对应点分别是D,E,F.且D点的坐标为(﹣3,1),请画出△DEF;
(3)求线段AB扫过的面积.
28.如图,在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系.已知三角形ABC的顶点A的坐标为A(﹣1,4),顶点B的坐标为B(﹣4,3),顶点C的坐标为C(﹣3,1).
(1)把三角形ABC向右平移5个单位长度,再向下平移4个单位长度得到三角形A′B′C′,请你画出三角形A′B′C′;
(2)请直接写出点A′,B′,C′的坐标;
(3)若点P(m,n)是△A′B′C′内部一点,则点P平移前对应点Q的坐标为 .
29.如图,在平面直角坐标系中,三角形ABC的顶点都在网格格点上,已知点A(2,﹣1),B(4,3),C(1,2).
(1)将三角形ABC先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到三角形A1B1C1,在图中画出三角形A1B1C1;
(2)直接写出点A1,B1,C1的坐标.
30.如图,已知AB∥CD,点E在直线AB,CD之间.
(1)求证:
∠AEC=∠BAE+∠ECD;
(2)若AH平分∠BAE,将线段CE沿CD平移至FG.
①如图2,若∠AEC=90°,HF平分∠DFG,求∠AHF的度数;
②如图3,若HF平分∠CFG,试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由.
一.选择题(共12小题)
1.如图是校园一角,学校预留了一个矩形草坪.但被学生踩踏出了一条由A到B的小路.不走预留的人行道而横穿草坪,解释这一现象用到的数学知识是( )
A.两点之间线段最短
B.两点确定一条直线
C.垂线段最短
D.两平行线间的距离处处相等
【分析】根据线段的性质,可得答案.
【解答】解:
从A地到B地有几条路可走,为了尽快到达,人们通常选择其中的直路,理由是两点之间线段最短,
故选:
A.
【点评】本题考查了线段的性质,熟记线段的性质并应用是解题的关键.
2.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DEF,若△ABC的周长为12cm,四边形ABFD的周长为18cm,则平移的距离为( )
A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm
【分析】先根据平移的性质得到AD=BE=CF,AC=DF,再利用三角形和四边形的周长得到AB+BC+AC=12,AB+BF+DF+AD=18,则利用等量代换得到12+2CF=18,然后求出CF得到平移的距离.
【解答】解:
∵△ABC沿BC方向平移得到△DEF,
∴AD=BE=CF,AC=DF,
∵△ABC的周长为12cm,四边形ABFD的周长为18cm,
∴AB+BC+AC=12,AB+BF+DF+AD=18,
∴AB+BC+CF+AC+CF=18,
即12+2CF=18,解得CF=3,
∴平移的距离为3cm.
故选:
B.
【点评】本题考查了平移的性质:
把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同;新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等.
3.小明身高1.65米,他乘坐电梯从1楼到5楼,此时他的身高为( )米.
A.1.55B.1.65C.1.78D.1.85
【分析】根据平移的性质即可得到结论.
【解答】解:
身高1.65米的小明乘电梯从1楼上升到5楼,则此时小明的身高为1.65米,
故选:
B.
【点评】本题考查了生活中的平移现象,熟练掌握平移的性质是解题的关键.
4.如所示图形可由平移得到的是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】依据图形的特征,即可判断出可由平移得到的图形.
【解答】解:
A.图形可以由旋转得到,不合题意;
B.图形可由平移得到,符合题意;
C.图形可以由旋转得到,不合题意;
D.图形可以由翻折得到,不合题意;
故选:
B.
【点评】本题主要考查了利用平移设计图案,确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离,连续作图即可设计出美丽的图案.通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩.
5.把△ABC沿BC方向平移,得到△A'B'C',随着平移距离的不断增大,△A'B'C'的面积大小变化情况是( )
A.增大B.减小C.不变D.不确定
【分析】利用平移的性质得到AA′∥BC,然后根据三角形面积公式可判断△A'BC的面积等于△ABC的面积.
【解答】解:
∵△ABC沿BC方向平移,得到△A'B'C',
∴AA′∥BC,
∴S△A′B'C'=S△ABC.
故选:
C.
【点评】本题考查了平移的性质:
把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同,新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等.
6.下列各组图形可以通过平移互相得到的是( )
A.
B.
C.
D.
