七年级上册数学 第四单元 一元一次方程应用题.docx
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七年级上册数学 第四单元 一元一次方程应用题.docx
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七年级上册数学第四单元一元一次方程应用题
七年级上册数学第四单元一元一次方程应用题
知识点1:
数字问题
(1)要搞清楚数的表示方法:
一个三位数的百位数字为a,十位数字是b,个位数字为c(其中a、b、c均为整数,且1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9)则这个三位数表示为:
100a+10b+c(百位数字a·100+十位数字b·10+个位数字c)。
然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。
(2)数字问题中一些表示:
两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;偶数用2n表示,连续的偶数用2n+2或2n—2表示;奇数用2n+1或2n—1表示。
例1.一个三位数,三个数位上的数字之和是17,百位上的数比十位上的数大7,个位上的数是十位上的数的3倍,求这个三位数。
[分析]由已知条件给出了百位、个位与十位上的数的关系,若设十位上的数为x,则百位上的数为x+7,个位上的数是3x,等量关系为三个数位上的数字和为17。
解:
设这个三位数十位上的数为X,则百位上的数为x+7,个位上的数是3x
x+x+7+3x=17解得x=2x+7=9,3x=6
答:
这个三位数是926
练习:
1.一个两位数,个位上的数是十位上的数的2倍,如果把十位与个位上的数对调,那么所得的两位数比原两位数大36,求原来的两位数。
2.有一个两个位数,两个数位上的数字之和是9,如果把个位数字与十位数字对调,那么所得的两位数比原来的两位数大63.求原来的两位数。
知识点2:
若干应用问题等量关系的规律
(1)和、差、倍、分问题此类题既可表示运算关系,又可表示相等关系,要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义,如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等,它们能指导我们正确地列出代数式或方程式。
增长量=原有量×增长率现在量=原有量+增长量
(2)等积变形问题
常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但体积不变.
①圆柱体的体积公式V=底面积×高=S·h=πr2h
②长方体的体积V=长×宽×高=abc
例1.兄弟两人今年分别为15岁和9岁,多少年后(或前)兄的年龄是弟的年龄的2倍。
解:
设弟的年龄为x岁,根据题意得15+x=2(9+x),解得x=-3
答:
3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍。
例2:
一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米,300毫米和80•毫米的长方体铁盒中的水,倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中,正好倒满,求圆柱形水桶的高(精确到0.1毫米,π≈3.14)。
解:
设圆柱形水桶的高为x毫米,依题意,得
Π·(2002)x=300×300×80
x≈229.32答:
圆柱形水桶的高约为229.3毫米。
例3.甲车队有50辆汽车,乙车队有41辆汽车,如果要使乙车队汽车比甲车队汽车的辆数的2倍还多1辆,应从甲车队调多少辆车到乙队?
解:
设应从甲车队调x辆车到乙队,依题意,得
41+x=2(50-x)+1,
解得x=20辆
答:
应从甲车队调20少辆车到乙队。
练习:
1.在日历上,爷爷生日那天的上、下、左、右4个日期数的和为80,你能说出爷爷的生日是几号吗?
2.甲乙两桶内共有水48千克,如果甲桶给乙桶加水一倍,然后乙桶又给甲桶加甲桶剩余水的一倍,这时两桶内水的质量相等,那么原来甲乙两桶各有多少千克水?
解:
设甲桶水最初为x千克,则乙桶48-x千克,
第一步之后,甲桶剩水x-(48-x)=2x-48,乙桶剩水2(48-x)
第二步之后,甲桶剩水2(2x-48),乙桶剩水2(48-x)-(2x-48)=144-4x,
则可得方程4x-96=144-4x,解得x=30,故甲桶原有30千克水,乙桶原有18千克水。
设原来甲桶有x千克水,乙桶有48-x千克水
2[x-(48-x)]=2(48-x)-[x-(48-x)]
2x-96+2x=96-2x-x+48-x
4x-96=144-4x
4x+4x=144+96
8x=240
x=30
乙桶有水48-30=18千克
答:
原来甲桶有30千克水,乙桶有18千克水
4.长方体甲的长、宽、高分别为260mm,150mm,325mm,长方体乙的底面积为130×130mm,又知甲的体积是乙的体积的2.5倍,求乙的高?
