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小学数学中描述性知识的认识
小学数学中描述性知识的认识
一、陈述性知识的概述
(一)陈述性知识的概念
陈述性知识,也叫“描述性知识”。
它是指个人具有有意识的提取线索,而能直接加以回忆和陈述的知识。
主要是用来说明事物的性质、特征和状态,用于区别和辨别事物。
这种知识具有静态的性质,是用来描述世界,回答“世界是什么”问题的知识。
陈述性知识常常也被称为言语信息,要求的心理过程主要是记忆。
陈述性知识的获得是指新知识进入原有的命题网络,与原有知识形成联系。
获得这类知识主要用于解决“知”的问题,它与我国教育实践中的“知识”概念相吻合。
国际经济合作与发展组织在1996年发布的《以知识为基础的经济》报告中对知识的形态作了更加明确的界定,知识应当包括四种类别,即事实知识,知道是什么(knowwhat),指人类对某些事物的基本知识所掌握的基本情况;原理知识,知道为什么(knowwhy),指对产生某些事情和发生事件的原因和规律性的认识;技能知识,知道怎样做(knowhow),知道实现某项计划和制造某个产品的方法、技能和诀窍等;人力知识,知道是谁创造的知识(knowwho),谁知道是什么,为什么和怎么做的信息。
这种划分方法通常叫“4w”法。
其中第一、第二、第四类都可归入陈述性知识的范畴。
(二)陈述性知识的分类
加涅认为,言语信息对学生来讲具有三种功能:
第一,它们常常作为进一步学习的必备条件,不知道基本的知识,就不可能学习复杂的规则;第二,它们将直接影响学生将来的职业和生活方式,在现代社会中尤其是这样;第三,是思维运行的工具。
当学生试图解决一个新的问题时,他往往先要思考头脑中已有的这方面的知识,然后再作出选择。
陈述性知识的表征心理学家一般认为,陈述性知识主要以符号、概念、命题和规律表征。
(一)符号
英国著名数学家罗素说过:
“什么是数学?
数学就是符号加逻辑。
”数学的符号语言能够不分国家和种族到处通用,如:
数字“5”这个符号,任何具有小学文化程度的人,无论他来自地球的哪一方都认识它并知道它表示的意思,世界交流需要数学符号化语言。
恰当的符号可以清晰、准确、简化地表达数学思想、陈述性知识、方法和逻辑关系,避免日常语言的繁复冗长或模糊不清。
新课程标准中指出:
“课程内容的学习,强调学生的数学活动,发展学生的数感,符号意识,空间观念,统计观念,以及应用意识与推理能力。
还指出符号意识主要表现在:
能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律并用符号来表示;理解符号所表达的数量关系和变化规律;会进行符号间的转换,能选择适当的程序和方法来解决用符号所表达的问题。
”从上面我们可以看出新课标非常重视符号意识的培养。
(二)概念
数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中中的反映。
小学数学中有很多概念,包括:
数的概念、运算的概念、量与计量的概念、几何形体的概念、比和比例的概念、方程的概念,以及统计初步知识的有关概念等。
这些概念是构成小学数学基础知识的重要内容,它们是互相联系着的。
数学概念又是数学基础知识的重要组成部分,是学习其他数学知识的基础,学生掌握基础知识的过程,实际上就是掌握概念并运用概念进行判断、推理的过程。
数学中的法则都是建立在一系列概念的基础上的。
事实证明,如果学生有了正确、清晰、完整的数学概念,就有助于掌握基础知识,提高运算和解题技能。
相反,如果一个学生概念不清,就无法掌握定律、法则和公式。
小学数学是一门概念性很强的学科,也就是说,任何一部分内容的教学,都离不开概念教学。
概念是思维形式之一,也是判断和推理的起点,所以概念教学对培养学生的思维能力能起重要作用。
没有正确的概念,就不可能有正确的判断和推理,更谈不上逻辑思维能力的培养。
(三)命题
一般地,命题是对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子;通常它是由条件和结论两部分组成。
命题往往能抓住一类事物的本质特征,从而揭示一类事物的本质属性。
命题是在对大量的探究材料的分析、综合、比较、分类中,使之从直观到表象、继而上升为理性的认识。
如“有两条边相等的三角形叫等腰三角形”;“含有未知数的等式叫方程”等等。
这样的命题,条件和结论十分明显,便于学生一下子抓住数学陈述性知识的本质。
(四)规律
规律亦是客观事物发展过程中的本质联系。
建立模型、寻求规律是数学学习的重要内容。
这一方面是由于现实世界和数学内容中蕴涵着丰富的规律,这为学生从小学阶段加强这方面的探索提供了大量的素材。
另一方面,运用符号刻画数量关系和变化规律是代数学习的主要内容。
因此,小学数学教材中设计了大量探索规律的活动,学生将尝试寻求并解释数、图形、运算、实际问题中所蕴涵的数量关系和变化规律,初步学习利用表格、图像、符号等来刻画简单的变化规律。
二、陈述性知识形成策略
1.什么是抽象
所谓抽象,就是把所研究的事物的本质属性抽出来加以考察的方法,从更广泛的意义上讲是从众多的事物中抽取出共同的、本质性的特征,而舍弃其非本质的特征。
