大纲版高中高一数学全套教案:数列.doc
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第三章数列
第一教时
教材:
数列、数列的通项公式
目的:
要求学生理解数列的概念及其几何表示,理解什么叫数列的通项公式,给出一些数列能够写出其通项公式,已知通项公式能够求数列的项。
过程:
一、从实例引入(P110)
1.堆放的钢管4,5,6,7,8,9,10
2.正整数的倒数
3.
4.-1的正整数次幂:
-1,1,-1,1,…
5.无穷多个数排成一列数:
1,1,1,1,…
二、提出课题:
数列
1.数列的定义:
按一定次序排列的一列数(数列的有序性)
2.名称:
项,序号,一般公式,表示法
3.通项公式:
与之间的函数关系式
如数列1:
数列2:
数列4:
4.分类:
递增数列、递减数列;常数列;摆动数列;
有穷数列、无穷数列。
5.实质:
从映射、函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为正整数集
N*(或它的有限子集{1,2,…,n})的函数,当自变量从小到大依
次取值时对应的一列函数值,通项公式即相应的函数解析式。
6.用图象表示:
—是一群孤立的点
例一(P111例一略)
三、关于数列的通项公式
1.不是每一个数列都能写出其通项公式(如数列3)
2.数列的通项公式不唯一如数列4可写成和
3.已知通项公式可写出数列的任一项,因此通项公式十分重要
例二(P111例二)略
四、补充例题:
写出下面数列的一个通项公式,使它的前项分别是下列
各数:
1.1,0,1,0
2.,,,,
3.7,77,777,7777
4.-1,7,-13,19,-25,31
5.,,,
五、小结:
1.数列的有关概念
2.观察法求数列的通项公式
六、作业:
练习P112习题3.1(P114)1、2
《课课练》中例题推荐2练习7、8
第二教时
教材:
数列的递推关系
目的:
要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念;了解数列递推公式的意义,会根据给出的递推公式写出数列的前n项。
过程:
一、复习:
数列的定义,数列的通项公式的意义(从函数观点出发去刻划)
二、例一:
若记数列的前n项之和为Sn试证明:
证:
显然时,
当即时
∴∴
注意:
1°此法可作为常用公式
2°当时满足时,则
例二:
已知数列的前n项和为①②
求数列的通项公式。
解:
1.当时,
当时,
经检验时也适合
2.当时,
当时,
∴
三、递推公式(见课本P112-113略)
以上一教时钢管的例子
从另一个角度,可以:
“递推公式”定义:
已知数列的第一项,且任一项与它的前
一项(或前项)间的关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫
做这个数列的递推公式。
例三(P113例三)略
例四已知,求.
解一:
可以写出:
,,,,……
观察可得:
解二:
由题设:
∴
∴
例五已知,求.
解一:
观察可得:
解二:
由∴即
∴
∴
四、小结:
由数列和求通项
递推公式(简单阶差、阶商法)
五、作业:
P114习题3.13、4
《课课练》P116-118课时2中例题推荐1、2
课时练习6、7、8
第三教时
教材:
等差数列
(一)
目的:
要求学生掌握等差数列的意义,通项公式及等差中项的有关概念、计算公式,并能用来解决有关问题。
过程:
一、引导观察数列:
4,5,6,7,8,9,10,……
3,0,-3,-6,……
,,,,……
12,9,6,3,……
特点:
从第二项起,每一项与它的前一项的差是常数—“等差”
二、得出等差数列的定义:
(见P115)
注意:
从第二项起,后一项减去前一项的差等于同一个常数。
1.名称:
AP 首项公差
2.若则该数列为常数列
3.寻求等差数列的通项公式:
由此归纳为当时(成立)
注意:
1°等差数列的通项公式是关于的一次函数
2°如果通项公式是关于的一次函数,则该数列成AP
证明:
若
它是以为首项,为公差的AP。
3°公式中若则数列递增,则数列递减
4°图象:
一条直线上的一群孤立点
三、例题:
注意在中,,,四数中已知三个可以求
出另一个。
例一(P115例一)
例二(P116例二)注意:
该题用方程组求参数
例三(P116例三)此题可以看成应用题
四、关于等差中项:
如果成AP则
证明:
设公差为,则
∴
例四《教学与测试》P77例一:
在-1与7之间顺次插入三个数使这五个数成AP,求此数列。
解一:
∵∴是-1与7的等差中项
∴又是-1与3的等差中项∴
又是1与7的等差中项∴
