点差法求解中点弦问题.docx
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点差法求解中点弦问题
点差法求解中点弦问题
【定理1】
在椭圆(>>0)中,若直线与椭圆相交于M、N两点,点是弦MN的中点,弦MN所在的直线的斜率为,则、证明:
设M、N两点的坐标分别为、,则有,得又
【定理2】
在双曲线(>0,>0)中,若直线与双曲线相交于M、N两点,点是弦MN的中点,弦MN所在的直线的斜率为,则、证明:
设M、N两点的坐标分别为、,则有,得又
【定理3】
在抛物线中,若直线与抛物线相交于M、N两点,点是弦MN的中点,弦MN所在的直线的斜率为,则、证明:
设M、N两点的坐标分别为、,则有,得又、、注意:
能用这个公式的条件:
(1)直线与抛物线有两个不同的交点;
(2)直线的斜率存在、
一、椭圆
1、过椭圆+=1内一点P(2,1)作一条直线交椭圆于
A、B两点,使线段AB被P点平分,求此直线的方程.
【解】
法一:
如图,设所求直线的方程为y-1=k(x-2),代入椭圆方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0,
(*)又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则x
1、x2是(*)方程的两个根,∴x1+x2=、∵P为弦AB的中点,∴2==、解得k=-,∴所求直线的方程为x+2y-4=0、法二:
设直线与椭圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),∵P为弦AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2、又∵
A、B在椭圆上,∴x+4y=16,x+4y=
16、两式相减,得(x-x)+4(y-y)=0,即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0、∴==-,即kAB=-、∴所求直线方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0、
2、已知椭圆+=1,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程.
【解答】
解:
设P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2).∵P为弦AB的中点,∴x1+x2=2x,y1+y2=2y.则+=1,①+=1,②②﹣①得,=﹣.∴﹣=3,整理得:
x+y=0.由,解得x=所求轨迹方程为:
x+y=0.(﹣<x<)∴点P的轨迹方程为:
x+y=0(﹣<x<);
3、(xx秋•启东市校级月考)中心在原点,焦点坐标为(0,5)的椭圆被直线3x﹣y﹣2=0截得的弦的中点的横坐标为,则椭圆方程为 =1 .
【解答】
解:
设椭圆=1(a>b>0),则a2﹣b2=50①又设直线3x﹣y﹣2=0与椭圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点(x0,y0)∵x0=,∴代入直线方程得y0=﹣2=﹣,由,得,∴AB的斜率k==﹣•=﹣•=3∵=﹣1,∴a2=3b2②联解①②,可得a2=75,b2=25,∴椭圆的方程为:
=1故答案为:
=1.
4、例1(09年四川)已知椭圆(>>0)的左、右焦点分别为、,离心率,右准线方程为、(Ⅰ)
求椭圆的标准方程;(Ⅱ)
过点的直线与该椭圆相交于M、N两点,且,求直线的方程、解:
(Ⅰ)根据题意,得、所求的椭圆方程为、(Ⅱ)椭圆的焦点为、、设直线被椭圆所截的弦MN的中点为、由平行四边形法则知:
、由得:
、①若直线的斜率不存在,则轴,这时点P与重合,,与题设相矛盾,故直线的斜率存在、由得:
②②代入①,得整理,得:
、解之得:
,或、由②可知,不合题意、,从而、所求的直线方程为,或、
6、(xx秋•工农区校级期末)已知椭圆的一条弦的斜率为3,它与直线的交点恰为这条弦的中点M,则点M的坐标为
.
【解答】
解:
设直线与椭圆的交点分别为(x1,y1),(x2,y2),则,两式相减,得=0,(y1﹣y2)(y1+y2)=﹣3(x1﹣x2)(x1+x2),=﹣3,因为直线斜率为3,∴=3,∵两交点中点在直线x=,x1+x2=1,∴3=﹣31(y1+y2),∴=﹣.所以中点M坐标为(,﹣).故答案为:
(,﹣).
