第7讲 直角三角形全等的判定.docx
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第7讲直角三角形全等的判定
第7讲 直角三角形全等的判定
【思维入门】
1.如图1-7-1,在△ABC中,∠ABC=45°,AC=8cm,F是高AD和BE的交点,则BF的长是( C )
图1-7-1
A.4cm B.6cm C.8cm D.9cm
2.如图1-7-2,在△ABC和△DEF中,点B,F,C,E在同一直线上,BF=CE,AC∥DF,请添加一个条件,使△ABC≌△DEF,这个添加的条件可以是__∠A=∠D或AC=DF或AB∥DE等__.(只需写一个,不添加辅助线)
图1-7-2
3.如图1-7-3,已知∠C=∠D,∠ABC=∠BAD,AC与BD相交于点O,请写出图中一组相等的线段__AC=BD或BC=AD或OD=OC或OA=OB__.
图1-7-3
4.如图1-7-4,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,下面四个结论:
①∠ABE=∠BAD;②△CEB≌△ADC;
③AB=CE;④AD-BE=DE.
其中正确的是__①②④__(填序号).
图1-7-4
第4题答图
【解析】如答图,∵∠BEF=∠ADF=90°,
∠BFE=∠AFD,
∴①∠ABE=∠BAD,正确.
∵∠1+∠2=90°,∠2+∠CAD=90°,
∴∠1=∠CAD.
又∵∠E=∠ADC=90°,AC=BC,
∴②△CEB≌△ADC,正确.
∴CE=AD,BE=CD.
∴④AD-BE=DE,正确.
而③不能证明,
故答案为①②④.
5.如图1-7-5,已知AD是△ABC的中线,分别过点B,C作BE⊥AD于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F.求证:
BE=CF.
图1-7-5
证明:
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.
∵BE⊥AD,CF⊥AD,
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵∠BDE=∠CDF,
∴△DBE≌△DCF.
∴BE=CF.
【思维拓展】
图1-7-6
6.如图1-7-6,△ABC的两条高AD,BE相交于H,且AD=BD,试说明下列结论成立的理由.
(1)∠DBH=∠DAC;
(2)△BDH≌△ADC.
解:
(1)∵∠BHD=∠AHE,∠BDH=∠AEH=90°,
∴∠DBH+∠BHD=∠DAC+∠AHE=90°.
∴∠DBH=∠DAC;
(2)∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC.
在△BDH与△ADC中,
∴△BDH≌△ADC.
7.如图1-7-7,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC的中点.
(1)写出点O到△ABC的三个顶点A,B,C距离之间的关系;
(2)如果点M,N分别在线段AB,AC上移动,移动中保持AN=BM,请判断△OMN的形状,并证明你的结论.
图1-7-7
解:
(1)∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,O为BC的中点,∴OA=
BC=OB=OC,即OA=OB=OC;
(2)△OMN是等腰直角三角形,理由如下:
如答图,连结AO,∵AC=AB,OC=OB,
∠BAC=90°,
∴OA=OB,∠NAO=∠B=45°,
第7题答图
在△AON与△BOM中,
∴△AON≌△BOM(SAS).
∴ON=OM,∠NOA=∠MOB.
∴∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM.
∴∠NOM=∠AOB=90°.
∴△OMN是等腰直角三角形.
8.如图1-7-8,已知在△ABC中,AC=6,BC=8,AB=10,BE平分∠ABC交AC于点E,EF⊥AB,垂足为F.
图1-7-8
(1)求EF的长度;
(2)作CD⊥AB,垂足为D,CD与BE相交于G,试说明:
CE=CG.
解:
(1)∵62+82=102,∴AC2+BC2=AB2,
∴∠ACB=90°,
∵BE平分∠ABC交AC于点E,EF⊥AB,
∴CE=EF,
在Rt△BFE与Rt△BCE中,
∴Rt△BFE≌Rt△BCE(HL),
∴BF=BC=8,∵AB=10,∴AF=AB-BF=2.
