概率论第二版第12章习题解答.docx
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概率论第二版第12章习题解答
第1章随机事件与概率
习题
2•—批产品由95件正品和5件次品组成,从中不放回抽取两次,每次取一件.求:
(1)第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率;
(2)抽得正品和次品各一件的概率.
解设A={第一次抽得正品且第二次抽得次品},B={抽得正品和次品各一一
件},则
C;5C519cc’c
P(A)詈10.048,
G1。
。
C;9396
P(B)C95C5C5C95380.096.
Cw0C;9396
3.从0,2,3,4,5,6这六个数中任取三个数,求取得的三个数字能组成三位数且为偶数的概率.
解据题意,可分为“个位是0”与“个位不是0”两种情况,即所求事件
的概率为
pA2C3C4C15434417
P3
A65430
4.已知某城市中有55%勺住户订日报,65%勺住户订晚报,且至少订这两种报中一种的住户比同时订两种报的住户多一倍,求同时订两种报的住户占百分之几.
解设A={住户订日报},B={住户订晚报},则P(A)0.55,P(B)0.65,
P(AUB)2P(AB),
11
P(AB)—[P(A)P(B)]-(0.550.65)0.4,
33
即同时订两种报的住户占百分之四十.
5.从0~9十个数字中任取三个不同的数字,求:
三个数字中不含0或5
的概率.
设A={不含数字0},B={不含数字5},则所求概率为P(AUB).
p(aub)p(A)p(B)p(ab)C3C3C315
C10C10C1015
6.
10把钥匙中有3把能打开一把锁,现任取两把,求能打开锁的概率.
设A={任取两把钥匙,能打开锁},利用对立事件,有
P(A)1P(A)1^1“
G2。
1515
C;
一盒中有10只蓝色球,5只红色球,现一个个的全部取出.求第一个取出的是蓝色球,最后一个取出的也是蓝色球的概率.
7.
设A={第一个取出的是蓝色球,最后一个取出的也是蓝色球},则
p(A)gAfC;10913!
3
()A515!
7
15!
8.
把12枚硬币任意投入三只盒中,求第一只盒子中没有硬币的概率.
设A={第一只盒子中没有硬币},则
212212
P(A)尹3
把7个编号的同类型的球投进4个编号的盒子中,每个球被投进任何一个盒子中都是等可能的.求第一个盒子恰有2个球的概率.
9.
解设A={第一个盒子中恰有2个球},则
P(A)叮0.311.
47
10•从5副不同的手套中任意取4只手套,求其中至少有两只手套配成1副的概率.
解设A={至少有两只手套配成1副},则
P(A)1P(A)1
41111
C5C2C2C2C2
13
21
P(A)
12112
C5C4C2C2C5
13
21
P(A)
C13C13C13C13
c52
0.1055,
P(B)
C4(C13C13
C2C13C13)
c52
0.2996,
C0
11.一副没有王牌的扑克牌共52张,不放回抽样,每次一张,连续抽取4张,计算下列事件的概率:
(1)四张牌花色各异;
(2)四张牌中只有两种花色;
(3)四张牌中有三种花色.
解设A={四张牌花色各异},B={四张牌中只有两种花色},C={四张牌中有三种花色},则
P(C)
0.5843.
14.
P(A)
1P(A)1
0.954.
四个人参加聚会,由于下雨他们各带一把雨伞.聚会结束时每人各取走一把雨伞,求他们都没拿到自己雨伞的概率.
解设A={第i个人拿到自己的雨伞},B={四个人都没有拿到自己的雨伞},则
P(B)卩(人爲人人)
1[1
2!
3!
P(AsUA,UA3UA4)1P(AUA2UAUA4)
P(B)
C:
C:
5
54
15.
(1)四个人
有四个人等可能的被分配到六个房间中的任一间中.求:
都分配到不同房间的概率;
(2)有三个人分配到同一房间的概率.
解设A={四个人分配到不同房间},B={四个人中有三个人分配到同一房间},则
18,
P(A)
16.一袋中有n个黑球和2个白球,现从袋中随机取球,每次取一球,求第k次和第k+1次都取到到黑球的概率.
