初中几何反证法专题编辑.docx
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初中几何反证法专题编辑
初中几何反证法专题
学习要求
了解反证法的意义,懂得什么是反证法。
理解反证法的基本思路,并掌握反证法的一般证题步骤。
知识讲解
对于一个几何命题,当用直接证法比较困难时,则可采用间接证法,反证法就是一种间接证法,它不是直接去证明命题的结论成立,而是去证明命题结论的反面不能成立。
从而推出命题的结论必然成立,它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径,掌握这种方法,对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。
下面我们对反证法作一个简单介绍。
1.反证法的概念:
不直接从题设推出结论,而是从命题结论的反面出发,引出矛盾,从而证明命题成立,这样的证明方法叫做反证法。
2.反证法的基本思路:
首先假设所要证明的结论不成立,然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理,直至得出一个矛盾的结论来,并据此否定原先的假设,从而确认所要证明的结论成立。
这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾,或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾,还可以是与日常生活中的事实相矛盾,甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾(即自相矛盾)。
3.反证法的一般步骤:
(1)假设命题的结论不成立;
(2)从这个假设出发,经过推理论证得出矛盾;
(3)由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确
简而言之就是“反设-归谬-结论”三步曲。
例题:
例1.已知:
AB、CD是⊙O内非直径的两弦(如图1),求证AB与CD不能互相平分。
证明:
假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非⊙O直径,可判定M不是圆心O,连结OA、OB、OM。
∵OA=OB,M是AB中点
(1)
∴OM⊥AB (等腰三角形底边上的中线垂直于底边)
同理可得:
OM⊥CD,从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM
这与已知的定理相矛盾。
故AB与CD不能互相平分。
例2.已知:
在四边形ABCD中,M、N分别是AB、DC的中点,且MN=
(AD+BC)。
求证:
AD∥BC
(2)
证明:
假设AD
BC,连结ABD,并设P是BD的中点,再连结MP、PN。
在△ABD中
∵BM=MA,BP=PD
∴MP
AD,同理可证PN
BC
从而MP+PN=
(AD+BC) ①
这时,BD的中点不在MN上
若不然,则由MN∥AD,MN∥BC,得AD∥BC与假设AD
BC矛盾,
于是M、P、N三点不共线。
从而MP+PN>MN ②
由①、②得
(AD+BC)>MN,这与已知条件MN=
(AD+BC)
相矛盾,
故假设AD
BC不成立,所以AD∥BC。
课堂练习
1.求证:
三角形中至少有一个角不大于60°。
2.求证:
一直线的垂线与斜线必相交。
已知:
设m,n分别为直线l的垂线和斜线(如图),垂足为A,斜足为B。
求证:
m和n必相交。
3.在△ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE相交于H,求证:
AD与BE不能被点H互相平分。
4.
求证:
直线与圆最多只有两个交点。
5.求证:
等腰三角形的底角必为锐角。
已知:
△ABC中,AB=AC,求证:
∠B、∠C必为锐角。
参考答案:
1.证明:
假设△ABC中的∠A、∠B、∠C都大于60°
则∠A+∠B+∠C>3×60°=180°
这与三角形内角和定义矛盾,所以假设不能成立。
故三角形中至少有一个角不大于60°。
2.证明:
假设m和n不相交则
m∥n
∵m⊥l∴n⊥l
这与n是l的斜线相矛盾,所以假设不能成立。
故m和n必相交。
3.证明:
假设AD、BE被交点H互相平分,则ABDE是平行四边形。
