高考数学试题经典练一通百25数列求和及综合应用.docx
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高考数学试题经典练一通百25数列求和及综合应用
高考数学试题经典练一通百
考点25数列求和及综合应用
一、选择题
1.设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,…若b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=
,cn+1=
,则()
A、{Sn}为递减数列
B、{Sn}为递增数列
C、{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列
D、{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列
【解析】选B.因为,,,所以,
,注意到,所以.
于是中,边长为定值,另两边的长度之和为为定值.
因为,
所以,当时,有,即,于是的边的高随增大而增大,于是其面积为递增数列.
二、填空题
2.若数列的前项和,则的通项公式是_________
【解题指南】先利用S1=a1求出a1的值,再利用Sn-Sn-1=an求出通项公式an.
【解析】由,解得,又,所以,得,所以数列是首项为1,公比为的等比数列.故数列的通项公式
【答案】
3.
设为数列的前n项和,则
(1)_____;
(2)___________.
【解题指南】
(1)令,代入即可得到答案.
(2)通过整理可发现当当为偶数时有,于是代入第
(2)问的展开式即可得到答案.
【解析】
(1)因为,所以,①,
,即②,把②代入①得.
(2)因为当时,,整理得,所以,当为偶数时,,
当为奇数时,,所以,
所以,所以当为偶数时,,
所以
.
【答案】
(1)
(2)
4.已知是等差数列,,公差,为其前项和,若、、成等比数列,则
【解题指南】先根据、、成等比数列求出数列的公差,然后根据公式求出.
【解析】因为、、成等1比数列,所以,化简得
因为,所以,故
【答案】
三、解答题
5.已知函数
(
)若;
(
)设数列
【解析】(
),
令,即,解得或
若,则时,,所以.
若,则时,,,所以.
综上的最小值为.
(
)令,由(
)知,时,.
即.
取,则.
于是.
所以
6.在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.
(1)求d,an.
(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
【解题指南】
(1)由a1,2a2+2,5a3成等比数列可以求得a1与d的关系,进而可求得d与an.
(2)由d<0,先判断该数列从第几项开始大于零,从第几项开始小于零,再根据等差数列前n项和的性质求解.
【解析】
(1)由题意得,5a3·a1=(2a2+2)2,
d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以an=-n+11或an=4n+6.
(2)设数列{an}前n项和为Sn,
因为d<0,所以d=-1,an=-n+11,则
n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-n2+n;
n≥12时,|a1|+|a2|+…+|a11|+|a12|+…+|an|=a1+a2+…+a11-a12-…-an=S11-(Sn-S11)=-Sn+2S11=n2-n+110.
综上所述,|a1|+|a2|+…+|an|=
7.设数列满足:
,,.
(Ⅰ)求的通项公式及前项和;
(Ⅱ)已知是等差数列,为前项和,且,,求.
【解题指南】直接根据递推关系可求出数列的通项公式及前项和,再利用题目中所给条件求解.
【解析】(Ⅰ)由题设知是首项为公比为的等比数列,所以,
(Ⅱ)所以公差,
故.
8.给定常数c>0,定义函数f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.数列a1,a2,a3,…,满足an+1=f(an),n∈N*.
(1)若a1=-c-2,求a2及a3.
(2)求证:
对任意n∈N*,an+1-an≥c.
(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…,成等差数列?
若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.
【解析】
(1)a2=2,a3=c+10.
(2)f(x)=
当an≥-c时,an+1-an=c+8>c.
当-c-4≤an<-c时,an+1-an=2an+3c+8≥2(-c-4)+3c+8=c;
当an<-c-4时,an+1-an=-2an-c-8>-2(-c-4)-c-8=c;
所以,对任意n∈N*,an+1-an≥c.
(3)由
(2),结合c>0,得an+1>an,即{an}为无穷递增数列,
又{an}为等差数列,所以存在正数M,当n>M时,an>-c,
从而an+1=f(an)=an+c+8,
由于{an}为等差数列,因此其公差d=c+8.
①若a1<-c-4,则a2=f(a1)=-a1-c-8,
又a2=a1+d=a1+c+8,故-a1-c-8=a1+c+8,
即a1=-c-8,从而a2=0,
当n≥2时,由于{an}为递增数列,故an≥a2=0>-c,所以an+1=f(an)=an+c+8,
而a2=a1+c+8,故当a1=-c-8时,{an}为无穷等差数列,符合要求.