为了进行抽象,又必须首先进行分析,把事物的各种属性分离出来,进而从中选取某种本质属性,而舍弃那些非本质或次要的方面。
2.抽象的特点
可以说,人类社会中的几乎所有概念都是抽象的结果,但与其他学科比,数学抽象有其自身的特点,赫斯考维兹等人(Hershkowitzetal.,2001)把数学抽象看作是一种纵向的重组活动,通过这种活动在原有数学知识的基础上构造新的数学结构。
他们认为,数学抽象是数学思维的基本成分,其主要目的有三个:
一是出于新结构的需要;二是构造一个新的抽象集合;三是通过确认信的结构而不断重构已知的抽象集合,使其更便于使用。
前苏联著名数学家亚历山大洛夫(Alexanderlov)在名著《数学——它的内容、方法与意义》的第一章“数学概观”中指出数学抽象具有以下几个特点:
第一,在数学的抽象中指保留量的关系和空间形式而舍弃了其他一切;第二,数学抽象是一级一级逐步提高的,它们所达到的抽象程度大大超出了其他学科中的一般抽象;第三,数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的圈子之中。
如果自然科学家为了证明自己的论断常常求助于实验,那么数学家证明定理只需用推理和计算……这样看来,不仅数学的概念是抽象的思辨的,而且数学的方法也是抽象的、思辨的。
(亚历山大洛夫,1988)
2.抽象的一般方法
科学的抽象的方法,在学生数学学习中起着重要的作用,它们对于数学概念的形成、发展和推广都有重要的意义。
数学对象、概念、方法、符号等陈述性知识的形成,都是经过科学的数学抽象得来的。
我们认为:
形成陈述性知识的数学抽象方法主要有以下几种:
(1)等价抽象
在数学研究中,把同类对象的共同性质抽取出来而舍弃对象的其它性质,这种抽象方法称为等价抽象。
例如,对于两个集合来说,如果能够在它们的元素之间建立起一一对应关系,则称它们为对等的集合。
把一切对等集合在数量上的共同特征抽象出来,就得到了各个自然数的概念。
如与一只手的手指的集合对等的一切集合在数量上的共同特征抽象出来就得到自然数“5”。
这种抽象就是等价抽象。
又如,在自然数中有的数被一个自然数除,都得到相同的余数(如2,7,12,17,……被5除都得到余数2),从这类自然数的共同特征抽象得到同余数的概念,也是等价抽象。
我们知道,类似上述案例中所研究的对象之间的关系:
一一对应、同余等,都具有这样的重要特点:
即自反性和传递性。
在数学中,具有这些特点的关系称为等价关系,所以这种抽象也叫做等价抽象。
也就是说,从研究对象中抽取出它们的共同性质的抽象方法即为等价抽象。
(2)理想化抽象
所谓理想化是指通过抽象得到的数学概念和性质,并非客观事物本身存在的东西,而是从实际事物中分离出来的经过思维加工得来的,甚至是假想出来的概念和性质。
例如,在现实世界重,根本找不到没有大小的点、没有厚度和宽度的线、没有厚度的面。
但这些点、线、面的数学概念更加深刻、正确、完全地反映了客观事物的属性,因此,它不是远离事物,而是更加接近事物。
由此看出,理想化抽象是主观的抽象形式与客观的具体内容的辩证的统一。
这种方法不仅对于数学概念是十分重要的,而且对于建立数学模型也是必不可少的。
(3)可能性抽象
在数学中常常研究各种抽象对象的无限集合,自然数列就是一个例子。
要把自然数列无限延伸,必须把人类生命的有限性以及认识客观事物在时间上的局限性舍去,才有可能实现无限地延伸自然数列的设想。
从实践的观点来看,能够实现的过程必须是有限个步骤。
因此,任何人都不可能把自然数列延伸到无限的境地。
但是,人们认识到,如果能够把自然数列延伸到任何一个自然数n,那么必能写出n后面的一个自然数n+1。
由此,认为把自然数列无限延伸潜在着实现的可能性,简称可能性。
把这种性质抽象成为无限延伸概念的特殊方法是一种潜在可能性的抽象方法,简称可能性抽象。
在数学中,无限小、无限大、极限过程等概念都是由这种抽象方法得来的。
3.实例分析(理想化抽象促进陈述性知识的形成)
下面结合北师大教材二年级下册第67—68页《角的认识》一课,进行理想化抽象的实例分析。
(1)教材解读
本节课是在学生已经初步地认识了长方形、正方形、三角形的基础上进行教学的。
教材结合生活情境,引导学生从观察生活中的实物开始,逐步抽象出角的几何图形,通过学生的实际操作,加深他们对角的认识。
学生能熟练地掌握这部分内容将为学生进一步学习角的有关知识奠定基础。
对于学生来说,在认识角之前,已经具备了有关角的感性经验。
但是,低年级学生的认知规律是以具体的形象思维为主,抽象思维能力较低。
这部分内容对于二年级学生来说比较抽象,数学中的“角”与学生生活中所认识的“角”有偏差,要使学生在头脑中建立正确的数学“角”这一符号概念,需解决与生活经验上的认知冲突,因而学生接受起来较为困难。
为了帮助学生更好地认识角,形成角的表象,我设计了一些贴近学生生活的数学活动,让孩子在实践活动中经过独立思考,合作探究去认识角,发现角,从而在头脑中形成正确的抽象的数学“角”的符号表象等。
(2)3C知识建构表
类别
知识要点
基础性公民素养
陈述性知识
符
号
概
念
命
题
1.由一个顶点引出两条射线所组成的图形叫做角。
2.角的组成:
一个顶点,两条边。
3.