解设A={第k次和第k+1次都取到到黑球},则
P(A)
C:
V1n!
(n2)!
n(n1)
(n2)(n1)
17.n个人围一圆桌坐,求甲、乙两人相邻而坐的概率.解设A={甲、乙两人相邻而坐},则
P(A)
2(n2)!
2
(n1)!
(n1)
18.6个人各带一把铁锹参加植树,休息时铁锹放在一起,休息后每人任取一把铁锹继续劳动,求至少一个人拿对自己带来的铁锹的概率.
解设A={第i个人拿到自己的铁锹},B={至少有一人拿对自己带来的铁锹},则
P(B)1P(B)1P(A1A2A3A4A5A6)P(A1UA2UAUA4UA5UA6)
0.632.
1111191
1
2!
3!
4!
5!
6!
144
19.两艘轮船都要停靠同一泊位,它们可能在一昼夜的任意时间到达,设两船停靠泊位的时间分别需要1小时与2小时,求一艘轮船停靠泊位时,另一艘轮船需要等待的概率.
解设x,y分别为甲,乙两船到达码头的时间,设A={一艘轮船停靠泊位时,另一艘轮船需要等待}.故样本空间{(x,y)|0 A发生的等价条件为“x 令D{(x,y)(xwy 则样本空间的面积S2424576, 且区域D的面积SD2421232丄22269.5, 22 则P(A)Sd0.1207. S 20.平面上画有间隔为d的等距平行线,向平面任意投掷一枚长为丨(1d)的针,求针与平行线相交的概率. 解以x表示从针的中点到最近一条平行线的距离,针与其所夹角为,则 样本空间 (x,) 0wxwr0…’事件"针与平行线相交}发生的等 则样本空间为边长分别为及-的矩形,面积为S 2 且区域D的面积Sd-sin 02 P(A) SD S 2l d 1•某种动物的寿命在20年以上的概率为,在25年以上的概率为.现有 该种动物的寿命已超过20年,求它能活到25年以上的概率. 解设A={该种动物能活到25年以上},B={该种动物的寿命超过20年}, 即AB.已知P(A)0.4,P(B)0.8. 所求概率为 P(A|B)篇鵲0.5. 2.在100件产品中有5件是次品,从中不放回地抽取3次,每次抽1件.求第三次才取得次品的概率. 解设A={第i次取到合格品},B={第三次才取到次品},由乘法公式有 P(B)p(aaA3)p(a)p(AJA)P(A|AA) 95945 1009998 0.0460. 3.有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的.其中甲厂产品占50%乙厂产品占30%丙厂产品占20%三厂产品中合格品率分别为95%90%85%现从这批产品中随机抽取一件,求该产品为合格品的概率. 解设A1={甲厂的产品},A>={乙厂的产品},A3={丙厂的产品},B={取 到一件合格品}.即A1,A2,A3构成一个完备事件组. 则P(B)P(A)P(B|A)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3) 0.50.950.30.90.20.850.915. 4.一袋中有黄球10个,红球6个.若不放回取球两次,每次取一球.求下列事件的概率: (1)两次都取到黄球; (2)第二次才取到黄球;(3)第二次取到黄球. 解设A={第一次取到黄球},A2={第二次取到黄球},则 (1) P(AA) p(A)p(A2|A) 10 16 9 15 3 8; 6 10 1 (2) P(A1A2) p(A,)p(A|a) 16 15 4; 1096105 (3) P(A2) p(a)p(A2|A) P(A)P(A2|A) 161516158 5.一城市位于甲、乙两河的交汇处,若有一条河流泛滥,该市就会受灾,已知在某季节内,甲、乙两河泛滥的概率均为,且当甲河泛滥时引起乙河泛滥 的概率为.求在此季节内该市受灾的概率. 解设A={甲河泛滥},B={乙河泛滥},由题意有 P(A)0.01,P(B)0.01,P(B|A)0.5, 则P(AB)P(A)P(B|A)0.005. 在此季节内该市受灾的概率为 P(AUB)P(A)P(B)P(AB)0.010.010.0050.015. 6.