②若-c-4≤a1<-c,则a2=f(a1)=3a1+3c+8,
又a2=a1+d=a1+c+8,所以,3a1+3c+8=a1+c+8,得a1=-c,舍去.
③若a1≥-c,则由an≥a1得到an+1=f(an)=an+c+8,
从而{an}为无穷等差数列,符合要求.
综上a1的取值集合为{-c-8}∪[-c,+∞).
9.已知函数,无穷数列满足an+1=f(an),n∈N*
(1)若a1=0,求a2,a3,a4;
(2)若a1>0,且a1,a2,a3成等比数列,求a1的值.
(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an…成等差数列?
若存在,求出所有这样的a1;若不存在,说明理由.
【解析】
(1)a2=2,a3=0,a4=2.
(2)a2=2-|a1|=2-a1,a3=2-|a2|=2-|2-a1|.
①当0 所以=(2-a1)2,得a1=1. ②当a1>2时,a3=2-(a1-2)=4-a1, 所以a1(4-a1)=(2-a1)2, 得a1=2-(舍去)或a1=2+. 综合①②得a1=1或a1=2+. (3)假设这样的等差数列存在,那么a2=2-|a1|,a3=2-|2-|a1||. 由2a2=a1+a3得2-a1+|2-|a1||=2|a1|(*). 以下分情况讨论: ①当a1>2时,由(*)得a1=0,与a1>2矛盾; ②当0 从而an=1(n=1,2,…), 所以{an}是一个等差数列; ③当a1≤0时,则公差d=a2-a1=(a1+2)-a1=2>0, 因此存在m≥2使得am=a1+2(m-1)>2. 此时d=am+1-am=2-|am|-am<0,矛盾. 综合①②③可知,当且仅当a1=1时,a1,a2,a3,…,构成等差数列. 10.设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和。 记,,其中为实数。 (1)若,且成等比数列,证明: (); (2)若是等差数列,证明: 。 【解题指南】利用条件,且成等比数列,求出,再代入证明 (2)利用条件是等差数列建立与c有关方程。 【证明】由题设知,Sn=na+d. (1)若,得.又因为b1,b2,b4成等比数列,所以, 即: ,化简得d2-2ad=0.因为d≠0,所以d=2a. 因此,对于所有的m∈N*,有Sm=m2a. 从而对于所有的k,n∈N*,有Snk=(nk)2a=n2k2a=n2Sk. (2)设数列{bn}的公差是d1,则bn=b1+(n-1)d1,n∈N*, 代入Sn的表达式,整理得,对于所有的n∈N*,有+(b1-d1-a+d)n2+cd1n=c(d1-b1). 令A=d1-d,B=b1-d1-a+d,D=c(d1-b1),则对于所有的n∈N*,有An3+Bn2+cd1n=D. (*) 在(*)式中分别取n=1,2,3,4,得 A+B+cd1=8A+4B+2cd1=27A+9B+3cd1=64A+16B+4cd1, 从而有 由 (2)(3)得A=0,cd1=-5B,代入方程 (1),得B=0,从而cd1=0. 即d1-d=0,b1-d1-a+d=0,cd1=0. 若d1=0,则由d1-d=0,得d=0,与题设矛盾,所以d1≠0. 又因为cd1=0,所以c=0. 11.设为数列{}的前项和,已知,2,N (Ⅰ)求,,并求数列{}的通项公式; (Ⅱ)求数列{}的前项和。 【解题指南】(Ⅰ)本题是利用递推关系求数列的通项公式;(Ⅱ)根据第(Ⅰ)问可知应利用错位相减法求数列前n项和. 【解析】(Ⅰ)令,得,因为,所以, 令,得,解得。 当时,由 ,两式相减,整理得,于是数列是首项为1,公比为2的等比数列,所以,。 (Ⅱ)由( )知,记其前项和为,于是 ① ② 1-②得 从而 12.正项数列{an}的前n项和Sn满足: (1)求数列{an}的通项公式an. (2)令,数列{bn}的前n项和为Tn.证明: 对于任意,都有. 【解题指南】 (1)由题目中的等式求出,然后由求an; (2)化简,观察结构特征,选取求和的方法求Tn. 【解析】 (1)由得 由于是正项数列,所以.于是,当时,=,又因为符合上式.综上,数列的通项公式为. (2)因为,,所以. 则 . 13.