第910讲 实际问题与二元一次方程组课外讲座.docx
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第910讲 实际问题与二元一次方程组课外讲座.docx
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第910讲实际问题与二元一次方程组课外讲座
第9讲实际问题与二元方程组(教师版)
一、教学目标
1.逐步形成方程思想,进一步适应列方程(组)解决实际问题的新思路.
2.学会用画图,列表等途径分析应用题的方法.
3.熟练掌握各类应用题中的基本数量关系.
4.学会找出每道应用题中所蕴藏的各种等量关系,并依此列出方程组.
二、列方程组解应用题一般步骤和类型
1、一般步骤:
(1)审题:
(2)设出未知数;(3)列出方程组;(4)写出解方程组的解;(5)检验,未知数的值是否是方程的解,是否符合实际;(6)作答,注意带上单位。
2、类型:
和差倍分、等积变形、比例问题、配套、调配、分配、工程、增长率、利润、数字、行程(相遇、追击、环形、航行)、年龄、储蓄、几何、比赛积分、古典数学、收费、日历、方案设计、浓度等问题。
三、例子
类型一【和差倍分】仔细读题找出关键字,例如:
“大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,…”,
基本等量关系是:
较大量=较小量+多余量,甲的量+乙的量=总量.
【例1】我班有学生32人,女生人数的一半比男生总数少10人,问男女生各多少人?
【变式题组】
01.自启动农村义务教育学生营养改善计划以来,某校根据上级要求配备了一批营养早餐.某天早上七年级
(1)班分到牛奶、面包共7件,每件牛奶24元,每件面包16元,共需144元.求这天早上该班分到多少件牛奶,多少件面包?
02.今年植树节七年级
(2)有20位同学参加了植树活动,共植树52棵,其中男生每人种3棵,女生每人种2棵,问男生、女生各多少人?
03.游泳池中有一群小朋友,男孩戴蓝色游泳帽,女孩戴红色游泳帽。
如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多,而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍,求男孩与女孩各有多少人?
类型二【配套问题】两类零件总数的比等于一套物体中两类零件数的比。
生产中的配套问题很多,如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等.各种配套都有数量比例,依次设未知数,用未知数可把它们之间的数量关系表示出来,从而得到方程组,使问题得以解决,确定等量关系是解题的关键.
【例2】木工厂有28人,2个工人一天可以加工3张桌子,3个工人一天可以加工10把椅子,现在如何安排劳动力,使生产的一张桌子与4把椅子配套?
解:
设
【解法指导】生产的桌子数:
椅子数=1:
4
【变式题组】
01.现有190张铁皮做盒子,每张铁皮做8个盒身或做22个盒底,一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子,问用多少张铁皮制盒身,多少张铁皮制盒底,可以正好制成一批完整的盒子?
02.某种仪器由1个A部件和1个B部件配套构成,每个工人每天可以加工A部件1000个或者加工B部件600个,现有工人16名,应怎样安排人力,才能使每天生产的A部件和B部件配套?
03.某服装厂生产一批某种款式的秋装,已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗),应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套?
类型三【分配问题】
【例3】学校分配学生住宿,如果每室住8人,还少12个床位,如果每室住9人,则空出两个房间。
求房间的个数和学生的人数。
解:
设
【变式题组】
01.某班同学利用假期参加夏令营活动,分成几个小组,若每组7人还余1人,若每组8人还缺6人,问该班分成几个小组,共有多少名同学?
02.某幼儿园分苹果,若每人3个,则剩2个,若每人4个,则有一个少1个,问幼儿园有几个小朋友?
多少个苹果?
03.将若干练习本分给若干名同学,如果每人分4本,那么还余20本;如果每人分8本,那么最后一名同学分到4本,求学生人数和练习本数。
类型四【工程问题】工作效率×工作时间=工作量.
【例4】一项工程甲单独做需12天完成,乙单独做需18天完成,计划甲先做若干天后离去,再由乙完成;实际上甲只做了计划时间的一半便因事离去,然后由乙单独承担,而乙完成任务的时间恰好是计划时间的2倍,则原计划甲、乙各做多少天?
【解法指导】由甲、乙单独完成所需的时间可以看出甲、乙两人的工作效率,设总工作量为1,则甲每天完成
,乙每天完成
;
解:
设原计划甲做x天,乙做y天,则有
,解方程组,得
答:
原计划甲做8天,乙做6天.
【变式题组】
01.一批机器零件共1100个,如果甲先做5天后,乙加入合做,再做8天正好完成;如果乙先做5天后,甲加入合做,再做9天也恰好完成,问两人每天各做多少个零件?
