初中数学命题与证明的难题汇编及答案解析.docx
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初中数学命题与证明的难题汇编及答案解析
初中数学命题与证明的难题汇编及答案解析
一、选择题
1.39.下列命题中,是假命题的是()
A.同旁内角互补
B.对顶角相等
C.直角的补角仍然是直角
D.两点之间,线段最短
【答案】A
【解析】同旁内角不一定互补,同旁内角互补的条件是两直线平行,故选A.
2.下列命题是真命题的是()
A.若两个数的平方相等,则这两个数相等B.同位角相等
C.同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行D.相等的角是对顶角
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平方的意义,同位角的概念,平行线的判定,对顶角的概念逐一进行判断即可得.
【详解】
A.若两个数的平方相等,则这两个数不一定相等,如22=(-2)2,但2≠-2,故A选项错误;
B.只有两直线平行的情况下,才有同位角相等,故B选项错误;
C.同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行,真命题,符合题意;
D.相等的角不一定是对顶角,如图,∠1=∠2,但这两个角不符合对顶角的概念,故D选项错误,
故选C.
【点睛】
本题考查了命题真假的判定,涉及了乘方、同位角、对顶角、平行线的判定等知识,熟练掌握相关知识是解题的关键.
3.现给出下列四个命题:
①等边三角形既是轴对称图形,又是中心对称图形;②相似三角形的面积比等于它们的相似比;
③菱形的面积等于两条对角线的积;④三角形的三个内角中至少有一内角不小于60°.
其中不正确的命题的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【解析】①根据等边三角形的性质知,等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,错误;
②由相似三角形的性质知相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方,错误;
③根据菱形的面积公式,错误;
④根据三角形内角和定理可知,三角形的三个内角中至少有一内角不小于60°,正确.
综合以上分析,不正确的命题包括①②③.
故选C.
4.下列命题中是假命题的是().
A.同旁内角互补,两直线平行
B.直线
,则
与
相交所成的角为直角
C.如果两个角互补,那么这两个角是一个锐角,一个钝角
D.若
,
,那么
【答案】C
【解析】
根据平行线的判定,可知“同旁内角互补,两直线平行”,是真命题;
根据垂直的定义,可知“直线
,则
与
相交所成的角为直角”,是真命题;
根据互补的性质,可知“两个角互补,这两个角可以是两个直角”,是假命题;
根据垂直的性质和平行线的性质,可知“若
,
,那么
”,是真命题.
故选C.
5.下列命题的逆命题不成立的是()
A.两直线平行,同旁内角互补B.如果两个实数相等,那么它们的平方相等
C.平行四边形的对角线互相平分D.全等三角形的对应边相等
【答案】B
【解析】
【分析】
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题.分析是否为真命题,需要分别分析各题设是否能推出结论,从而利用排除法得出答案.
【详解】
选项A,两直线平行,同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补,两直线平行,正确,成立;
选项B,如果两个实数相等,那么它们的平方相等的逆命题是平方相等的两个数相等,错误,不成立,如(﹣3)2=32,但﹣3≠3;
选项C,平行四边形的对角线互相平分的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形,正确,成立;
选项D,全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形全等,正确,成立;
故选B.
【点睛】
本题考查了互逆命题的知识,两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
6.下列命题中,是真命题的是( )
A.将函数y=
x+1向右平移2个单位后所得函数的解析式为y=
x
B.若一个数的平方根等于其本身,则这个数是0和1
C.对函数y=
,其函数值y随自变量x的增大而增大
D.直线y=3x+1与直线y=﹣3x+2一定互相平行
【答案】A
【解析】
【分析】
利用一次函数的性质、平方根的定义、反比例函数的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项.
【详解】
解:
A、将函数y=
x+1向右平移2个单位后所得函数的解析式为y=
x,正确,符合题意;
B、若一个数的平方根等于其本身,则这个数是0,故错误,是假命题,不符合题意;
C、对函数y=
,其函数值在每个象限内y随自变量x的增大而增大,故错误,是假命题,不符合题意;
D、直线y=3x+1与直线y=﹣3x+2因比例系数不相等,故一定不互相平行,故错误,是假命题,
故选:
A.
【点睛】
本题考查了判断命题真假的问题,掌握一次函数的性质、平方根的定义、反比例函数的性质等知识是解题的关键.
7.下列命题中是真命题的是()
A.两个锐角的和是锐角B.两条直线被第三条直线所截,同位角相等
C.点
到
轴的距离是2D.若
,则
【答案】C
【解析】
【分析】
根据角的定义、平行线的性质、点的坐标及不等式的性质对各选项进行分析判断,即可得解.