7、如图,在中,,椭圆C:
,以E、F为焦点且过点D,点O为坐标原点。
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)若点K满足,问是否存在不平行于EF的直线与椭圆C交于不同的两点M、N且,若存在,求出直线的斜率的取值范围,若不存在,说明理由。
xyDEFO解:
(Ⅰ)略:
,(Ⅱ)分析:
∵,设MN的中点为H,则,此条件涉及到弦MN的中点及弦MN的斜率,故用“点差法”设,直线的斜率为(,则① ② 由①-②得:
又∵,则,∴,从而解得,点在椭圆内,则且
8、已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦,是的中点,为椭圆的中心、求证:
直线和直线的斜率之积是定值、证明设且,则,
(1),
(2)得:
,,、又,,(定值)、
二、双曲线
1、过点P(4,1)的直线l与双曲线-y2=1相交于
A、B两点,且P为AB的中点,求l的方程.[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则-y=1,-y=1,两式相减得:
(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0,∵P为AB中点,∴x1+x2=8,y1+y2=2、∴=1,即所求直线l的斜率为1,∴l方程为y-1=x-4,即x-y-3=0、
2、设
A、B是双曲线x2-=1上的两点,点N(1,2)是线段AB的中点,
(1)求直线AB的方程;
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于
C、D两点,那么
A、
B、
C、D四点是否共圆?
为什么?
[分析] 要证明
A、
B、
C、D四点共圆,首先判断圆心所在位置,若
A、
B、
C、D四点共圆,则∵CD垂直平分AB,据圆的性质知,圆心在直线CD上,∴CD中点M为圆心,只要证明|AM|=|MB|=|CM|=|MD|即可.[解析]
(1)依题意,可设直线AB方程为y=k(x-1)+2,由得(2-k2)x2-2k(2-k)x-(2-k2)-2=0①设A(x1,y1),B(x2,y2),∵x
1、x2是方程①的两个不同的实根,所以2-k2≠0、由韦达定理得,x1+x2=、由N(1,2)是AB的中点得,=1、即k(2-k)=2-k2、解得k=1,∴直线AB的方程为y=x+1、
(2)由得x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1、∴A(3,4),B(-1,0).∵CD是线段AB的垂直平分线,所以CD所在直线方程为y=-x+3、得x2+6x-11=0、设C(x3,y3),D(x4,y4),CD的中点为M(x0,y0).由韦达定理,得x3+x4=-6,x3x4=-
11、从而x0=(x3+x4)=-3,y0=-x0+3=6、|CD|====4,|CM|=|MD|=2、∵|MA|=|MB|==2、∴
A、
B、
C、D四点到M的距离相等,所以
A、
B、
C、D四点共圆.
3、已知双曲线的方程为x2-=1、试问:
是否存在被点B(1,1)平分的弦?
如果存在,求出弦的直线方程,如果不存在,请说明理由.[分析] 易判断出点B(1,1)在双曲线的外部,不妨假定符合题意的弦存在,那么弦的两个端点应分别在双曲线的左右两支上,其所在直线的倾角也不可能是
90、[解析] 解法一:
设被B(1,1)所平分的弦所在的直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程x2-=1,得(k2-2)x2-2k(k-1)x+k2-2k+3=0、∴Δ=[-2k(k-1)]2-4(k2-2)(k2-2k+3)>0、解得k<,且x1+x2=、∵B(1,1)是弦的中点,∴=1,∴k=2>、故不存在被点B(1,1)所平分的弦.解法二:
设存在被点B平分的弦MN,设M(x1,y1)、N(x2,y2).则x1+x2=2,y1+y2=2,且①-②得(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0、∴kMN==2,故直线MN:
y-1=2(x-1).由消去y得,2x2-4x+3=0,Δ=-8<0、这说明直线MN与双曲线不相交,故被点B平分的弦不存在.[点评] 由本题可以看到:
如果点B在双曲线的内部,则以该点为中点的弦一定存在.如果点B在双曲线的外部,则以该点为中点的弦有可能不存在.因此,点B在内部无需检验,点B在外部必须检验.关于双曲线内部、外部,请看图,双曲线把平面划分开来,图中阴影部分为双曲线内部,另一部分为双曲线外部.