【分析】根据平移不改变图形的形状和大小,进而得出答案.
【解答】解:
观察图形可知图案C通过平移后可以得到.
故选:
C.
【点评】本题考查了图形的平移,正确掌握平移的性质是解题关键.
7.如图,将三角形ABE向右平移1cm得到三角形DCF,如果三角形ABE的周长是10cm,那么四边形ABFD的周长是( )
A.12cmB.16cmC.18cmD.20cm
【分析】利用平移变换的性质解决问题即可.
【解答】解:
∵△ABE的周长=AB+BE+AE=10(cm),由平移的性质可知,BC=AD=EF=1(cm),AE=DF,
∴四边形ABFD的周长=AB+BE+EF+DF+AD=10+1+1=12(cm).
故选:
A.
【点评】本题考查平移的性质,三角形的周长,四边形的周长等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
8.如图,两个直角三角形重叠在一起,将△ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF,CH=2cm,EF=4cm,下列结论:
①BH∥EF;②AD=BE;③BD=CH;④∠C=∠BHD;⑤阴影部分的面积为6cm2.其中正确的是( )
A.①②③④⑤B.②③④⑤C.①②③⑤D.①②④⑤
【分析】根据平移的性质判断即可.
【解答】解:
因为将△ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF,CH=2cm,EF=4cm,
所以:
①BH∥EF,正确;
②AD=BE,正确;
③BD=CH=2cm,正确;
④∠C=∠BHD,正确;
⑤阴影部分的面积为6cm2.正确;
故选:
A.
【点评】本题考查了直角三角形的面积公式和平移的性质:
①平移不改变图形的形状和大小;②经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.
9.下列现象中是平移的是( )
A.翻开书中的每一页纸张
B.飞碟的快速转动
C.将一张纸沿它的中线折叠
D.电梯的上下移动
【分析】根据平移的性质,不改变图形的形状和大小.
【解答】解:
A不是沿某一直线方向移动,不属于平移.B不是沿某一直线方向移动,不属于平移.C新图形与原图形的形状和大小不同,不属于平移.因此C错误.
故选:
D.
【点评】本题需掌握平移的概念:
把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同,图形的这种移动叫做平移.注意平移是图形整体沿某一直线方向移动.
10.下列说法错误的是( )
A.对顶角相等
B.两直线平行,同旁内角相等
C.平移不一定改变图形的形状和大小
D.同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行
【分析】根据对顶角的性质,平行线的性质和判定,平移的性质一一判断即可
【解答】解:
A、对顶角相等,正确,本选项不符合题意.
B、两直线平行,同旁内角相等,错误,本选项符合题意.
C、平移不一定改变图形的形状和大小,正确,本选项不符合题意.
D、同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行,正确,本选项不符合题意,
故选:
B.
【点评】本题考查对顶角的性质,平行线的判定和性质,平移的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
11.如图,△ABC沿AB方向向右平移后到达△A1B1C1的位置,BC与A1C1相交于点O,若∠C的度数为x,则∠A1OC的度数为( )
A.xB.90°﹣xC.180°﹣xD.90°+x
【分析】根据平移的性质得出∠C1=∠C,BC∥B1C1,
【解答】解:
∵△ABC沿AB方向向右平移后到达△A1B1C1的位置,BC与A1C1相交于点O,
∴∠C1=∠C,BC∥B1C1,
∴∠COC1=∠C1,
∴∠A1OC=180°﹣x,
故选:
C.
【点评】本题考查了平移的性质,熟记平移的性质:
平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状是解题的关键.
12.如图,直线m∥n,点A在直线m上,BC在直线n上,构成三角形ABC,把三角形ABC向右平移BC长度的一半得到三角形A′B′C′(如图①),再把三角形A′B′C′向右平移BC长度的一半得到三角形A″CC″(如图②),再继续上述的平移得到图③,…,通过观察可知图①中有4个三角形,图②中有8个三角形,则第2020个图形中三角形的个数是( )
A.4040B.6060C.6061D.8080
【分析】探究规律,利用规律解决问题即可.
【解答】解:
观察图可得,第1个图形中大三角形有2个,小三角形有2个,
第2个图形中大三角形有4个,小三角形有4个,
第3个图形中大三角形有6个,小三角形有6个,…
依次可得第n个图形中大三角形有2n个,小三角形有2n个.