【详解】
A.两个锐角的和是锐角是假命题,例如80°+80°=160°,是钝角,不是锐角,故本选项错误;
B.两条直线被第三条直线所截,同位角相等是假命题,两条平行线被第三条直线所截,同位角才相等,故本选项错误;
C.点
到
轴的距离是2是真命题,故本选项正确;
D.若
,则
是假命题,正确结果应为
,故本选项错误.
故选:
C.
【点睛】
本题考查真假命题的判断,解题关键是认真判断由条件是否能推出结论,如果能举出一个反例,或由条件推出的结论与题干结论不一致,则为假命题.
8.下列命题中真命题是()
A.若a2=b2,则a=bB.4的平方根是±2
C.两个锐角之和一定是钝角D.相等的两个角是对顶角
【答案】B
【解析】
【分析】
利用对顶角的性质、平方根的性质、锐角和钝角的定义分别判断后即可确定正确的选项.
【详解】
A、若a2=b2,则a=±b,错误,是假命题;
B、4的平方根是±2,正确,是真命题;
C、两个锐角的和不一定是钝角,故错误,是假命题;
D、相等的两个角不一定是对顶角,故错误,是假命题.
故选B.
【点睛】
考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解对顶角的性质、平方根的性质、锐角和钝角的定义,难度不大.
9.下列命题是真命题的是( )
A.中位数就是一组数据中最中间的一个数
B.一组数据的众数可以不唯一
C.一组数据的标准差就是这组数据的方差的平方根
D.已知a、b、c是Rt△ABC的三条边,则a2+b2=c2
【答案】B
【解析】
【分析】
正确的命题是真命题,根据定义判断即可.
【详解】
解:
A、中位数就是一组数据中最中间的一个数或着是中间两个数的平均数,故错误;
B、一组数据的众数可以不唯一,故正确;
C、一组数据的标准差是这组数据的方差的算术平方根,故此选项错误;
D、已知a、b、c是Rt△ABC的三条边,当∠C=90°时,则a2+b2=c2,故此选项错误;
故选:
B.
【点睛】
此题考查真命题的定义,掌握定义,准确理解各事件的正确与否是解题的关键.
10.下列命题中正确的有()个
①平分弦的直径垂直于弦;②经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线;③在同圆或等圆中,圆周角等于圆心角的一半;④平面内三点确定一个圆;⑤三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等.
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据垂径定理的推论对①进行判断;根据切线的判定定理对②进行判断;根据圆周角定理对③进行判断;根据确定圆的条件对④进行判断;根据三角形外心的性质对⑤进行判断.
【详解】
①平分弦(非直径)的直径垂直于弦,错误;
②经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线,正确;
③在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,错误;
④平面内不共线的三点确定一个圆,错误;
⑤三角形的外心到三角形的各个顶点的距离相等,正确;
故正确的命题有2个
故答案为:
B.
【点睛】
本题考查了判断命题真假的问题,掌握垂径定理的推论、切线的判定定理、圆周角定理、确定圆的条件、三角形外心的性质是解题的关键.
11.下列命题是假命题的是()
A.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等
B.如果等腰三角形的两边长分别是5和6,那么这个等腰三角形的周长为16
C.将一次函数y=3x-1的图象向上平移3个单位,所得直线不经过第四象限
D.若关于x的一元一次不等式组
无解,则m的取值范围是
【答案】B
【解析】
【分析】
利用三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组分别判断后即可确定正确的选项.
【详解】
A.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等,正确,是真命题;
B.如果等腰三角形的两边长分别是5和6,那么这个等腰三角形的周长为16或17,错误,是假命题;
C.将一次函数y=3x-1的图象向上平移3个单位,所得直线不经过第四象限,正确,是真命题;
D.若关于x的一元一次不等式组
无解,则m的取值范围是
,正确,是真命题;
故答案为:
B
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组.
12.下列命题中,是真命题的是()
A.同位角相等B.若两直线被第三条直线所截,同旁内角互补
C.同旁内角相等,两直线平行D.平行于同一直线的两直线互相平行
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行线的判定、平行线的性质判断即可.
【详解】
A、两直线平行,同位角相等,是假命题;
B、若两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补,是假命题;
C、同旁内角互补,两直线平行,是假命题;
D、平行于同一直线的两条直线互相平行,是真命题;
故选:
D.
【点睛】
此题考查命题与定理,解题关键在于掌握正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.
13.下列命题的逆命题不正确的是( )
A.全等三角形的对应边相等B.两直线平行,同位角相等
C.等腰三角形的两个底角相等D.矩形的对角线相等.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据求逆命题的原则,把原命题的结论作为条件,原命题的条件作为结论得到的命题是原命题的逆命题,逐一判断逆命题的正误即可.