正项数列{an}满足. (1)求数列{an}的通项公式an; (2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Tn. 【解题指南】借助二次三项式的因式分解来求,分析{bn}通项公式的特点选择正确的求和方法. 【解析】 (1)由,得.由于{an}是正项数列,所以. (2)由,bn=,则 所以. 14.已知等差数列的公差d=1,前n项和为Sn. (1)若1,a1,a3成等比数列,求a1. (2)若S5>a1a9,求a1的取值范围. 【解题指南】按等比中项列式,a3用通项表示,求出首项,第 (2)问,直接按基本量列式求解. 【解析】 (1)因为数列{an}的公差d=1,且1,a1,a3成等比数列,所以=1×(a1+2),即-a1-2=0,解得a1=-1或a1=2. (2)因为数列{an}的公差d=1,且S5>a1a9, 所以5a1+10>+8a1, 即+3a1-10<0,解得-5 15.设数列{}的前n项和为,已知,. (1)求的值; (2)求数列{}的通项公式; (3)证明: 对一切正整数,有. 【解题指南】本题以递推数列为背景,考查通项公式与前n项和的关系及不等式的证明,要注意转化思想、构造法、数学归纳法的应用.证明不等式的过程中,放缩的尺度要拿捏准确. 【解析】 (1)因为,在中令,可得; (2)由已知可得,即 ,则当时, , 可得,也就是,同除以可得,数列{}是公差为1的等差数列,且,所以,,显然也满足,即所求通项公式为. (3)当时,结论成立; 当时,结论成立; 当时,,则,即对一切,成立. 16.设各项均为正数的数列的前项和为,满足且构成等比数列. (1)证明: ; (2)求数列的通项公式; (3)证明: 对一切正整数,有. 【解题指南】本题以递推数列为背景,考查通项公式与前n项和的关系及不等式的证明,要注意转化思想、构造法、数学归纳法的应用.证明不等式的过程中,放缩的尺度要拿捏准确. 【解析】 (1)当时,,因为,所以; (2)当时,,,, 因为,所以,当时,是公差的等差数列. 因为构成等比数列,,,解得, 由 (1)可知,,又因为,则是首项,公差的等差数列.数列的通项公式为. (3) 17.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{bn}的前n项和Tn,且Tn+=(为常数),令cn=b2n,(n∈).求数列{cn}的前n项和Rn. 【解题指南】(Ⅰ)先设出等差数列的首项和公差,然后根据可列方程组求得数列的通项公式;(Ⅱ)先根据前n 项和与通项的关系求出的通项公式,由cn=b2n求出的通项,再利用错位相减法求出Rn. 【解析】(Ⅰ)设等差数列的首项为,公差为d, 由得 解得, 因此 (Ⅱ)由题意知, 所以时,= 故 所以, 则, 两式相减得 整理得, 所以数列的前n项和. 18.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列满足,求的前项和. 【解题指南】(Ⅰ)先设出等差数列的首项和公差,然后根据可列方程组求得数列的通项公式;(Ⅱ)先根据求出bn的通项公式,再利用错位相减法求出Tn. 【解析】(Ⅰ)设等差数列的首项为,公差为d, 由得 解得, 因此 (Ⅱ)由已知, 当时, 当时,, 所以, 由(Ⅰ)知, 所以, 又, , 两式相减得, , 所以. 19.设Sn表示数列的前n项和. (Ⅰ)若是等差数列,推导Sn的计算公式; (Ⅱ)若,且对所有正整数n,有.判断是否为等比数列,并证明你的结论. 【解题指南】倒序相加法推导等差数列的前n项和;利用推导的通项公式判断是否为等比数列. 【解析】(Ⅰ)设公差为d,则, . (Ⅱ)是等比数列.证明如下: 因为, 又因为,所以当n≥1时, 有 因此,是首项1,公比的等比数列. 20.已知等差数列的前项和满足,. (Ⅰ)求的通项公式; (Ⅱ)求数列的前项和. 【解题指南】(Ⅰ)利用,求出等差数列的首项及公差,利用求出的通项公式; (Ⅱ)将(Ⅰ)中的通项公式,代入到中,利用裂项相消法求前项和. 【解析】(Ⅰ)设数列的公差为,则. 由已知可得解得 故的通项公式为. (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 从而数列的前项和为
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