第3章34342函数模型及其应用.docx
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第3章34342函数模型及其应用
第3章指数函数、对数函数和幂函数
3.4函数的应用
3.4.2函数模型及其应用
A级 基础巩固
1.某新款电视投放市场后第一个月销售了100台,第二个月销售了200台,第三个月销售了400台,第四个月销售了790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4,x∈N*)之间关系的是( )
A.y=100xB.y=50x2-50x+100
C.y=50×2xD.y=100x
解析:
将题目中的数据代入各函数中,易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应.
答案:
C
2.某学校开展研究性学习活动,一名同学获得了下面的一组试验数据:
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )
A.y=2x-2B.y=
C.y=log2xD.y=
(x2-1)
解析:
代入点(2,1.5),(5,12)检验知选D.
答案:
D
3.某商场的某款手机的价格不断降低,若每隔半年其价格降低
,则现在价格为2560元的该款手机,两年后价格可降为( )
A.1440元B.900元
C.1040元D.810元
解析:
两年后的价格为2560×
=810(元).
答案:
D
4.已知某工厂去年12月份的产量是1月份产量的7倍,那么该工厂去年产量的月平均增长率是________.
解析:
设1月份的产量为a,则12月份的产量为7a,
所以a·(1+x)11=7a,解得x=
-1.
答案:
-1
5.如果本金为a,每期利率为r,按复利计算,本利和为y,则存x期后,y与x之间的函数关系是____________________________.
解析:
1期后y=a+ar=a(1+r);
2期后y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2;
……
归纳可得x期后y=a(1+r)x.
答案:
y=a(1+r)x
6.一批设备价值a万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低b%,n年后这批设备的价值为________万元.
解析:
1年后价值为:
a-ab%=a(1-b%),2年后价值为:
a(1-b%)-a(1-b%)·b%=a(1-b%)2,
所以n年后价值为:
a(1-b%)n.
答案:
a(1-b%)n
7.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率R(单位:
cm3/s)与管道半径r(单位:
cm)的四次方成正比.若气体在半径为3cm的管道中,流量速率为400cm3/s,则该气体通过半径为r的管道时,其流量速度R的解析式为________.
解析:
由题意可设R=kr4(k>0),
由r=3,R=400,可得k=
=
,
则流量速率R的解析式为:
R=
r4.
答案:
R=
r4
8.为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表:
每户每月用水量
水价
不超过12m3的部分
3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分
6元/m3
超过18m3的部分
9元/m3
若某户居民本月交纳的水费为48元,则此户居民本月用水量为________m3.
解析:
设每户每月用水量为x,水价为y元,则
y=
即y=
所以48=6x-36.所以x=14.
答案:
14
9.国家收购某种农产品的价格是120元/担,其中征税标准为每100元征8元(叫作税率为8个百分点,即8%),计划收购m万担,为了减轻农民负担,决定税率降低x个百分点,预计收购量可增加2x个百分点.
(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式;
(2)要使此项税收在税率调整后,不低于原计划的78%,试确定x的范围.
解:
(1)y=120×m·[1+(2x)%]×(8%-x%)=-0.024m(x2+42x-400)(0 (2)由题可知,-0.024m(x2+42x-400)≥120×m·8%×78%, 即x2+42x-88≤0,(x+44)(x-2)≤0, 解得-44≤x≤2.又因为0 10.如图所示,有一条双向公路隧道,其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成,隧道的最大高度为4.9m,AB=10m,BC=2.4m.现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中,若有一辆高为4m,宽为2m的装有集装箱的汽车要通过隧道.问: 如果不考虑其他因素,汽车的右侧离开隧道右壁至少多少米才不至于碰到隧道顶部(抛物线部分为隧道顶部,AO,BC为壁)? 解: 由已知条件分析,得知抛物线顶点坐标为(5,2.5),点C的坐标为(10,0), 所以设抛物线的解析式为y=a(x-5)2+2.5.① 把(10,0)代入①得0=a(10-5)2+2.5, 解得a=- ,y=- (x-5)2+2.5. 当y=4-2.4=1.6时,1.6=- (x-5)2+2.5, 即(x-5)2=9,解得x1=8,x2=2. 显然,x2=2不符合题意,舍去,所以x=8. OC-x=10-8=2. 故汽车应离开右壁至少2m才不至于碰到隧道顶部. 11.为了夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建隔热层,某栋建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本6万元,该建筑物每年的能源消耗费用C(单位: 万元)与隔热层厚度x(单位: cm)满足关系C(x)= (0≤x≤10).若不建隔热层,每年能源消耗费8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和,求k的值及f(x)的表达式. 解: 设隔热层厚度为xcm,由题设,每年能源消耗费用为C(x)= , 再由C(0)=8得k=40, 因此C(x)= ,而建造费为6x, 故f(x)=20×C(x)+6x= +6x(0≤x≤10). 12.