解二:
设∴
∴所求的数列为-1,1,3,5,7
五、小结:
等差数列的定义、通项公式、等差中项
六、作业:
P118习题3.21-9
第四教时
教材:
等差数列
(二)
目的:
通过例题的讲解,要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义,并且能够用定义与通项公式来判断一个数列是否成等差数列。
过程:
一、复习:
等差数列的定义,通项公式
二、例一在等差数列中,为公差,若且
求证:
1°2°
证明:
1°设首项为,则
∵∴
2°∵
∴
注意:
由此可以证明一个定理:
设成AP,则与首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和,即:
同样:
若则
例二在等差数列中,
1°若求
解:
即∴
2°若求
解:
=
3°若求
解:
即∴
从而
4°若求
解:
∵6+6=11+17+7=12+2……
∴……
从而+2
∴=2-
=2×80-30=130
三、判断一个数列是否成等差数列的常用方法
1.定义法:
即证明
例三《课课练》第3课例三
已知数列的前项和,求证数列成等差数列,并求其首项、公差、通项公式。
解:
当时
时亦满足∴
首项
∴成AP且公差为6
2.中项法:
即利用中项公式,若则成AP。
例四《课课练》第4课例一
已知,,成AP,求证,,也成AP。
证明:
∵,,成AP∴化简得:
=
∴,,也成AP
3.通项公式法:
利用等差数列得通项公式是关于的一次函数这一性质。
例五设数列其前项和,问这个数列成AP吗?
解:
时时
∵∴
∴数列不成AP但从第2项起成AP。
四、小结:
略
五、作业:
《教学与测试》第37课练习题
《课课练》第3、4课中选
第五教时
教材:
等差数列前项和
(一)
目的:
要求学生掌握等差数列的求和公式,并且能够较熟练地运用解决问题。
过程:
一、引言:
P119著名的数学家高斯(德国1777-1855)十岁时计算
1+2+3+…+100的故事
故事结束:
归结为1.这是求等差数列1,2,3,…,100前100项和
2.高斯的解法是:
前100项和
即
二、提出课题:
等差数列的前项和
1.证明公式1:
证明:
①
②
①+②:
∵
∴由此得:
从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性。
2.推导公式2
用上述公式要求必须具备三个条件:
但代入公式1即得:
此公式要求必须具备三个条件:
(有时比较有用)
总之:
两个公式都表明要求必须已知中三个
3.例一(P120例一):
用公式1求
例二(P120例一):
用公式2求
学生练习:
P122练习1、2、3
三、例三(P121例三)求集合的元素个
数,并求这些元素的和。
解:
由得
∴正整数共有14个即中共有14个元素
即:
7,14,21,…,98是
∴答:
略
例四已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,
由此可以确定求其前项和的公式吗?
解:
由题设:
得:
∴
四、小结:
等差数列求和公式
五、作业(习题3.1)P122-123
第六教时
教材:
等差数列前项和
(二)
目的:
使学生会运用等差数列前项和的公式解决有关问题,从而提高学生分析问题、解决问题的能力。
过程:
一、复习:
等差数列前项和的公式
二、例一在等差数列中1°已知求和;
解:
2°已知,求.
解:
∵∴
例二已知,都成AP,且,,试求数
列的前100项之和.
解:
例三一个等差数列的前12项之和为354,前12项中偶数项与奇数项之比为32:
27,求公差。
解一:
设首项为,公差为则
解二:
由
例四已知:
()问多少项之和为最
大?
前多少项之和的绝对值最小?
解:
1°
∴
2°
当近于0时其和绝对值最小
令:
即1024+
得:
∵∴
例五项数是的等差数列,中央两项为是方程的
两根,求证此数列的和是方程
的根。
()
解:
依题意:
∵∴
∵
∴∴(获证)
例六(机动,作了解)求和
1°
解:
∴
2°
解:
原式=
三、作业《精编》P167-1686、7、8、9、10
第七教时
教材:
等差数列的综合练习
目的:
通过练习,要求学生对等差数列的定义,通项公式,求和公式及其性质有深刻的理解。
过程:
一、复习:
1.等差数列的定义,通项公式—关于的一次函数
2.判断一个数列是否成等差数列的常用方法
3.求等差数列前项和的公式
二、处理《教学与测试》P79第38课例题1、2、3
三、补充例题《教学与测试》备用题
1.成等差数列的四个数之和为26,第二数和第三数之积为40,求这四个数.