边
记作:
∠1读作:
角1
4.角的大小与角两边张口大小有关,角两边张口越大,角越大。
程序性知识
动
作
思
维
模
型
规
则
1.认:
辨认生活中的角。
2.摆:
用两根小棒摆一个角。
3.折:
用纸折一个角。
4.描:
用生活中的角,描一个角在纸上。
5.认:
认识并记住角的各部分名称、记法、读法。
6.画:
画一个角,并标出各部分的名称。
7.看:
观察活动角,明白角的两边张口越大,角越大。
提高性公民素养
策略性知识
认
知
方
法
管
理
1.在实物中找角,从具体到抽象认识角及组成。
2.画角、量角:
确定顶点和其中一条边,再画、量另一条边。
创新性知识
知新组
合
发
散
平
行
1.“角”有一个尖尖的顶点和两条直直的边。
2.角的大小与角两边张口大小有关,角两边张口越大,角越大。
(3)教学目标
1.结合生活情景,认识生活中处处有角,活动中体验学习数学的乐趣。
2.通过“找角”“描角”“比角”等实践活动,经历抽象出角的过程,知道角的各部分名称,体会到数学与人类生活密切相关,增强观察、实践、抽象能力,发展初步的符号意识、空间观念。
3.知道角的大小与角的两条边的张口程度有关。
(4)教学重点
能说出各部分的名称,知道角的大小与角的两条边的张口程度有关。
经历观察、操作等数学活动,增强观察、实践、抽象能力,发展初步的符号意识、空间观念。
(5)教学难点
能说出各部分的名称,知道角的大小与角的两条边的张口程度有关。
(6)教学准备
1.学具:
圆形、三角形、不同大小角卡片(若干)。
2.教具:
圆形、三角形、不同大小角卡片各一个;CAI课件。
(7)学习流程
学习流程一:
初步认知
1.(出示圆形实物图片)问:
这是什么?
(待学生答后,另一只手出示三角形实物图片)问:
这又是什么?
2.师:
请同学们在自己座位上的学具袋中,拿出一个圆形和三角形,象老师这样摸一摸(师示范摸图形的边缘),比比你的感受有什么不同?
【设计意图】课的引入从学生熟悉的实物入手,抓住低年级学生的好奇心,组织学生亲自动手“摸一摸”等活动,初步感知生活中的角。
这种方式很新颖、活泼,能很快集中学生的注意力,激发学生的学习兴趣,同时为后面的探索知识创设了很好的学习氛围。
学习流程二:
实践抽象
1.操作、观察
①师:
(一手拿,一手摸实物相应的地方)同学们的感受真丰富,(举起袋子里的圆形)问:
既然圆上没有这种尖尖的角感觉,谁能想办法折出一个尖尖的角来?
你是怎么折的?
帮老师折一个好吗?
(学生折角)
②你们真能干,让老师把这两条直直的“边”和它们之间的这个“尖”画下来,好吗?
(师示范画)
③师:
你能象这样画一画吗?
好,我们就一起来动手画。
(学生画)
④(待学生画好后,选几幅贴在黑板上)仔细观察黑板上这几幅图,你发现它们有什么相同的地方?
