胡不归+阿氏圆练习.docx
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胡不归+阿氏圆练习.docx
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胡不归+阿氏圆练习
胡不归问题
一•填空题(共1小题)
1如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点,过B的直线交抛物线于E,且tan.EBA,有一只蚂蚁从A出发,先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处,
再以1.25单位Is的速度沿着DE爬到E点处觅食,则蚂蚁从A到E的最短时间是
二.解答题(共7小题)
2•如图,已知抛物线y=m(x+1)(x-2)(m为常数,且ma0)与x轴从左至右依次交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA=OC,经过点B的直线与抛物线的另一交点D在第二象限.
(1)求抛物线的函数表达式.
⑵若•DBA二30,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?
121
3.如图,抛物线yxmx■n与直线y=…_x-3交于A,B两点,交x轴与D,C两
22
点,连接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求tan.BAC的值;
(3)设E为线段AC上一点(不含端点),连接DE,一动点M从点D出发,沿线段DE以
每秒一个单位速度运动到E点,再沿线段EA以每秒,2个单位的速度运动到A后停止,当点E的坐标是多少时,点M在整个运动中用时最少?
2
4.如图1抛物线y=ax-(a-3)x-3(a-0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在x轴
上有一动点E(m,0)(0:
:
:
m:
:
:
4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点
P,过点P作PM_AB于点M.
(1)求a的值和直线AB的函数表达式;
0E•,旋转角为(0「:
:
:
90),
2
5.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=axbxc的图象经过点A(_1,0),B(0,-.3),
C(2,0),其对称轴与x轴交于点D
(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;
1
(2)若P为y轴上的一个动点,连接PD,则丄PBPD的最小值为;
2
(3)M(x,t)为抛物线对称轴上一动点
1若平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形,则这样的点N共有
个;
2连接MA,MB,若.AMB不小于60,求t的取值范围.
6.如图,在.SCE中,CA=CE,/CAE二30,、0经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.
(1)试说明CE是、0的切线;
(2)若.ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示、0的直径AB;
1
(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点),连接0D,当_CD0D的最小值为6时,
2
求.0的直径AB的长.
r
£
AB在线段AE
1
_JCD0D的
2
c
7.如图,在.SCE中,CA=CE,/CAE二30,、0经过点C,且圆的直径上.
(1)证明:
CE是、0的切线;
(2)设点D是线段AC上任意一点(不含端点),连接0D,当AB=8时,
最小值.
k
&如图,已知抛物线y(x-2)(x-4)(k为常数,且k.0)与x轴从左至右依次交于A,B
8
两点,与y轴交于点C,经过点B的直线y=_业x+b与抛物线的另一交点为D.
3
(1)若点D的横坐标为厘,求抛物线的函数表达式;
(2)若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与AABC相似,求k的值;
(3)在
(1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?
L/.
-V
C
胡不归问题
参考答案与试题解析
一•填空题(共1小题)
2
1如图,抛物线y-2x-3与x轴交于A、B两点,过B的直线交抛物线于E,且
tan.EBA=4,有一只蚂蚁从A出发,先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处,
3
再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食,则蚂蚁从A到E的最短时间是竺
一9
【解答】解:
过点E作x轴的平行线,再过D点作y轴的平行线,两线相交于点H,如图,
EH//AB,
..HEB=/ABE,
/yDH4
.tanZHED=tanZEBA=
EH3
设DH二4m,EH=3m,贝UDE=5m,
.蚂蚁从D爬到E点的时间二5x二4(s)
1.25
若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s,则蚂蚁从D爬到H点的时「心4m二4(s),
1
.蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等,
•蚂蚁从A出发,先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处,再以1.25单位/s的速度
沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点,再从D点以1单位
/s速度爬到H点的时间,
作AG_EH于G,贝UADDHAHAG,
■ADDH的最小值为AQ的长,
当y=0时,x-2x-3二0,解得x二「1,x二3,贝UA(—1,0),B(3,0),
12
64
故答案为
.V
2.如图,已知抛物线y=m(x+1)(x-2)(m为常数,且m>0)与x轴从左至右依次交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA-OC,经过点B的直线与抛物线的另一交点D在第二象限.