在下列条件下,求: P(A|B),P(B|A),P(AB),P(AB). (1)已知P(A)0.4,P(B)0.3,P(AB)0.18; (2)已知P(A)0.4,P(B)0.3,且A,B互不相容. 解 (1)P(A|B) P(AB) 0.18 P(B)0.3 0.6,P(B|A) P(AB) 0.18 P(A)0.4 0.45, p(Ab) P(B)P(AB)0.30.180.12, p(Ab) P(AUB)1P(AUB)1[P(A)P(B)P(AB)] 1(0.40.30.18)0.48. (2)由于A,B互不相容,故P(AB)0,所以 P(A|B) P(AB)P(AB) 0,P(B|A)0, P(B)P(A) P(AB) P(B)P(AB)P(B)0.3, p(aB) P(AUB)1P(AUB)1[P(A)P(B)]1(0.40.3)0.3. 7.某体育比赛采用五局三胜制,甲方在每一场比赛中胜乙方的概率是(假定没有和局),求甲方最后取胜的概率. 解比赛采用五局三胜制,甲最终获胜,至少需要比赛三局,且最后一局必须是甲胜,而前面甲需要胜二局,例如,比赛三局,甲胜: 甲甲甲;比赛四局,甲胜: 甲乙甲甲,乙甲甲甲,甲甲乙甲;再由独立性,甲最终获胜的概率为 P(甲胜)=p3c3p3(ip)c4p3(ip)2 0.63C;0.63(10.6)C;0.63(10.6)20.6826. 8.设两箱内装有同种零件,第一箱装50件,有10件一等品,第二箱装 30件,有18件一等品,先从两箱中任挑一箱,再从此箱中前后不放回地任取2个零件,求: (1)取出的零件有一个为一等品的概率; (2)在先取的是一等品的条件下,后取的仍是一等品的条件概率. 1 解设A={第i箱被挑中},i=1,2,P(A)P(A2)-;设Bj={第j次取出 2 的是一等品},j=1,2. (1)取出的零件有一个为一等品的概率为 P(BiB2)P(Ai)P(BiB2|A)P(A2)P(BiB2|A2) 1104011812 0.20577, 2504923029 P(B1B2) P(A^)P(B! B2|A1)P(A2)P(B1B2|A2) 1401011218 2504923029 0.20577, 所求概率为 p(b1B2ub1b2)p(b1B2)P(B1B2)0.4115. (2)P(B2IB1) P(BB2) P(B1) P(AJP(B1B2|A)P(A)P(BB2|A2) p(A)p(bja)P(A)P(BJA2) 110911817 2504923029 110118 0.4856. 250230 在先取的是一等品的条件下,后取的仍是一等品的条件概率为. 9.设玻璃杯整箱出售,每箱20只,各箱含0,1,2只残次品的概率分别为,,一顾客选出一箱玻璃杯,随机查看4只,若无残次品,该顾客则购买此箱玻璃杯,否则不买.求: (1)顾客买此箱玻璃杯的概率; (2)若顾客购买了此箱玻璃杯,箱中确实无残次品的概率. 解设a={箱中有i件残次品},i=0,1,2;B={顾客买下该箱玻璃杯}, P(A。 )0.8,P(A)0.1,P(A2)0.1, P(B|A0)1,P(B|A) 4 4,P(B|A2) 5 12 19 (1)由全概率公式,有 P(B)P(A0)P(B|A。 )P(A)P(B|AJP(A2)P(B|A2) 10.8-0.1 5 12 19 0.10.943. (2)由贝叶斯公式,有 P(A°|B) P(人)P(B|Ao) P(B) 10.8 0.943 0.848. 10.某年级三个班报名参加志愿者的人数分别为10人、15人、25人,其 中女生的分别为3人、7人、5人.现随机地从一个班报名的学生中先后选出两人,求: (1)先选出的是女生的概率; (2)已知后选出的是男生,而先选出的是女生的概率. 1解设A={取到第i班报名表},i=1,2,3,P(AJP(A2)P(A3) 3 设Bj={第j次选出的报名表是女生},j=1,2. (1)由全概率公式,有 P(B1)P(A)P(BJA)P(A2)P(B1|A2)P(A3)P(B1|A3) 1A1Z129 31031532590° (2)已知后选出的是男生,先选出的是女生的概率为P(B1|B2)卩啡), P(B2) P(B2)P(AJP(B2|A1) P(A2)P(b2|A2)P(A3)P(B2|A3) 20 61 310 15 325 90 P(B1B2) P(A1)P(B1R|A) P(A2)P(B1B2|A2)P(A3)P(B1B2|Ab) 11. 