∴AE∥BD,即AC∥BC
这与AC、BC相交于C点矛盾,
故假设AD、BE被交点H平分不能成立。
所以AD与BE不能被点H互相平分。
4.证明:
假设一直线l与⊙O有三个不同的交点A、B、C,
M、N分别是弦AB、BC的中点。
∵OA=OB=OC
∴在等腰△OAB和△OBC中
OM⊥AB,ON⊥BC
从而过O点有两条直线都垂直于l,这是不可能的,故假设不能成立。
因此直线与圆最多只有两个交点。
5.证明:
假设∠B、∠C不是锐角,
则可能有两种情况:
(1)∠B=∠C=90°
(2)∠B=∠C>90°
若∠B=∠C=90°,则∠A+∠B+∠C>180°,
这与三角形内角和定理矛盾。
若∠B=∠C>90°,则∠A+∠B+∠C>180°,
这与三角形内角和定理矛盾。
所以假设不能成立。
故∠B、∠C必为锐角。
本讲小结
对于一个几何命题,当用直接法证比较困难或甚至不能证明时,则可采用简接证法,反证法就是一种最常见的间接证明方法、掌握并运用好这种方法,对思维能力的提高大有裨益。
所谓反证法,就是先假设命题的结论不成立,从结论的反面入手,进行正确的逻辑推理,导致结果与已知学过的公理、定理,从而得出结论的反面不成立,于是原结论成立。
反证法证题的一般步骤是:
(1)反设:
将结论的反面作为假设;
(2)归谬:
由“反设”出发,利用已学过的公理、定理,推出与已知矛盾的结果;
(3)结论:
由推出的矛盾判断“反设”错误,从而肯定命题的结论正确。
运用“反证法”的关键:
反证法的主要手段是从求证的结论的反面出发,导出矛盾的结果,因此,如何导出矛盾,就成了使用反证法的关键。
“反证法”宜用于证明否定性命题、唯一性命题、“至少”“至多”命题和某些逆命题等,一般地说“正难则反”凡是直接法很难证明的命题都可考虑用反证法。
课后作业
1.求证:
在平面上,不存在这样的凸四边形ABCD,使△ABC、△BCD、△CDA、△DAB都是锐角三角形。
2.在△ABC中,AB=AC,P是内部一点且∠APB>∠APC,求证:
PB<PC。
3.求证:
在一个三角形中,至少有一个内角大于或者等于60°。
4.求证:
在△ABC的BC边上任取一点D、AC边上任意取一点E,连结AD、BE,则AD和BE必定不能互相平分。
5.已知△ABC为不等边三角形,AD⊥BC于D点,求证:
D点到AB、AC边的距离必不相等。
参考答案:
1.证明:
假设存在凸四边形ABCD,
使△ABC、△BCD、△CDA、△DAB都是锐角三角形。
则∠A+∠B+∠C+∠D<360°。
这与四边形ABCD中
∠A+∠B+∠C+∠D=360°矛盾。
故假设不能成立,所以原命题成立。
2.证明:
假设PB
PC,即PB>PC或PB=PC
(1)当PB>PC时 (如图)
在△PBC中,可得<PCB>∠PBC
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB,从而∠ABP>∠ACP ①
在△BAP与△CAP中
∵AB=AC,AP=AP,PB>PC
∴∠BAP>∠CAP ②
由①②和三角形内角和定理,可得∠APB<∠APC,
这与已知∠APB>∠APC相矛盾。
(2)当PB=PC时,在△APB与△APC中
∵AP=AP,BP=CP,AB=AC
∴△ABP≌△ACP,∴∠APB=∠APC
这与已知∠APB>∠APC相矛盾,
由
(1)
(2)可知假设PB
PC不成立。
故PB>PC。
3.证明:
不妨设三角形的三个内角为∠A、∠B、∠C假设∠A、∠B、∠C中设有一个大于或等于60°,
则它们都小于60°。
即∠A<60°、∠B<60°、∠C<60°
∴∠A+∠B+∠C<180°这与三角形内角和定理矛盾,这说明假设不成立。
故∠A、∠B、∠C中至少有一个大于或等于60°。
4.证明:
假设AD和BE互相平分于P点,则ABDE应是一个平行四边形。
所以AE∥EB,即AC∥BC
这与AC与BC相交于C点矛盾,
故假设AD与BE互相平分不能成立。
所以AD和BE必定不能互相平分。
5.证明:
作BE⊥AB于E,DF⊥AC于F
假设DE=DF,则∠1=∠2
∵AD⊥BC
∴∠B=90°-∠1
∠C=90°-∠2
∴∠B=∠C
∴AB=AC这与△ABC为不等边三角形矛盾。
故假设不能成立,即D点到AB、AC边的距离必不相等。
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