电磁场答案三doc.docx
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电磁场答案三doc
第三章习题解答
3.1真空中半径为"的一个球面,球的两极点处分别设置点电荷a和-彳,试计算球赤道平面上电通密度的通量0(如题3.1图所示)。
解由点电荷纟和-彳共同产生的电通密度为
3.21911年卢瑟福在实验中使用的是半径为乙的球体原子模型,其球体内均匀分布有总电荷量为-Ze的电子云,在球心有一正电荷Ze(Z是原子序数,e是质子电荷量),通过实验得到球体内的电通量密度表达式为
原子内电子云的电荷体密度为P=_4兀F[3=—石存
电子云在原子内产生的电通量密度则为
7。
故原子内总的电通量密度为D^D.+D^e—
3.3电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中,体密度为p0C/m3,两圆柱面半径分别为a和b,轴线相距为C(c 求空间各部分的电场。 解由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布,不能直接用高斯定律求解。 但可把半径为a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为土炖的两种电荷分布,这样在半径为b的整个圆柱体内具有体密度为P0的均匀电荷分布,而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为-炖的均匀电荷分布,如题3.3图9)所示。 空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。 在r>b区域中,由高斯定律JE曲旦,可求得大、小圆柱中的正、负电 nh^r 点F处总的电场为—比+E;¥(p-一) 2筍rr 在厂vb且F〉a区域中,同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点F产生的电场分别为 ”_“兀FP_Pr”,一“,—兀a? p_pa-r' 「2亦乙厂2^02亦°厂2^0厂 点P处总的电场为E=E2+Er2=-^~(T) 2勺r 在的空腔区域中,大、小圆柱中的正、负电荷在点F产生的电场分别为 ^r2p0_por 2亦°厂2^0 e,_疋_冗*2P。 _pF 3r2码”2s0 点P处总的电场为E=E3+E3=yQ_(r~r^=~~c 3.4半径为a的球中充满密度Q(C的体电荷,已知电位移分布为r3+Ar~(r Dr= ——;—(”乞a) Ir~ 解: 由V£>=/? 有p(r)=VD=^-^-(r2D,.) rdr 故在r rar 在r>a区域p(r)=4—[r2+A^\=0 rdrr 3.5—个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜,球内充满总电荷量为0为的体电荷,球壳上又另充有电荷量0。 已知球内部的电场为E=eSr/at,设球内介质为真空。 计算: (1)球内的电荷分布; (2)球壳外表面的电荷面密度。 解 (1)由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为 —厲加湖]"£铁£)円略 (2)球体内的总电量0为Q=fpdr=|6z? 0-^-4^rdr=4^? 0«2 T061 球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷-Q,而且在球壳外表面上还要感应 电荷0,所以球壳外表面上的总电荷为20,故球壳外表面上的电荷面密度为 3.6两个无限长的同轴圆柱半径分别为r=a和厂@>q),圆柱表面分别带有密度为“和d的面电荷。 (1)计算各处的电位移q; (2)欲使厂>b区域内=°,则5和”2应具有什么关系? 解 (1)由高斯定理jDodS=q,当r S 3.7计算在电场强度E=exy+eyx的电场中把带电量为-2“C的点电荷从点珥(2,1,-1)移到点7^(8,2,-1)时电场所做的功: (1)沿曲线x=2/; (2)沿连接该两点的直线。 2 qj6y2dy=14q=-28x10"(J) 1 (2)连接点人(2,1,-1)到点7^(8,2,-1)直线方程为 即兀一6丁+4=0 x—2x—8y—1y—2 故. 解 (1)建立如题3.8图所示坐标系。 根据电位的积分表达式,线电荷平分面上任意点P的电位为 dE=erAEr=cos0=er□严? 2矶\Jr2+z'2r2亦o(r+z)Z 故长为L的线电荷在点P的电场为 E=f吐e—PE'—=e上M—乙—) ^2隔(宀宀3/2-打 ePmL_ r4叫7r2+(L/2)2 由E=-\/(p求E,有 H—V防—亘v[l//2+^gil 2砖0r _e_£io_Ir-~\=er厶--厶 "2叭[厶/2+廿+(厶/2『y/r2+(L/2)2r4矶,护+(厶⑵? 3.9已知无限长均匀线电荷口的电场总7,试用定义式 rp (p(r)=jEdZ求其电位函数。 其中°为电位参考点。 解 ;;2兀唧2ne^rr 由于是无限长的线电荷,不能将G选为无穷远点。 3.10一点电荷+9位于(-。 0,0),另一点电荷-2q位于@,0,0),求空间的零电位面。 解两个点电荷+9和-2q在空间产生的电位 i[厂q 4疋如^x+af+y-+z- 故得 54 由此可见,零电位面是一个以点(~—«,0,0)为球心、为半径的球面。 7e1r133.11证明习题3.2的电位表达式为(p(r)=(H-) 解位于球心的正电荷Ze在原子外产生的电通量密度为Q=e” 电子云在原子外产生的电通量密度则为£=S穿害所以原子外的电场为零。 故原子内电位为 0(厂)=A(r-—)cos0r>a r (1)求圆柱内、外的电场强度; (2) 这个圆柱是什么材料制成的? 表面有电荷分布吗? 试求之。 解
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