从而 P(B1|R) P(B®2) pG) 2920 619061 某产品的合格品率为97%寸则达到行业标准.商家批量验收时,误拒 收“达标的产品”的概率为,误接收“未达标产品”的概率为.求一批产品被 接收,此批产品确已达标的概率. 解设A={产品合格},A={产品不合格},P(A)0.97,P(A)0.03; B={接收产品},B={拒收产品},P(B|A)0.02,P(B|A)0.05. 0.9984. 由贝叶斯公式,所求概率为 P(A|B) P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A) 0.970.98 0.970.980.030.05 12.一盒中有12个乒乓球,其中9个是新的.第一次比赛时从中任取 个来用,比赛后仍放回盒中,第二次比赛时再从盒中任取3个.求: (1)第二 次取出的球皆为新球的概率; (2)若第二次取的球皆为新球,求第一次取到的都是新球的概率. 解设A={第一次取到i个新球},i=0,1,2,3,B={第二次取出的都是新 P(^) Cl32 1 云’P(A) c9c; Cl32 益'Pg c|c 型,P(A0C3里 220G;220 P(B|A0) C93 G2 84 220,P(B|A) G2 56 220 P(B|A2) C; Cl Cl 20 220 (1)由全概率公式,有 P(B)P(A0)P(B|A0)P(A)P(B|A)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3) 0.1458; (2)由贝叶斯公式,有 P(A)P(B|A3) P(B) 0.2381. 13.某人忘记了某电话号码的最后一个数字,但知最后一个数字为奇数,求拨号不超过3次而接通电话的概率. 解设A={第i次拨号拨通电话},i=1,2,3,B={拨号不超过3次接通电 话},贝UBAuAa2UAA2A3. 1———411 p(A)-,p(AA2)p(a)p(A2〔a) 5545 4311 P(AAA3)P(A)P(A21A1)P(A3IA1A2) 5435 3 故P(B)P(A)p(a,A2)p(AA2A3)-. 5 14.某仓库有同样规格的产品12箱,其中甲、乙、丙三个厂生产的产品分别为6箱、4箱、2箱,且三个厂的次品率分别为8%6%5%现从12箱中任取一箱,再从该箱中任取一件产品,求取到一件次品的概率. 解设A1={甲厂的产品},A2={乙厂的产品},A3={丙厂的产品},B={取 到一件次品}.即人小2,乓构成一个完备事件组. P(B)P(A)P(B|AJP(AJP(B|A2)P(A)P(B|A3) 642 0.080.060.050.0683. 121212 15.第一箱中有2个白球和6个黑球,第二箱中有4个白球与2个黑球.现从第一个箱中任取出两球放到第二个箱中,然后从第二个箱中任意取出一球,求此球是白球的概率. 解设A1={从第一箱中取出2个白球},A2={从第一箱中取出1个白球1 个黑球},A3={从第一箱中取出2个黑球},B={从第二箱中取出1个白球}.即A,,A? 民构成一个完备事件组,且 16. P(A) P(B) Ct丄,P(A) C8828 P(A)P(B|AJ 28 12 28 设袋中有n个黑球, c;c 12 28,P(a)c; P(At)P(B|A2)P(A3)P(B|A3) 154 288 16 15 28 m个白球,现从袋中依次随机取球,每次取一个 球,观察颜色后放回,并加入1个同色球和2个异色球.求第二次取到黑色球且第三次取到白色球的概率. 