02..某工程由甲乙两队合做
天完成,厂家需付甲乙两队共
元;乙丙两队合做
天完成,厂家需付乙丙两队共
元;甲丙两队合做
天完成全部工程的三分之二,厂家需付甲丙两队共
元.
(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?
(2)若要求不超过
天完成全部工程,问可由哪队单独完成此项工程花钱最少?
解:
(1)
,
,
;
(2)甲单独完成此项工程花钱最少.
类型五【行程问题】基本量之间的关系:
路程=速度×时间
(1)【相遇问题】特点是相向而行。
等量关系是:
甲的路程+乙的路程=总路程。
(2)【追击问题】特点是同向而行。
等量关系式是:
快者的路程-慢者路程=原两者的距离
(3)【航行问题】①顺水速=静水速+水速②逆水速=静水速-水速
③顺水速度-逆水速度=2×水速。
(4)【环行问题】同时同地同向追击,首次相遇快者路程—慢者路程=周长
同时同地异向,首次相遇快者路程+慢者路程=周长
【例5】甲、乙二人相距6km,二人同向而行,甲3小时可追上乙;相向而行,1小时相遇。
问甲、乙两人的速度各是多少?
解:
【变式题组】
01.甲、乙两人在东西方向的公路上行走,甲在乙的西边300米处.若甲、乙两人同时相向而行,2分钟后相遇;若甲、乙两人同时向东走30分钟后,甲正好追上乙。
问甲、乙两人的速度各是多少?
解:
(1)设甲的速度是x米/分钟,乙的速度是y米/分钟,依题意,得
解这个方程组,得
答:
甲的速度是80米/分钟,乙的速度是70米/分钟.
02.甲、乙两人练习赛跑,如果甲让乙先跑10米,那么甲跑5秒钟就可以追上乙;如果甲让乙先跑2秒钟,那么甲跑4秒钟就能追上乙,求两人每秒钟各跑多少米?
解:
设甲速x米/秒,乙速y米/秒
03甲、乙两物体分别以均匀的速度在周长为600米的圆形轨道上运动,甲的速度较快.当两物体反向运动时,每15秒钟相遇1次;当两物体同向运动时,每1分钟相遇一次,求各物体的速度.
(提示:
反向:
甲15秒所走路程+乙15秒所走路程=600,同向:
甲60秒所走路程-乙60秒所走路程=600.)
04.地相距280千米,一艘船在其间航行,顺流用14小时,逆流用20小时,求船在静水中的速度和水流速度。
类型六【年龄问题】两人年龄的增长数是相等或两人的年龄差不变(相等)。
【例6】一名学生问老师:
“你今年多大?
”老师风趣地说:
“我像你这样大时,你才出生;你到我这么大时,我已经37岁了”.请问老师和学生今年分别多少岁?
【解法指导】如何找出应用题的等量关系是解决应用题的关健,也是难点,本题中,老师的两句话分别蕴含着两个等量关系,其本质就是根据师生不同时段的年龄差相等.师生过去的年龄差=师生现在的年龄差=师生将来的年龄差,列表:
过去
现在
将来
师
y
x
37
生
0
y
x
差
y-0
x-y
37-x
【解】设现在老师x岁,学生y岁,依题可列方程组
解此方程组得
答:
老师今年25岁,学生今年12岁.
【变式题组】
01.甲、乙两人聊天,甲对乙说:
“当我的岁数是你现在的岁数时,你才4岁.”乙对甲说:
“当我的岁数是你现在的岁数时,你将61岁”.同学们,你能算出这两人现在各是多少岁吗?
试试看.
02.六年前,A的年龄是B的3倍,现在A的年龄是B的两倍,A现在的年龄是()A.12岁B.18岁C.24岁D.30岁
03.甲对乙风趣地说:
“我像你这样大岁数的那年,你才2岁,而你像我这样大岁数的那年,我已经38岁了.甲、乙两人现在的岁数分别为___________.
04.丁丁与他爸爸的年龄之和是50岁,5年后,他爸爸的年龄将是丁丁年龄的3倍.丁丁与他爸爸的年龄各是多少?
四、巩固练习
01.已知乙组人数是甲组人数的一半,若将乙组人数的三分之一调入甲组,则甲组比乙组人数多15人,则甲、乙两组的人数分别为多少?
02.某次数学知识竞赛共出了25道试题,评分标准如下:
答对1题加4分;答错1题扣1分;不答记0分.已知李明不答的题比答错的题多2道,他的总分为74分,则他答对了多少道题?
03.甲、乙两地相距120km,一艘轮船往返两地,顺流时用5h,逆流时用6h,这艘轮船在静水中航行的速度和水流速度分别为多少?
04.白铁皮做罐头盒,每张铁皮可制盒身10个或制盒底40个,一个盒身与两个盒底配成一个罐头盒,现有120张白铁皮,问做盒身盒底分别用多少张?