(1)求抛物线的函数表达式.
⑵若.DBA二30,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?
【解答】解:
(1)抛物线y=m(x+1)(x-2)(m为常数,且m>0)与x轴从左至右依次交于A、
B两点,
令y二0,解得x--1或x二2,则A(-1,0),B(2,0),
OA=OC,
C(0,-1),
;点c(0,-1)在抛物线y=m(x1)(x-2)上,
.m(01)(0-2)--1,
1
解得m=_.
21
-抛物线的函数表达式为:
y三(x1)(x-2);
2
(2)DBA二30,
-设直线BD的解析式为y二-三xb,
3,
B(2,0),
,•”0=—上x2+b,解得b=2少,
3
故直线BD的解析式为y一诗%
联立两解析式可得
y=-43x+2后石V,
y-_(xi)(x-2)
2
x一2、、33
解得」
3
2v3-3
y=
3
则D(年」,十3),如图,过点D作DN_x轴于点N,过点D作DK//x轴,贝UKDF-/DBA=30.
1
过点F作FG-DK于点G,贝UFG三1DF.
2
1
AFDF,运动时间:
t二AF2DF,
2
■t=AFFG,即运动的时间值等于折线AFFG的长度值.
由垂线段最短可知,折线AFFG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段.过点A作AH-DK于点H,贝吐最小二AH,AH与直线BD的交点,即为所求的
占
八、、・
-A点横坐标为-1,直线BD解析式为:
y二-
(-1)
F(-1,、3).
综上所述,当点F坐标为(-143)时,点M在整个运动过程中用时最少.
121
3.如图,抛物线yxmx■n与直线yx3交于A,B两点,交x轴与D,C两
22
点,连接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)求tan.BAC的值;
(3)设E为线段AC上一点(不含端点),连接DE,一动点M从点D出发,沿线段DE以
每秒一个单位速度运动到E点,再沿线段EA以每秒.2个单位的速度运动到A后停止,
当点E的坐标是多少时,点M在整个运动中用时最少?
1汽9+3m+n=0
C(3,0)代入y=丄x2亠mx亠n,得
2
解得
■抛物线的解析式为
(2)联立
解得:
|x二0
y=3
(不符合题意,舍)
x二4
Jy=1
.点B的坐标为(4,1).
过点B作BH_x轴于H,
如图
C(3,0),B(4,1),
.BH二1,OC=3,OH
CH
.BH二CH二1.
.BHC=90,
ZBCH=45,BC=.2.
同理:
ZACO=45*,AC=3/2,
-ZACB=180-45-45'=90,
/BC、匚1
.tan.BAC2:
AC3^23
(3)过点E作EN_y轴于N,在Rt.ANE中
•点
作点
则有
EN=AE-sin45
2
M在整个运动中所用的时间为
DEEA
DEEN.
1■-2
D关于AC的对称点D•,连接DE,
DE=DE,
DC=DC,.DCA=.DCA=45
ZdCd
=90,DEEN=DEEN.
根据两点之间线段最短可得:
当D、E、N三点共线时,DEEN=DEEN最
小.此时,「DCD=./DNO二/NOC二90,
.四边形OCDN是矩形,
.ND=0C=3,ON=DC=DC.
对于y=Jx2-Jx3,当y二0时,有1x[_5x-3二0,
2222
解得:
xi=2,X2=3.
.D(2,0),OD=2,
ON二DC二OC-OD二3-2二1,
.NE二AN二AO-ON=3-1=2,
.点E的坐标为(2,1).
2
4.如图1,抛物线y=ax-(a-3)x-3(a-0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在x轴
上有一动点E(m,0)(0:
:
:
m:
:
:
4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点
P,过点P作PM_AB于点M.