【详解】
解:
A的逆命题是:
对应边相等的三角形是全等三角形,正确;
B的逆命题是:
同位角相等,两直线平行,正确;
C的逆命题是:
两底角相等的三角形是等腰三角形,正确;
D的逆命题是:
对角线相等的四边形是矩形,错误
故选:
D
【点睛】
本题考查逆命题、全等三角形的判定、平行线的判定、等腰三角形的判定、矩形的判定,解题的关键是正确找出各选项的逆命题.
14.下列命题中,是假命题的是
A.任意多边形的外角和为
B.在
和
中,若
,
,
,则
≌
C.在一个三角形中,任意两边之差小于第三边
D.同弧所对的圆周角和圆心角相等
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相关的知识点逐个分析.
【详解】
解:
A.任意多边形的外角和为
是真命题;
B.在
和
中,若
,
,
,则
≌
,根据HL,是真命题;
C.在一个三角形中,任意两边之差小于第三边,是真命题;
D.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,本选项是假命题.
故选D.
【点睛】
本题考核知识点:
判断命题的真假.解题关键点:
熟记相关性质或定义.
15.利用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时,应假设()
A.四边形中至多有一个内角是钝角或直角
B.四边形中所有内角都是锐角
C.四边形的每一个内角都是钝角或直角
D.四边形中所有内角都是直角
【答案】B
【解析】
【分析】
先假设命题中的结论不成立,然后由此经过推理,引出矛盾,判定所做的假设不正确,从而得到原命题成立,这种证明方法叫做反证法.
【详解】
假设命题中的结论不成立,即命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”不成立,即“四边形中的四个角都不是钝角或直角”,即“四边形中的四个角都是锐角”故选B.
【点睛】
本题考查反证法,要注意命题“至少有一个是”不成立,对应的命题应为“都不是”.
16.下列命题的逆命题不正确的是()
A.相等的角是对顶角B.两直线平行,同旁内角互补
C.矩形的对角线相等D.平行四边形的对角线互相平分
【答案】C
【解析】
【分析】
首先写出各个命题的逆命题,然后进行判断即可.
【详解】
A、逆命题是:
对顶角相等.正确;
B、逆命题是:
同旁内角互补,两直线平行,正确;
C、逆命题是:
对角线相等的四边形是矩形,错误;
D、逆命题是:
对角线互相平分的四边形是平行四边形,正确.
故选:
C.
【点睛】
本题主要考查了写一个命题的逆命题的方法,首先要分清命题的条件与结论.
17.下列四个命题:
①对顶角相等;②内错角相等;③平行于同一条直线的两条直线互相平行;④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等.其中真命题的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】B
【解析】
解:
①符合对顶角的性质,故本小题正确;
②两直线平行,内错角相等,故本小题错误;
③符合平行线的判定定理,故本小题正确;
④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补,故本小题错误.
故选B.
18.下列命题中哪一个是假命题( )
A.8的立方根是2
B.在函数y=3x的图象中,y随x增大而增大
C.菱形的对角线相等且平分
D.在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等
【答案】C
【解析】
【分析】
利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项.
【详解】
A、8的立方根是2,正确,是真命题;
B、在函数
的图象中,y随x增大而增大,正确,是真命题;
C、菱形的对角线垂直且平分,故错误,是假命题;
D、在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,正确,是真命题,
故选C.
【点睛】
考查了命题与定理的知识,能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键.
19.下面说法正确的个数有()
①方程
的非负整数解只有
;②由三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形;③如果
,那么
是直角三角形;④各边都相等的多边形是正多边形;⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部,那么这个三角形一定是钝角三角形.
A.0个B.1个C.2个D.3个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二元一次方程的解的定义可对①进行判断;根据三角形的定义对②进行判断;根据直角三角形的判定对③进行判断;根据正多边形的定义对④进行判断;根据钝角三角形的定义对⑤进行判断.
【详解】
解:
①二元一次方程
的非负整数解是x=3,y=0或x=1,y=3,原来的说法错误;
②由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形,原来的说法错误;
③如果
,那么
不是直角三角形,故错误;
④各边都相等,各角也相等的多边形是正多边形,故错误.
⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部,那么这个三角形是钝角三角形或直角三角形,故错误,
故选A.
【点睛】
此题考查命题与定理的知识,解题的关键是了解二元一次方程的解的定义、三角形的定义、直角三角形的判定、正多边形的定义及钝角三角形的定义等知识,难度不大.
20.下列命题为真命题的是()
A.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
B.两直线被第三条直线所截,同位角相等
C.垂直于同一直线的两直线互相垂直
D.三角形的外角和为
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角形的外角性质、平行线的性质、平行公理的推论、三角形外角和定理判断即可.
【详解】
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角,A是真命题;
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等,B是假命题;
在同一平面内,垂直于同一直线的两直线互相平行,C是假命题;
三角形的外角和为360°,D是假命题;
故选A.
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.
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