05.两人相距36千米,相向而行,如果甲比乙先走2小时,那么他们在乙出发2.5小时后相遇;如果乙比甲先走2小时,那么他们在甲出发3小时后相遇,甲、乙两人每小时各走多少千米?
第10讲实际问题与二元方程组
(2)
一、教学目标
1.逐步形成方程思想,进一步适应列方程(组)解决实际问题的新思路.
2.学会用画图,列表等途径分析应用题的方法.
3.熟练掌握各类应用题中的基本数量关系.
4.学会找出每道应用题中所蕴藏的各种等量关系,并依此列出方程组.
二、列方程组解应用题一般步骤和类型
1、一般步骤:
(1)审题:
(2)设出未知数;(3)列出方程组;(4)写出解方程组的解;(5)检验,未知数的值是否是方程的解,是否符合实际;(6)作答,注意带上单位。
2、类型:
和差倍分、等积变形、比例问题、配套、调配、分配、工程、增长率、利润、数字、行程(相遇、追击、环形、航行)、年龄、储蓄、几何、比赛积分、古典数学、收费、日历、方案设计、浓度等问题。
三、例子
类型七【几何问题】相等关系一般隐藏在图形的性质中,分析图形特点,找出图形的位置关系和数量关系。
【例7】如图10块相同的小长方形墙砖拼成一个长方形,求每块小长方形的面积?
例7图变式题1图变式题2图
小长方形的墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米,则依题意列方程正确的是()
A.
B.
C.
D.
【变式题组】
01.如图用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形,每块长方形地砖的长和宽分别是多少?
解:
设长方形地砖的长xcm,宽ycm,由题意得:
,
答:
每块长方形地砖的长为45cm、宽为15cm。
02.如图在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形,再将图中的阴影剪拼成一个长方形,如图2,这个拼成的长方形的长为30,宽为20,求图2中Ⅱ部分的面积是多少?
03.一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m,它的周长是132m,则长和宽分别为多少?
类型八【增长率问题】现有量=原有量+增长量=原有量×(1+增长率)
【例8】某校现有学生2050人,与去年相比,男生增加5%,女生减少5%,学生总数增加1%,问现在男女各有多少人?
【变式题组】
01.某工厂去年的利润(总产值—总支出)为200万元,今年总产值比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元,去年的总产值、总支出各是多少万元?
思路点拨:
设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,则有
总产值(万元)
总支出(万元)
利润(万元)
去年
x
y
200
今年
120%x
90%y
780
根据题意知道去年的利润和今年的利润,由利润=总产值—总支出和表格里的已知量和未知量,可以列出两个等式。
解:
设去年的总产值为x万元,总支出为y万元,根据题意得:
,解之得:
答:
去年的总产值为2000万元,总支出为1800万元
02.某城市现有人口42万,估计一年后城镇人口增加0.8%,农村人口增加1.1%,这样全市人口增加1%,求这个城市的城镇人口与农村人口数?
03.学现有学生4200人,计划一年后初中在校生增加8%,高中在校生增加11%,这样全校在校生增加10%,试问:
这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数各多少?
04.今年“五一”小长假期间,某市外来与外出旅游的总人数为226万人,分别比去年同期增长30%和20%,去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人.求该市今年外来和外出旅游的人数.
类型九【销售问题】利润=售价-进价,利润=进价×利润率,
标价=进价×(1+利润率),售价=标价×打折率
【例9】某商场购进甲、乙两种服装后,都加价40%标价出售.“春节”期间商场搞优惠促销,决定将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售.某顾客购买甲、乙两服装共付款182元,两种服装标价之和为210元.问这两种服装的进价和标价各是多少元?
解:
设甲种服装的标价是x元,则进价是
元;乙种服装的标价是y元,
则进价是
元.
依题意,得
解之,得
=
=50(元).
=
=100(元).
答:
甲进价50元,标价70元;乙进价100元,标价140元.
【变式题组】
01.一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%;如果打八折出售可以盈利10元,问此商品的定价是多少?
进价是多少?
02.五一期间,某商场搞优惠促销,决定由顾客抽奖决定折扣,某顾客购买甲、乙两种商品,分别抽到七折和九折,共付368元,这两面种商品原价之和为500元,问两种商品原价各是多少元?
03.某商场按定价销售某种商品时,每件可获利45元,按定价的8.5折销售时,
该商品销售8件与按定价降35元销售该商品12件所获利润相等,该商品进价、
定价分别是多少?
04.甲、乙两件服装的成本共500元,商店老板为获取利润,决定将甲服装按50%利润定价,乙服装接40%的利润定价.在实际出售时,应顾客要求,两件服装均按9折出售,这样商店共获利157元,求甲、乙两件服装的成本各是多少元?