设EF=x,则CE=x,AE=6-x,
在Rt△AEF中,由勾股定理,得AE2=EF2+AF2,
∴(6-x)2=x2+22,解得x=
,即EF=
;
(2)∵在△BCE中,∠CEB=90°-∠CBE,
∠CGE=∠DGB=90°-∠DBG,
∠CBE=∠DBG,∴∠CEB=∠CGE,∴CE=CG.
9.如图1-7-9,在△ABC中,OE⊥AB,OF⊥AC,且OE=OF.
(1)如图①,当点O在BC边中点时,试说明AB=AC;
(2)如图②,当点O在△ABC内部时,且OB=OC,试说明AB与AC的关系;
(3)当点O在△ABC外部时,且OB=OC,试判断AB与AC的关系.(画出图形,写出结果即可,无需说明理由)
①②
图1-7-9
解:
(1)证明:
∵OE=OF,OB=OC,
∴Rt△OBE≌Rt△OCF(HL),
∴∠B=∠C,∴AB=AC;
(2)AB=AC.
证明:
同
(1)可证得Rt△OBE≌Rt△OCF.
∴∠OBE=∠OCF.∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
∴∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC;
(3)如答图①,当BC的垂直平分线与∠A的平分线重合时,AB=AC成立;
如答图②,当BC的垂直平分线与∠A的平分线不在一条直线上时,结论不成立.(图形不唯一,符合题意,画图规范即可)
第9题答图
【思维升华】
10.如图1-7-10,三角形ABC的面积为1cm2,AP垂直∠B的平分线BP于P,则与三角形PBC的面积相等的长方形是( B )
A B
C D
图1-7-10第10题答图
【解析】如答图,过P点作PE⊥BP交BC于E.
∵AP垂直∠B的平分线BP于P,
∴∠ABP=∠EBP,
又知BP=BP,∠APB=∠BPE=90°,
∴△BAP≌△BEP.
∴AP=PE.
∵△APC和△CPE等底同高,
∴S△APC=S△PCE,
∴S△PBC=
S△ABC=
cm2,
只有B选项的长方形面积为
cm2.
故选B.
11.[2013·“希望杯”初一第1试]如图1-7-11,ABCD和DEFG都是正方形,面积分别为9cm2和13cm2,点G在线段AB上.则△CDE的面积是__3__cm2.
图1-7-11
第11题答图
【解析】作EH⊥CD交CD延长线于H,
得△DHE≌△DAG.
∴DH=DA=DC,
由勾股定理得EH2=DE2-DH2=13-9=4(cm2).
∴EH=2cm.
∴S△CDE=
CD·EH=
×3×2=3(cm2).
12.如图1-7-12,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F,连结CF.
(1)求证:
AD⊥CF;
(2)连结AF,试判断△ACF的形状,并说明理由.
图1-7-12
解:
(1)证明:
在等腰Rt△ABC中,
∵∠ACB=90°,∴∠CBA=∠CAB=45°.
又∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°.
∴∠BDE=45°.又∵BF∥AC,
∴∠CBF=90°,∴∠BFD=45°=∠BDE,
∴BF=DB,又∵D为BC的中点,
∴CD=DB.∴BF=CD.
在△CBF和△ACD中,
∴△CBF≌△ACD(SAS).∴∠BCF=∠CAD.
又∵∠BCF+∠GCA=90°,∴∠CGA=90°,
∴∠CAD+GCA=90°.
即AD⊥CF;
(2)△ACF是等腰三角形,理由为:
连结AF,如答图所示,
第12题答图
由
(1)知:
CF=AD,△DBF是等腰直角三角形,且BE是∠DBF的平分线,
∴BE垂直平分DF,
∴AF=AD,
∵CF=AD,
∴CF=AF,
∴△ACF是等腰三角形.
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