故第2019个图形中三角形的个数是:
2×2020+2×2020=8080.
故选:
D.
【点评】本题考查规律型问题,平行线的性质,平移变换等知识,解题的关键是学会探究规律的方法,属于中考常考题型.
二.填空题(共12小题)
13.如图,△DEF是由△ABC沿直线BC向右平移得到,若BC=6,当点E刚好移动到BC的中点时,则CF= 3 .
【分析】根据平移性质得出BC=EF,BE=CF,进而解答即可.
【解答】解:
由平移的性质可得:
BC=EF,BE=CF,
∵BC=6,点E刚好移动到BC的中点,
∴BE=EC=CF=3,
故答案为:
3.
【点评】本题主要考查平移的性质,熟练掌握平移的基本性质:
①平移不改变图形的形状和大小;②经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等是解题的关键.
14.如图,将直角三角形ABC沿CB方向平移后,得到直角三角形DEF.已知AG=3,BE=6,DE=10,则阴影部分的面积为 51 .
【分析】根据平移的性质可知:
AB=DE,S△ABC=S△DEF,△GBF为△ABC和△DEF的公共部分,所以S阴影部分=S梯形DEBG,所以求梯形的面积即可.
【解答】解:
由平移的性质知,AB=DE=10,S△ABC=S△DEF,
∵△GBF为△ABC和△DEF的公共部分,
∴S阴影部分=S梯形DEBG,
∵∠E=90°,
∴BE是梯形DEBG的高;
∵BG=AB﹣AG=10﹣3=7,
∴S阴影部分=S梯形DEBG
(7+10)×6=51.
故答案为:
51.
【点评】本题考查了平移的性质.把一个图形整体沿某一直线方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同.
15.如图所示,△ABC经过平移得到△A′B′C′下列说法:
①△ABC≌△A′B′C′;②AB=A′B′,但AB不平行A′B′;③AA′与CC′平行且相等.其中正确的有 ①③ .(填序号)
【分析】根据平移的性质解答即可.
【解答】解:
△ABC经过平移得到△A′B′C′,
可得:
①△ABC≌△A′B′C′,正确;
②AB=A′B′,AB∥A′B′,原命题错误;
③AA′与CC′平行且相等,正确;
故答案为:
①③.
【点评】本题考查平移的性质与运用,关键是根据连接各组对应点的线段平行且相等解答.
16.如图,两个直角三角形重叠在一起,将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置,∠B=90°,AB=10,DH=4,平移距离为7,求阴影部分的面积为 56 .
【分析】由S△ABC=S△DEF,推出S四边形ABEH=S阴即可解决问题.
【解答】解:
∵平移距离为7,
∴BE=7,
∵AB=10,DH=4,
∴EH=10﹣4=6,
∵S△ABC=S△DEF,
∴S四边形ABEH=S阴,
∴阴影部分的面积为
(10+6)×7=56,
故答案为56.
【点评】此题主要考查了平移的基本性质:
①平移不改变图形的形状和大小;②经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等,要熟练掌握.
17.如图所示,在长为50米,宽为40米的长方形地块上,有纵横交错的几条小路(图中阴影部分),宽均为1米,其他部分均种植花草,则道路的面积是 89 平方米.
【分析】可以根据平移的性质,此小路相当于一条横向长为50米与一条纵向长为40米的小路,道路的面积=横纵小路的面积﹣小路交叉处的面积,计算即可.
【解答】解:
由题意可得,
道路的面积为:
(40+50)×1﹣1=89(平方米).
故答案为:
89.
【点评】本题考查了图形的平移的性质.解题的关键是掌握图形的平移的性质,要注意小路的交叉处算了两次,这是容易出错的地方.
18.如图,已知线段DE是由线段AB平移而得,AB=DC=5cm,EC=6cm,则△DCE的周长是 16 cm.
【分析】根据平移的性质,线段DE是由线段AB平移而得,则AB=DE,结合已知可求△DCE的周长.
【解答】解:
∵线段DE是由线段AB平移而得,
∴DE=AB=5cm,
∴△DCE的周长=DE+CE+CD=5+5+6=16(cm).
答:
△DCE的周长是16cm.
故答案为:
16.
【点评】此题考查平移的性质,要准确把握平移的性质,新图形与原图形的对应线段
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