4、设双曲线的中心在原点,以抛物线的顶点为双曲线的右焦点,抛物线的准线为双曲线的右准线.(Ⅰ)试求双曲线C的方程;(Ⅱ)设直线与双曲线交于两点,求;(Ⅲ)对于直线,是否存在这样的实数,使直线与双曲线的交点关于直线(为常数)对称,若存在,求出值;若不存在,请说明理由.解:
(Ⅰ)由得,,抛物线的顶点是,准线是、在双曲线C中,、双曲线C的方程为、(Ⅱ)由得:
、设,则、、(Ⅲ)假设存在这样的实数,使直线与双曲线的交点关于直线对称,则是线段AB的垂直平分线、因而,从而、设线段AB的中点为、由得:
,、①由得:
、②,由①、②得:
、由得:
,、又由得:
直线与双曲线C相交于
A、B两点,>0,即<6,且、符合题意的的值存在,、
5、
三、抛物线1.在抛物线y2=8x中,以(1,-1)为中点的弦所在直线的方程是(
)A.x-4y-3=0
B.x+4y+3=0C.4x+y-3=0D.4x+y+3=0[答案] C,[解析] 设弦两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-2、∵
A、B在抛物线上,∴y=8x1,y=8x2,两式相减得,(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2),∴=-4,∴直线AB方程为y+1=-4(x-1),即4x+y-3=0、2.若点(3,1)是抛物线y2=2px的一条弦的中点,且这条弦所在直线的斜率为2,则p=________、[答案] 2[解析] 设弦两端点P1(x1,y1),P2(x2,y2),∵y1+y2=2,∴p=2、3.过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被Q所平分,求弦AB所在的直线方程.[答案] 4x-y-15=0[解析] 解法一:
设以Q为中点的弦AB端点坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2),则有y=8x1,①y=8x2,②x1+x2=8,y1+y2=2、③①-②,得(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2).④将③代入④得y1-y2=4(x1-x2),即4=,∴k=4、∴所求弦AB所在直线方程为y-1=4(x-4),即4x-y-15=0、
4、(2004•福建)如图,P是抛物线C:
y=x2上一点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.(Ⅰ)若直线l与过点P的切线垂直,求线段PQ中点M的轨迹方程;(Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求的取值范围.
【分析】
(1)设M(x0,y0),欲求点M的轨迹方程,即寻找其坐标的关系,可通过另外两点P,Q与中点M的关系结合中点坐标公式求解,
(2)欲的取值范围,可转化为将其表示成某变量的表达式,然后再求此表达式的最值问题,另外,为了化简比例式,一般将线段投影到坐标轴上的线段解决.
【解答】
解:
(Ⅰ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),依题意x1≠0,y1>0,y2>0.由y=x2,①得y=x.∴过点P的切线的斜率k=x1,∴直线l的斜率kl=﹣=﹣,∴直线l的方程为y﹣x12=﹣(x﹣x1),②联立①②消去y,得x2+x﹣x12﹣2=0.∵M是PQ的中点∴x0==﹣,y0=x12﹣(x0﹣x1)消去x1,得y0=x02++1(x0≠0),∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).方法二:
设P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M(x0,y0),依题意知x1≠0,y1>0,y2>0.由y=x2,①得y′=x.∴过点P的切线的斜率k切=x1,∴直线l的斜率kl=﹣=﹣,直线l的方程为y﹣x12=﹣(x﹣x1).②方法一:
联立①②消去y,得x2+x﹣x12﹣2=0.∵M为PQ的中点,∴x0==﹣,y0=x12﹣(x0﹣x1).消去x1,得y0=x02++1(x0≠0),∴PQ中点M的轨迹方程为y=x2++1(x≠0).(Ⅱ)设直线l:
y=kx+b,依题意k≠0,b≠0,则T(0,b).分别过P、Q作PP⊥x轴,QQ⊥x轴,垂足分别为P、Q,则=.由y=x2,y=kx+b消去x,得y2﹣2(k2+b)y+b2=0.③则y1+y2=2(k2+b),y1y2=b2.∴=|b|()≥2|b|=2|b|=2.∵y
1、y2可取一切不相等的正数,∴的取值范围是(2,+∞).
5、例(05全国Ⅲ文22)设两点在抛物线上,是AB的垂直平分线、(Ⅰ)当且仅当取何值时,直线经过抛物线的焦点F?
证明你的结论、(Ⅱ)当时,求直线的方程、解:
(Ⅰ),、设线段AB的中点为,直线的斜率为,则、若直线的斜率不存在,当且仅当时,AB的垂直平分线为轴,经过抛物线的焦点F、若直线的斜率存在,则其方程为,、由得:
,、若直线经过焦点F,则得:
,,与相矛盾、当直线的斜率存在时,它不可能经过抛物线的焦点F、综上所述,当且仅当时,直线经过抛物线的焦点F、(Ⅱ)当时,由得:
、所求的直线的方程为,即
6、7、已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦,是的中点,为椭圆的中心、求证:
直线和直线的斜率之积是定值、证明设且,则,
(1),
(2)得:
,,、又,,(定值)、
8、已知的三个顶点都在抛物线上,其中,且的重心是抛物线的焦点,求直线的方程、解由已知抛物线方程得、设的中点为,则三点共线,且,分所成比为,于是,解得,、设,则、又,
(1),
(2)得:
,、所在直线方程为,即
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