解设A={第i次取到白色球},i=1,2,3,则所求概率为 P(AtA3) p(A)p(A2A3|A)p(A^)P(AtA3|A^) mn2m3nn1m4 nmnm3nm6nmnm3nm6 P(A|B),P(AUB), 已知P(A)0.4,P(B)=0.3,且A、B相互独立,试求: P(AB), P(AB),P(AUB). P(B) P(B) P(AUB) P(A)P(B) P(AB) P(AB) P(A)P(B)(1 0.4)0.3 P(AB) P(A)P(B)(1 0.4)(1 P(AUB) P(A)P(B) P(AB) P(AB) 解 P(A)P(B) 0.18, 0.3)0.42, (10.4)0.3 P(A)P(B)P(A)0.4 P(A)P(B)0.58, 0.180.72. 2.甲、乙两人各自向同一目标射击,已知甲命中目标的概率为,乙命中 目标的概率为,求: (1)甲、乙两人同时命中目标的概率;⑵恰有一人命中目 标的概率;(3)目标被命中的概率. 解设A={甲击中目标},B={乙击中目标},则P(A)0.7,P(B)0.8. (1)P(AB)P(A)P(B)0.70.80.56; (2)P(ABUAB)P(AB)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)0.38; (3)P(AUB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)0.94. 3.甲、乙二人约定,将一枚匀称的硬币掷三次,若至少出现两次正面,则甲胜;否则乙胜.求甲胜的概率. 至少出现两次正面包含两种情况: 恰有两次出现正面、三次都是正 面.恰 有两次出现正面的概率为Cs(-)2-3;三次都是正面的概率为 228 313 Ca(-) 1 8. 故甲胜的概率为3-1. 882 5.甲、乙二人进行棋类比赛,假设没有和棋,每盘甲胜的概率为P,乙 胜的概率为1-p.每盘胜者得1分,输者得0分.比赛独立地进行到有一人首先超过对方2分时结束.求甲首先超过对方2分的概率. 解设C{甲首先超过对方2分},每盘比赛若甲胜记为A若乙胜记为B,根据题意,比赛共进行偶数盘,若甲首先超过对方2分时,则有 共赛两盘: AA; 共赛四盘: ABAAUBAAA; 共赛六盘: ABABAAUBAABAAUABBAAAUBABAAA; 共赛八盘: ABABABAAUBAABABAAUABBAABAAUABABBAAA UBABAABAAUBAABBAAAUABBABAAAUBABABAAA; 23242353464 即P(C)p2p(1p)2p(1p)2p(1p)2p(1p)L 2 p[12p(1 333444 p)2p(1p)2p(1p)2p(1p)L] 2 p[2p(1 k0 2 、ikp p)] 12p(1p) 6.一汽车沿一街道行驶,要经过三个有信号灯的路口,每个信号灯工作都是相互独立,且红、黄、绿信号显示时间的比例为2: 1: 2,求此车通过三个路 口时遇到一次红灯的概率. 解汽车经过三个有信号灯的路口,可以看作是3重伯努利试验.此车通 过三个路口时遇到一次红灯的概率为 23 C3(-)(-)20.432. 55 7.甲、乙、丙三人同时独立的向一飞机射击,他们击中飞机的概率分别为,,设若只有一人击中,飞机坠毁的概率为,若恰有两人击中,飞机坠毁的 概率为,若三人均击中,飞机坠毁的概率为.求飞机坠毁的概率. 解设A={飞机被i个人击中},i=1,2,3,B={飞机坠毁},由独立性有 P(AJ 0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7 0.36, P(A2) 0.4 0.5 0.3 0.4 0.5 0.7 0.6 0.5 0.7 0.41, P(A3) 0.4 0.5 0.7 0.14 P(B|A)0.2,P(B|A2)0.5,P(B|A3)0.8, 3 故P(B)P(A)P(B|A)0.360.20.410.50.140.80.389. i1 8.某厂生产的仪器,经检验可直接出厂的占,需调试的占,调试后可出厂的占,调试后仍不能出厂的占.现新生产n(n>2)台仪器(设每台仪器的生 产过程相互独立),求: (1)全部能出厂的概率; (2)恰有两台不能出厂的概率; (3)至少两台不能出厂的概率. 解设A={1台仪器可直接出厂},B={1台仪器最终能出厂},贝U AB
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