解:
设四个数为
则:
由①:
代入②得:
∴四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
2.在等差数列中,若求.
解:
∵∴而
3.已知等差数列的前项和为,前项和为,求前项和.
解:
由题设
∴而
从而:
四、补充例题:
(供参考,选用)
4.已知,求及.
解:
从而有
∵∴
∴∴
5.已知求的关系式及通项公式
解:
②-①:
即:
将上式两边同乘以得:
即:
显然:
是以1为首项,1为公差的AP
∴
∴
6.已知,求及.
解:
∵∴∴
设则是公差为1的等差数列∴
又:
∵∴∴
当时
∴
7.设求证:
证:
∵
∴
∴
∴
五、作业:
《教学与测试》第38课练习题P80
第八教时
教材:
等比数列
(一)
目的:
要求学生理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式并会根据它进行有关计算。
过程:
一、1.印度国王奖赏国际象棋发明者的实例:
得一个数列:
(1)
2.数列:
(2)
(3)
观察、归纳其共同特点:
1°“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)
2°隐含:
任一项
3°q=1时,{an}为常数
二、通项公式:
三、例一:
(P127例一)
实际是等比数列,求a5
∵a1=120,q=120∴a5=120×1205-1=12052.5×1010
例二、(P127例二)强调通项公式的应用
例三、求下列各等比数列的通项公式:
1.a1=-2,a3=-8
解:
2.a1=5,且2an+1=-3an
解:
3.a1=5,且
解:
以上各式相乘得:
四、关于等比中项:
如果在a、b中插入一个数G,使a、G、b成GP,则G是a、b的等比中项。
(注意两解且同号两项才有等比中项)
例:
2与8的等比中项为G,则G2=16G=±4
例四、已知:
b是a与c的等比中项,且a、b、c同号,
求证:
也成GP。
证:
由题设:
b2=ac得:
∴也成GP
五、小结:
等比数列定义、通项公式、中项定理
六、作业:
P129习题3.41—8
第九教时
教材:
等比数列
(二)
目的:
在熟悉等比数列有关概念的基础上,要求学生进一步熟悉等比数列的有关性质,
并系统了解判断一个数列是否成等比数列的方法。
过程:
一、复习:
1、等比数列的定义,通项公式,中项。
2、处理课本P128练习,重点是第三题。
二、等比数列的有关性质:
1、与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。
与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方。
2、若,则。
例一:
1、在等比数列,已知,,求。
解:
∵,∴
2、在等比数列中,,求该数列前七项之积。
解:
∵,∴前七项之积
3、在等比数列中,,,求,
解:
另解:
∵是与的等比中项,∴
∴
三、判断一个数列是否成GP的方法:
1、定义法,2、中项法,3、通项公式法
例二:
已知无穷数列,
求证:
(1)这个数列成GP
(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的,
(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。
证:
(1)(常数)∴该数列成GP。
(2),即:
。
(3),∵,∴。
∴且,∴,(第项)。
例三:
设均为非零实数,,
求证:
成GP且公比为。
证一:
关于的二次方程有实根,
∴,∴
则必有:
,即,∴成GP
设公比为,则,代入
∵,即,即。
证二:
∵
∴
∴,∴,且
∵非零,∴。
四、作业:
《课课练》P127-128课时7中练习4~8。
P128-129课时8中例一,例二,例三,练习5,6,7,8。
第十教时
教材:
等比数列的前项和
目的:
要求学生掌握求等比数列前项的和的(公式),并了解推导公式所用的方法。
过程:
一、复习等比数列的通项公式,有关性质,及等比中项等概念。
二、引进课题,采用印度国际象棋发明者的故事,
即求①
用错项相消法推导结果,两边同乘以公比:
②
②-①:
这是一个庞大的数字>1.84×,
以小麦千粒重为40计算,则麦粒总质量达7000亿吨——国王是拿不出来的。
三、一般公式推导:
设①
乘以公比,②
①-②:
,时:
时:
注意:
(1)和各已知三个可求第四个,
(2)注意求和公式中是,通项公式中是不要混淆,
(3)应用求和公式时,必要时应讨论的情况。
四、例1、(P131,例一略)——直接应用公式。
例2、(P131,例二略)——应用题,且是公式逆用(求),要用对数算。
例3、(P131-132,例三略)——简单的“分项法”。
例4、设数列为求此数列前项的和。
解:
(用错项相消法)①
②
①-②,
当时,
当时,
五、小
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