知识点3:
行程问题
基本量之间的关系:
路程=速度×时间时间=路程÷速度速度=路程÷时间
(1)相遇问题快行距+慢行距=原距
(2)追及问题快行距-慢行距=原距
(3)航行问题顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度
逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度
抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系.
例1.甲、乙两站相距480公里,一列慢车从甲站开出,每小时行90公里,一列快车从乙站开出,每小时行140公里。
(1)慢车先开出1小时,快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇?
(2)两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距600公里?
(3)两车同时开出,慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相距600公里?
(4)两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车?
(5)慢车开出1小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出后多少小时追上慢车?
此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义,弄清行驶过程。
故可结合图形分析。
练习:
1.甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行,甲的速度为5千米/小时,乙的速度为3千米/小时,甲带着一只狗,当甲追乙时,狗先追上乙,再返回遇上甲,再返回追上乙,依次反复,直至甲追上乙为止,已知狗的速度为15千米/小时,求此过程中,狗跑的总路程是多少?
[分析]]追及问题,不能直接求出狗的总路程,但间接的问题转化成甲乙两人的追击问题。
狗跑的总路程=它的速度×时间,而它用的总时间就是甲追上乙的时间
解:
设甲用X小时追上乙,根据题意列方程
5X=3X+5 解得X=2.5,狗的总路程:
15×2.5=37.5
答:
狗的总路程是37.5千米。
2.已知甲、乙两地相距120千米,乙的速度比甲每小时快1千米,甲先从A地出发2小时后,乙从B地出发,与甲相向而行经过10小时后相遇,求甲乙的速度?
解:
设甲的速度为X千米/小时,乙的速度为X+1千米/小时
(2+10)X+10(X+1)=120
12X+10X+10=120
22X=110
X=5
乙速度X+1=6千米/小时
3.有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥,过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒,又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米,试求各铁桥的长。
解:
设第一铁桥的长为x米,那么第二铁桥的长为(2x-50)米,过完第一铁桥所需的时间为
分.
过完第二铁桥所需的时间为
分.
依题意,可列出方程
+
=
解方程x+50=2x-50
得x=100
∴2x-50=2×100-50=150
答:
第一铁桥长100米,第二铁桥长150米
例2.某船从A地顺流而下到达B地,然后逆流返回,到达A、B两地之间的C地,一共航行了7小时,已知此船在静水中的速度为8千米/时,水流速度为2千米/时。
A、C两地之间的路程为10千米,求A、B两地之间的路程。
[分析]这典型的行船问题,这类问题中要弄清:
(1)顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度
(2)逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度
本题中相等关系为:
顺流航行的时间+逆流航行灯时间=7小时。
练习:
1.一队学生去军事训练,走到半路,队长有事要从队头通知到队尾,通讯员以18米/分的速度从队头至队尾又返回,已知队伍的行进速度为14米/分。
问:
①若已知队长320米,则通讯员几分钟返回?
②若已知通讯员用了25分钟,则队长为多少米?
2.一架飞机在两个城市之间飞行,风速为24千米/小时,顺风飞行需要2小时50分,逆风飞行需要3小时,求两个城市之间的飞行路程?
解:
设飞机时速为X千米/小时,
17/6*(X+24)=3*(X-24)
解得X=840
则3*(840-24)=2448
答:
飞机时速为840千米/时,两城市间距离为2448千米
3.一轮船在甲、乙两码头之间航行,顺水航行需要4小时,逆水航行需要5小时,水流的速度为2千米/时,求甲、乙两码头之间的距离。
解:
设甲乙两地距离为x千米
x/4-2=x/5+2
5x-40=4x+40
5x-4x=40+40
x=80
答:
甲乙两码头之间的距离为80千米
知识点4:
工程问题
工作量=工作效率×工作时间工作效率=工作量÷工作时间
工作时间=工作量÷工作效率完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1
例1.一件工作,甲独作10天完成,乙独作8天完成,两人合作几天完成?
[分析]甲独作10天完成,说明的他的工作效率是1/10,乙的工作效率是,1/8
等量关系是:
甲乙合作的效率×合作的时间=1
解:
设合作X天完成,依题意得方程(1/10+1/8)x=1
解得x=40/9答:
两人合作40/9天完成
例2.一件工程,甲独做需15天完成,乙独做需12天完成,现先由甲、乙合作3天后,甲有其他任务,剩下工程由乙单独完成,问乙还要几天才能完成全部工程?