类型十【数字问题】
【例10】两个两位数的和是68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数,得到一个四位数;在较大的两位数的左边写上较小的两位数,也得到一个四位数,已知前一个四位数比后一个四位数大2178,求这两个两位数。
思路点拨:
设较大的两位数为x,较小的两位数为y。
问题1:
在较大的两位数的右边写上较小的两位数,所写的数可表示为:
100x+y
问题2:
在较大数的左边写上较小的数,所写的数可表示为:
100y+x
解:
设较大的两位数为x,较小的两位数为y。
依题意可得:
,解得:
答:
这两个两位数分别为45,23.
【变式题组】
01.一个两位数,减去它的各位数字之和的3倍,结果是23;这个两位数除以它的各位数字之和,商是5,余数是1,这个两位数是多少?
02.一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大5,如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置,那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9,求这个两位数?
03.某三位数,中间数字为0,其余两个数位上数字之和是9,如果百位数字减1,个位数字加1,则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列,求原三位数。
类型十一【浓度问题】溶液=溶质+溶剂
【例11】要配浓度是45%的盐水12千克,现有10%的盐水与85%的盐水,这两种盐水各需多少?
【变式题组】
01.一种35%的新农药,如稀释到1.75%时,治虫最有效。
用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克,才能配成1.75%的农药800千克?
02.有甲乙两种铜与银的合金,甲种含银25%,乙种含银37.5%。
现在要熔成含银30%的合金100kg,求甲乙两种合金各多少?
03.配制防腐药水,一种浓度是30%,另一种浓度是75%,现在要配制成50%的溶液18kg,则这两种药水各要取多少克?
类型十二【生长问题】
【例7】已知有三块牧场,场上的草长得一样快,它们的面积分别为
公顷、10公顷和24公顷.第一块牧场可供12头牛吃4个星期,第二块牧场可供21头牛吃9个星期.试问第三块牧场可供多少头牛吃18个星期?
【解法指导】此题涉及的草量有三种,一是牧场原有生长的草量,二是每周新长出的草量,三是每头牛每周吃掉的草量,分析相等关系时要注意草量“供”与“销”之间的关系:
第一块牧场:
原有草量+4周长出的草量=12头牛4周吃掉的草量;
第二块牧场:
原有草量+9周长出的草量=21头牛9周吃掉的草量;
第三块牧场:
原有草量+18周长出的草量=?
头牛18周吃掉的草量.
解:
设牧场每公顷原有草x吨,每公项每周新长草y吨,每头牛每周吃草a吨,依题意,得
解这个关于x、y的二元一次方程组,得
设第三块牧场18周的总草量可供z头牛吃18个星期,则:
答:
第三牧场可供36头牛吃18个星期.
【变式题组】
01.某江堤边一洼地发生了管涌,江水不断地涌出,假定每分钟涌出的水量相等,如果用两台抽水机抽水,40分钟可抽完;如果用4台抽水机抽水,16分钟可抽完.若想尽快处理好险情,将水在10分钟内抽完,那么至少需要抽水机多少台?
02.山脚下有一池塘,山泉以固定的流量(即单位时间里流入池中的水量相同)不停地向池塘内流淌,现池塘中有一定深度的水,若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完;若用两台A型抽水机则要20分钟正好把池塘中的水抽完;若用三台A型抽水机同时抽,则需要多长时闻恰好把池塘中的水抽完?
四、巩固练习
01.一个两位数的十位数字与个位数字的和是7,如果这个两位数加上45,则恰好组成这个个位数字与十位数字对调后的两位数,则这个两位数是__________.
02.现有食盐水两种,一种含盐12%,另一种含盐20%,分别取这两种盐水akg和bkg,将其配成16%的盐水100kg,则a=_______,b=__________.
03.小明家去年节余5000元,估计今年节余9500元,并且今年收人比去年提高15%,支出比去年降低10%,则小明家去年的收人为_____元,支出为_______元.
04.某人用24000元买进甲,乙两种股票,在甲股票升值15%,乙股票下跌10%时卖出,共获利1350元,试问某人买的甲,乙两股票各是多少元?
05.有甲乙两种债券年利率分别是10%与12%,现有400元债券,一年后获利45元,问两种债券各有多少?
06.甲、乙两件商品,甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。
价格调整后,甲商品的利润率为4%,乙商品的利润率为5%,共可获利44元,则两件商品的进价分别是多少元?
某商场用36万元购进A、B两种商品,销售完后共获利6万元,其进价和售价如下表:
A
B
进价(元/件)
1200
1000
售价(元/件)
1380
1200
求该商场购进A、B两种商品各多少件?
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