1=6,求m的值;
C25
(1)求a的值和直线AB的函数表达式;
(2)设.:
PMN的周长为C,.AEN的周长为C,若
12
(3)如图2,在⑵条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE•,旋转角为〉(0:
:
:
:
;:
:
90),
2
EA—EB的最小值.
3
【解答】解:
(1)令y=0,则ax2(a3)x3二0,
.(x1)(ax3)二0,
x二_1或__,
a
A(4,0),
;抛物线y=ax-(a-3)x-3(a-0)与x轴交于点
3
--4——丁?
a
A(4,0),B(0,3),
设直线AB解析式为y=kx•b,贝Ub二3
|4kb-0k一3
解得4,
Jb=3
3
.直线AB解析式为y=-x3.
4
PM_AB,PE_OA,
上PMN=/AEN,
"Zpnm=Nane,
.^PNMsMnE,
PN6
”AN_5,
‘NE//OB,
AN-AE^
”AB_OA,
5
.AN=—(4-m),
4
'抛物线解析式为
32.9.
y=—-x十-x十3,
44
32丄9丄3丄32j
PNmm'3-(m'3)m'3m,
4444
32
m3m
46=?
55
(4-m)5
4解得m=2.
(3)如图2中,在y轴上取一点M•使得OM=4,连接AM,在AM•上取一点E使得3
OE=0E.
*
4
0E'=2,OM、0B3=4,
3
C(2,0),其对称轴与x轴交于点D
(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标;
(2)若P为y轴上的一个动点,连接PD,则1PB+PD的最小值为罟
24
(3)M(x,t)为抛物线对称轴上一动点
①若平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形,则这样的点N共有
个;
②连接MA,MB,若.AMB不小于60,求t的取值范围.
备用图
(2)如图
2
x
2
--x一―3
2
(I,
2
1中,
AB,作DH
_AB于
H,交0B于P,
理由:
二OA=1,OB=.
/OA
.tanZABO一OB
ZABO=30,
二「3
3
1
.PHPB,
2
.1PBPD二PHPD二DH,
2
1
.此时-PBPD最短(垂线段最短).
2
在RtADH中,1AHD=90,AD=3,.HAD=60
2
sin60巴
AD
DH■'3,
4
二1PB+PD的最小值为冬3•
2
(3)①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点,以B为圆心AB为半径画弧与对称轴也有两个交点,线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点,所以满足条件的点M有5个,即满足条件的点N也有5个,故答案为5.
②如图,Rt.AOB中,tan.ABO,
OB3
ZABO=30,
作AB的中垂线与y轴交于点E,连接EA,则.AEB二120,以E为圆心,EB为半径作圆,与抛物线对称轴交于点F、
G.贝U.AFB=.AGB=60,从而线段FG上的点满足题意,
AB
EB22_:
3_,
cos303
.OE=0B-EB=?
■■F(丄,t),EF2二EB2,
2
(1厂(t3)2
2
3
二(23亍,
33
解得t/39或士歿,
66
故f(1,-2--36--■39),g(1-,土
■t的取值范围
图1
6.如图,在「ACE中,CA=CE,.CAE二30,9经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.
(1)
(3)设点D是线段AC上任意一点
试说明CE是、0的切线;
(2)若.ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示、一0的直径AB;
1
(不含端点),连接0D,当—CD0D的最小值为6时,
2
求9的直径AB的长.
1,
CA=CE,.CAE二30,
ZE=/CAE=30,.COE=2A二60
..OCE=90,
.CE是、O的切线;
(2)过点C作CH_AB于H,连接OC,如图2,
r
图2
由题可得CH=h.
在Rt.QHC中,CH=OC、sinZCOH,
.h=OCQn60OC,
2
.OC
AB=2OC^4—.h
(3)作OF平分.AOC,交、O于F,连接AF、CF、DF,如图3,
贝y.AOF二.COF=1.AOC=1(180-60)二60°.22
OA=OF=OC,
.■:
AOF、COF是等边三角形,
.AF二AO=OC二FC,■四边形AOCF是菱形,
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