[分析]设工程总量为单位1,等量关系为:
甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。
解:
设乙还需x天完成全部工程,设工作总量为单位1,由题意得,
(1/15+1/12)*3+x/12=1解之得x==33/5=6.6
答:
乙还需7天才能完成全部工程。
例3.一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管,单独开甲管6小时可注满水池;单独开乙管8小时可注满水池,单独开丙管9小时可将满池水排空,若先将甲、乙管同时开放2小时,然后打开丙管,问打开丙管后几小时可注满水池?
[分析]等量关系为:
甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。
解:
设打开丙管后x小时可注满水池,
由题意得,(1/6+1/8)(x+2)-(1/9)x=1x=30/13
答:
打开丙管后30/13小时可注满水池
练习:
1.一批工业最新动态信息输入管理储存网络,甲独做需6小时,乙独做需4小时,甲先做30分钟,然后甲、乙一起做,则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作?
解:
设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作.
根据题意,得
×
+(
+
)x=1
解这个方程,得x=
=2小时12分
答:
甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作.
2.某车间有16名工人,每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个.在这16名工人中,一部分人加工甲种零件,其余的加工乙种零件.•已知每加工一个甲种零件可获利16元,每加工一个乙种零件可获利24元.若此车间一共获利1440元,•求这一天有几个工人加工甲种零件。
解:
设这一天有x名工人加工甲种零件,
则这天加工甲种零件有5x个,乙种零件有4(16-x)个.
根据题意,得16×5x+24×4(16-x)=1440
解得x=6
答:
这一天有6名工人加工甲种零件。
3.一项工程甲单独做需要10天,乙需要12天,丙单独做需要15天,甲、丙先做3天后,甲因事离去,乙参与工作,问还需几天完成?
解:
设还需要x天
(1/10+1/15)*3+(1/12+1/15)x=1
1/2+3/20*x=1
3/20*x=1/2
x=1/2*20/3
x=10/3
答:
还需要10/3天
知识点5:
市场经济、打折销售问题
(1)商品利润=商品售价-商品成本价
(2)商品利润率=商品利润×100%/商品成本价
(3)商品销售额=商品销售价×商品销售量(4)商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量
(5)商品打几折出售,就是按原价的百分之几十出售,如商品打8折出售,即按原价的80%出售。
例1.某商店开张,为了吸引顾客,所有商品一律按八折优惠出售,已知某种皮鞋进价60元一双,八折出售后商家获利润率为40%,问这种皮鞋标价是多少元?
优惠价是多少元?
[分析]等量关系:
商品利润率=商品利润/商品进价
解1:
60×(1+40%)=84(元)
84÷8/10=105(元)
答:
这种皮鞋标价是105元,优惠价是84元
用一元一次方程解:
解:
这种皮鞋标价是x元
8/10x=60×(1+40%)
解得:
x=105
105×8/10=84(元)
答:
这种皮鞋标价是105元,优惠价是84元
例2.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的进价是多少?
[分析]探究题目中隐含的条件是关键,可直接设出成本为X元
进价
折扣率
标价
优惠价
利润
X元
8折
(1+40%)X元
80%(1+40%)X
15元
等量关系:
(利润=折扣后价格—进价)折扣后价格-进价=15
解:
设进价为X元,80%X(1+40%)-X=15,X=125
答:
进价是125元。
练习:
1.一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价,又以八折优惠卖出,结果每辆仍获利50元,这种自行车每辆的进价是多少元?
若设这种自行车每辆的进价是x元,那么所列方程为()
A.45%×(1+80%)x-x=50B.80%×(1+45%)x-x=50
C.x-80%×(1+45%)x=50D.80%×(1-45%)x-x=50
解:
设这种自行车每辆的进价是x元,
80%×(1+45%)x-x=50.
故选B.