⑤师小结:
象这种,有两条直直的线和一个尖尖的点的图形,有一个好听的名字——角。
(板书:
角)
2.认角、记角
①师:
(边叙述,边板书)我们把“角”的两条直直线叫做“边”(板书:
边),把这个尖尖的点叫“顶点”(板书:
顶点)。
在两条边之间画一个这个符号(板书:
))再写上“1”(板书:
1)表示,这是第1个角。
我们把它记作(板书:
∠1),读作角1(板书:
读作:
角1)。
②你能象老师这样在这个角(指板书)标出角2吗?
同时,写出它的记作与读作吗?
③抽生上台板书演示,并集中评价。
【设计意图】生活中学生对角有了初步的了解,但对角的几何图形的认识还是第一次。
教学时教师利用学生已有的生活经验,让学生在三角形纸等实物上找角,在圆形图片实物上通过“折一折”找到角等活动,在直观认识的基础上仔细观察,抓住角的本质属性;通过“画角”活动,从实物中抽象出角的图形,使学生初步感知角的特点,再通过摸角、画角使学生进一步认识角有一个顶点两条直直的边的特点。
这样,从直观图形到抽象概念,层次分明,过渡自然,学生容易接受,顺利突出本节课重点,实现了学生对“角”这一抽象符号型陈述性知识的建立。
学习流程三:
多元认知
1.讨论、交流
①师:
你能再刚才自己画的那个角上标出角吗?
你喜欢第几,你就标几,同时,在标出的角下,写出它的“记作”与“读作”哦!
②师随意选几幅图展示,并请学生互评交流自己对“角”这个图形符号的理解。
③师:
老师也画了一些图形,你能帮老师选出“角”吗?
是的打“√”不是的打“×”。
(出示课件;动动脑,找找角:
)
④师:
同学们真聪明,帮老师找出了角,那你还能在这些图形上找出“角”,并用“)”这种符号表示出来吗?
瞧,老师在第一种图形中找到了一个角(课件演示),你想来试一试,找一找吗?
请翻开书67页,图形就在“练一练”中,现在开始,看谁找得又对又快!
⑤(引导在教室中找“角”)你能在我们这个教室里找到角吗?
2.提炼、建模
①师过渡:
刚才同学们都找到了许多角,老师这儿也有一个角(出示课件:
活动角),瞧,它还会动呢!
(师示范)仔细观察,看看它都发生了什么变化?
②师:
比比(刚才由于一条边的移动,而先后个成为的∠1与∠2)谁更大,为什么?
③师:
你能用两只手做出一个角吗?
(师生同做)让你的更大些,再大些!
(师生随要求作手势)
④(出示课件:
两组角)你认为哪个角大?
为什么?
⑤好!
现在请同学们拿出自己学具袋中的∠1、∠2,比比看,谁大,谁小?
A、学生独立观察、比较。
B、交流自己的辨别方法,边交流,边演示。
C、师小结“重叠”的方法。
⑥请同学们思考一个问题:
怎样的角最大?
(进一步体会“角的大小”与“两边张口程度有关”)
⑦比比;∠2与∠3呢?
(课件出示)你觉得谁大,为什么?
⑧验证:
好,我们就一起来比较验证。
你认为可用什么方法来比较?
(学生回答后,教师演示“重叠”)通过这次比较,你发现了什么?
(目的在于体验:
边的长短不影响角的大小)。
【设计意图】在学习活动中,教师组织学生开展“画角”“找角”“判断角”“观察角”“做角”等实践活动,引导学生合作探索、汇报交流,将学习主动权放给学生。
而且通过引导学生动手操作,画图加深对图形特征的认识,形成初步的“角”这一数学符号的表象概念,体会理解角的大小与两边张口的大小有关。
充分体现了小学低年级几何教学的直观性。
在学生对角建立起概念的前提下,让学生做一些练习,从而加深了学生对角的认识,增强分析、判断能力。
教师充分发挥学生的主体地位,并及时反馈,了解学生的符号型陈述性知识形成情况。
学习流程四:
运用陈述
1.认一认:
图中那些是角,那些不是,为什么?
2.数一数,下面的图中有几个角。
【设计意图】通过练习加深理解,实现对符号型陈述性知识的运用,使知识逐步转化成技能,并运用在头脑中形成的“角”的符号表象判断“角”,同时,还拓展出在图形中找“角”的方法,深化对符号型陈述性知识的认识,提高学生的符号化意识。
学习流程五:
检测陈述
1.师:
说说这节课中,你都有哪些收获?
2.师“完成下面的检测题,看看自己今天的学习怎样?
①
②
(学生独立完成,当堂互评,并作好记录,为下节课的学习奠定基础。
)
3.师:
回家找找角,说给爸爸、妈妈听,好吗?
【设计意图】通过检测的方式,当堂了解学生对本课所学内容的掌握情况,达到提高课堂教学效益和为下节课的学习奠基的目的。
同时,引导学生进行总结反思,发现问题,提出改进措施,不断促进学生发展。
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