小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时,得到了下列一组数据: x/月 2 3 4 5 6 … y/元 1.40 2.56 5.31 11.00 21.30 … 小明选择了模型y=x ,他的同学却认为模型y= 更合适. (1)你认为谁选择的模型较好? 并简单说明理由. (2)试用你认为较好的函数模型来分析,大约在几月份小学生的平均零花钱会超过100元? (参考数据lg2=0.3010,lg3=0.4771) 解: (1)根据表格提供的数据,画出散点图,并画出函数y=x 及y= 的图象,如图所示.观察发现,这些点基本上落在函数y= 的图象上或附近,因此用函数模型y= 较好. (2)当 =100时,2x=300, 所以x=log2300= = ≈8.23. 故大约在9月份小学生的平均零花钱会超过100元. B级 能力提升 13.据报道,某淡水湖的湖水在50年内减少了10%,若按此规律,设2011年的湖水量为m,从2011年起,经过x年后湖水量y与x的函数关系为( ) A.y=0.9 B.y=(1-0.1 )m C.y=0.9 mD.y=(1-0.150x)m 解析: 设每年湖水量为上一年的q%,则(q%)50=0.9. 所以q%=0.9 ,即x年后的湖水量为0.9 m. 答案: C 14.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位: 分钟)为f(x)= (A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30min,组装第A件产品用时15min,那么c和A的值分别是( ) A.75,25B.75,16C.60,25D.60,16 解析: 由题意知,组装第A件产品所需时间为 =15, 故组装第4件产品所需时间为 =30,解得c=60. 将c=60代入 =15,得A=16. 答案: D 15.有一种树木栽植五年后可成材,在栽植后五年内,木材年增长率为20%,如果不砍伐,从第六年到第十年,年增长率为10%,现有两种砍伐方案: 甲方案,栽植五年后不砍伐,等到十年后砍伐; 乙方案,栽植五年后砍伐重栽,过五年再砍伐一次. 则十年后,________方案可以得到较多的木材(不考虑最初的树苗的成本,只按成材的树木计算). 解析: 设树林最初栽植量为a,甲方案在10年后木材产量为y1=a(1+20%)5(1+10%)5=a(1.2×1.1)5≈4.01a, 乙方案在10年后木材产量为y2=2a(1+20%)5=2a·1.25≈4.98a. y1-y2=4.01a-4.98a<0, 所以乙方案能获得较多的木材. 答案: 乙 16.某地区上年度电价为0.8元/(kW·h),年用电量为akW·h,本年度计划将电价下降到0.55元/(kW·h)至0.75元/(kW·h)之间,而用户期望电价为0.4元/(kW·h).经测算,下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区的电力成本价为0.3元/(kW·h). (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式[注: 收益=实际电量×(实际电价-成本价)]; (2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时,仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%? 解: (1)设下调后的电价为x元/(kW·h),依题意知用电量增至 +a(kW·h).电力部门的收益为: y= (x-0.3),0.55≤x≤0.75. (2)依题意有 (x-0.3)≥[a(0.8-0.3)]×(1+20%)且0.55≤x≤0.75. 整理得 ⇒0.60≤x≤0.75,即当电价最低定为0.60元/(kW·h)时,仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%. 17.声强级Y(单位: 分贝)由公式Y=10lg 给出,其中I为声强(单位: W/m2). (1)平时常人交谈时的声强约为10-6W/m2,求其声强级; (2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝,求能听到的最低声强为多少; (3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝,已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10-7W/m2,这两位同学是否会影响其他同学休息? 解: (1)当I=10-6W/m2时,代入公式得 Y=10lg =10lg106=60. 即声强级为60分贝. (2)当Y=0时,即为10lg =0,所以 =1. I=10-12W/m2,则能听到的最低声强为10-12W/m2. (3)当声强I=5×10-7W/m2时, 声强级Y=10lg =10lg(5×105)=50+10lg5>50, 所以这两位同学会影响其他同学休息. 18.为了预防甲型H1N1流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比,药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y= (a为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题: (1)从药物释放开始,求每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数解析式; (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室? 解: (1)从图中可以看出线段的端点分别为(0,0),(0.1,1), 所以在t∈[0,0.1]时,表达式为y=10t. 因为点(0.1,1)也在y= 上, 所以a=0.1. 所以当t≥0.1时,y= . 所以函数解析式y= (2)依题意,如果学生进入教室,则有y<0.25. 所以 < ,即 < . 又因为y= 是减函数, 所以2t-0.2>1.所以t>0.6. 因此至少要经过0.6小时后,学生才能回到教室.
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- 34342 函数 模型 及其 应用