2.某商品的进价为800元,出售时标价为1200元,后来由于该商品积压,商店准备打折出售,但要保持利润率不低于5%,则至多打几折。
解:
设至多打x折
1200x≥800×﹙1+5%﹚
x≥0.7=70%=七折
答:
该商品打7折销售。
3.一家商店将某种型号的彩电先按原售价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”。
经顾客投拆后,拆法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款,求每台彩电的原售价。
解:
设每台彩电的原价格是x元,
则有:
10×[(1+40%)x×0.8-x]=2700,
解得:
x=2250,
答:
每台彩电的原价为2250元.
知识点6储蓄、储蓄利息问题
(1)顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率。
利息的20%付利息税
(2)利息=本金×利率×期数本息和=本金+利息利息税=利息×税率(20%)
(3)利润=每个期数内的利息/本金×100%
例1.某同学把250元钱存入银行,整存整取,存期为半年。
半年后共得本息和252.7元,求银行半年期的年利率是多少?
(不计利息税)
[分析]等量关系:
本息和=本金×(1+利率)
解:
设半年期的实际利率为X,依题意得方程250(1+X)=252.7,解得X=0.0108
所以年利率为0.0108×2=0.0216
答:
银行的年利率是21.6%
例2.为了准备6年后小明上大学的学费20000元,他的父亲现在就参加了教育储蓄,下面有三种教育储蓄方式:
1)直接存入一个6年期;
2)先存入一个三年期,3年后将本息和自动转存一个三年期;
3)先存入一个一年期的,后将本息和自动转存下一个一年期;你认为哪种教育储蓄方式开始存入的本金比较少?
[分析]这种比较几种方案哪种合理的题目,我们可以分别计算出每种教育储蓄的本金是多少,再进行比较。
解:
(1)设存入一个6年的本金是X元,依题意得方程X(1+6×2.88%)=20000,解得X=17053
(2)设存入两个三年期开始的本金为Y元,Y(1+2.7%×3)(1+2.7%×3)=20000,X=17115
(3)设存入一年期本金为Z元,Z(1+2.25%)=20000,Z=17894
所以存入一个6年期的本金最少。
练习
1、小刚的爸爸前年买了某公司的二年期债券4500元,今年到期,扣除利息税后,共得本利和约4700元,问这种债券的年利率是多少(精确到0.01%)。
解:
设这种债券的年利率为x,由题意得:
4500+2×4500x=4700,
解得:
x≈2.34%.
答:
这种债券的年利率是2.34%.
2.(北京海淀区)白云商场购进某种商品的进价是每件8元,销售价是每件10元(销售价与进价的差价2元就是卖出一件商品所获得的利润).现为了扩大销售量,把每件的销售价降低x%出售,但要求卖出一件商品所获得的利润是降价前所获得的利润的90%,则x应等于()。
A.1B.1.8C.2D.10
分析:
利润=售价-进价,因为每件的销售价降低x%出售,所以售价是10(1-x%),进价是8元,且卖出一件商品所获得的利润是降价前所获得的利润的90%,可列方程.
解答:
解:
因为每件的销售价降低x%出售,卖出一件商品所获得的利润是降价前所获得的利润的90%.
10(1-x%)-8=0.9(10-8)
故选A.
3.用若干元人民币购买了一种年利率为10%的一年期债券,到期后他取出本金的一半用作购物,剩下的一半和所得的利息又全部买了这种一年期债券(利率不变),到期后得本息和1320元。
问张叔叔当初购买这咱债券花了多少元?
解:
设本金为x建立方程式
即:
x×(1+10%)-0.5x=1320÷(1+10%)
解得:
x=2000,
故小张购买这种债券花了2000元
知识点7:
方案选择问题
例1.某蔬菜公司的一种绿色蔬菜,若在市场上直接销售,每吨利润为1000元,经粗加工后销售,每吨利润可达4500元,经精加工后销售,每吨利润涨至7500元,当地一家公司收购这种蔬菜140吨,该公司的加工生产能力是:
如果对蔬菜进行粗加工,每天可加工16吨,如果进行精加工,每天可加工6吨,但两种加工方式不能同时进行,受季度等条件限制,公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕,为此公司研制了三种可行方案:
方案一:
将蔬菜全部进行粗加工。
方案二:
尽可能多地对蔬菜进行粗加工,没来得及进行加工的蔬菜,在市场上直接销售。
方案三:
将部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好15天完成。
你认为哪种方案获利最多?
为什么?
例2.某市移动通讯公司开设了两种通讯业务:
“全球通”使用者先缴50元月基础费,然后每通话1分钟,再付电话费0.2元;“神州行”不缴月基础费,每通话1分钟需付话费0.4元(这里均指市内电话)。
若一个月内通话x分钟,两种通话方式的费用分别为y1元和y2元。
(1)写出y1,y2与x之间的函数关系式(即等式).
(2)一个月内通话多少分钟,两种通话方式的费用相同?
(3)若某人预计一个月内使用话费120元,则应选择哪一种通话方式较合算?
解:
(1)y1=0.2x+50,y2=0.4x.
(2)由y1=y2得0.2x+50=0.4x,解得x=250.
即当一个月内通话250分钟时,两种通话方式的费用相同。
(3)由0.2x+50=120,解得x=350由0.4x+50=120,得x=300
因为350>300故第一种通话方式比较合算.
练习:
1.某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机.已知该厂家生产3种不同型号的电视机,出厂价分别为A种每台1500元,B种每台2100元,C种每台2500元。
(1)若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台,用去9万元,请你研究一下商场的进货方案。
(2)若商场销售一台A种电视机可获利150元,销售一台B种电视机可获利200元,销售一台C种电视机可获利250元,在同时购进两种不同型号的电视机方案中,为了使销售时获利最多,你选择哪种方案?
试题分析:
(1)因为要购进两种不同型号电视机,可供选择的有3种,那么将有三种情况:
AB组合,AC组合,BC组合;等量关系为:
台数相加=50,钱数相加=90000;
(2)算出各方案的利润加以比较.
(1)解分三种情况计算:
①设购A种电视机x台,B种电视机y台
②设购A种电视机x台,C种电视机z台
③设购B种电视机y台,C种电视机z台
(2)方案一:
25×150+25×200=8750.
方案二:
35×150+15×250=9000元.
答:
购A种电视机25台,B种电视机25台;或购A种电视机35台,C种电视机15台.
购买A种电视机35台,C种电视机15台获利最多.
2.某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元,若每月用电量超过a千瓦时,则超过部分按基本电价的70%收费。
(1)某户八月份用电84千瓦时,共交电费30.72元,求a.
(2)若该用户九月份的平均电费为0.36元,则九月份共用电多少千瓦时?
应交电费是多少元?
分析:
(1)根据题中所给的关系,找到等量关系,共交电费是不变的,然后列出方程求出a;
(2)先设九月份共用电x千瓦时,从中找到等量关系,共交电费是不变的,然后列出方程求出x.
解答:
解:
(1)由题意,得
0.4a+(84-a)×0.40×70%=30.72
解得a=60
(2)设九月份共用电x千瓦时,则
0.40×60+(x-60)×0.40×70%=0.36x
解得x=90
所以0.36×90=32.40(元)
答:
九月份共用电90千瓦时,应交电费32.40元.
一元一次方程课的资料
一、方程的有关概念
1.方程:
含有未知数的等式就叫做方程.
2.一元一次方程:
只含有一个未知数(元)x,未知数x的指数都是1(次),这样的方程叫做一元一次方程.例如:
1700+50x=1800,2(x+1.5x)=5等都是一元一次方程.
3.方程的解:
使方程中等号左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解.
注:
⑴方程的解和解方程是不同的概念,方程的解实质上是求得的结果,它是一个数值(或几个数值),而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.⑵方程的解的检验方法,首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值,其次比较两边的值是否相等从而得出结论.
二、等式的性质
等式的性质
(1):
等式两边都加上(或减去)同个数(或式子),结果仍相等.
等式的性质
(1)用式子形式表示为:
如果a=b,那么a±c=b±c
等式的性质
(2):
等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等,等式的性质
(2)用式子形式表示为:
如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(c≠0),那么ca=cb
三、移项法则:
把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项.
四、去括号法则
1.括号外的因数是正数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.
2.括号外的因数是负数,去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变.
五、解方程的一般步骤
1.去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)
2.去括号(按去括号法则和分配律)
3.移项(把含有未知数的项移到方程一边,其他项都移到方程的另一边,移项要变号)
4.合并(把方程化成ax=b(a≠0)形式)
5.系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=a(b).
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- 七年级上册数学 第四单元 一元一次方程应用题 年级 上册 数学 第四 单元 一元一次方程 应用题