人教版八年级数学上册三角形的内角和定理.docx
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人教版八年级数学上册三角形的内角和定理
初中数学试卷
11-4
三角形的内角和定理
人教八上
一、学习目标
理解“三角形的内角和等于180°”及证明过程;
证明“三角形内角和定理”,体会证明中辅助线的作用,尝试用多种方法证明三角形内角和定理;
运用三角形内角和定理解决问题.
二、知识回顾
拼拼看,将任意一个三角形的三个内角拼合在一起会形成什么角?
三、新知讲解
1.三角形内角和定理
定理
三角形三个内角的和等于180°
符号语言
在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°
图示
2.三角形内角和定理的证明
已知:
如图,已知△ABC,求证:
∠A+∠B+∠C=180°.
〖方法1〗证明:
过A点作DE∥BC,
∵DE∥BC,(已作)
∴∠DAB=∠B,∠EAC=∠C,(两直线平行,内错角相等)
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°,(平角=180°)
∴∠BAC+∠B+∠C=180°,(等量代换)
〖方法2〗证明:
作BC的延长线CD,过点C作射线CE∥BA.
∵CE∥BA,
∴∠B=∠ECD(两直线平行,同位角相等),
∠A=∠ACE(两直线平行,内错角相等),
∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°,(平角=180°)
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.(等量代换)
3.三角形内角和定理的应用
(1)已知三角形的两个内角,利用三角形内角和定理可求第三个角;
(2)已知各角之间的关系,利用三角形内角和定理可求各角.
四、典例探究
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1.三角形的内角和定理
【例1】(2014春•靖江市校级月考)若一个三角形的三个内角之比为3:
4:
5,则它的最大内角的度数是( )
A.80°B.75°C.90°D.108°
总结:
给出三角形三个内角的比求内角度数时,通常要设未知数,通过列方程求解.
【例2】(2014•重庆校级模拟)如图,已知D、E在△ABC的边上,DE∥BC,∠B=60°,∠AED=45°,则∠A的度数为( )
A.65°B.75°C.85°D.95°
总结:
关于三角形与平行线结合的问题,求解时,先从平行线的性质入手,把有关角转化到三角形中,再利用三角形的内角和定理求解.
【例3】(2014秋•太和县期末)如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=80°,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,则∠BPC的大小是( )
A.100°B.110°C.115°D.120°
总结:
三角形中两内角平分线相交组成的角等于90°与第三个内角一半的和.
练1.(2015•重庆模拟)在△ABC中,已知∠A=4∠B=104°,则∠C的度数是( )
A.50°B.45°C.40°D.30°
练2.(2014秋•安庆期中)在△ABC中,∠A、∠B、∠C的度数之比为3:
4:
5,那么△ABC是( )
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
练3.(2014春•通川区校级期中)如图,已知△ABC中,∠B=65°,∠C=45°,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线,求∠DAE的度数.
2.三角形内角和定理的实际应用
【例4】如图,一轮船由B处向C处航行,在B处测得C处在B的北偏东75°方向上,在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西30°方向上,若轮船行驶到C处时测得∠BAC=55°,那么从C处看A,B两处的视角∠ACB是多少度?
总结:
1.“三角形的内角和为180°”是隐含条件,在实际应用中必不可少.
2.在有关方位角的计算中,常常构造三角形,在三角形中计算角的度数.
练4.(2010•石家庄二模)如图所示是小李绘制的某大桥断裂的现场草图,若∠1=38°,∠2=23°,则桥面断裂处夹角∠BCD为________度.
五、课后小测
一、选择题
1.(2014•江北区模拟)在△ABC中,已知∠A=3∠C=54°,则∠B的度数是( )
A.90°B.94°C.98°D.108°
2.(2014春•合川区校级期中)已知△ABC中,∠A=20°,∠B=∠C,那么三角形△ABC是( )
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形
3.(2014春•江阴市校级期中)如图,BE、CF都是△ABC的角平分线,且∠BDC=110°,则∠A=( )
A.50°B.40°C.70°D.35°
4.如图,是一块三角形木板的残余部分,量得∠A=100°,∠B=40°,这块三角形木板另外一个角∠C的度数为( )
A.30°B.40°C.50°D.60°
二、填空题
5.(2014秋•宁津县校级月考)在△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=2:
3:
4,则∠A= ,∠C= .
6.(2014•徐州二模)如图,AB∥CD,AD和BC相交于点O,∠A=35°,∠AOB=75°,则∠C= .
7.(2013春•苏州期末)如图,CD、CE分别是△ABC的高和角平分线,∠A=30°,∠B=60°,则∠DCE= .
三、解答题
8.(2014春•庐江县期末)如图,已知∠DAB=70°,AC平分∠DAB,∠1=35°,求∠D的度数.
9.(2012春•中山区期中)已知,如图,AB∥CD,AE平分∠BAC,CE平分∠ACD,求∠E的度数.
10.(2011春•宣威市校级月考)如图所示,已知图①五角星ABCDE,将图①中的A点向下移动得到图②,将图①中的C点向上移动得图③,对于五角星及五角星的变形图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的和为多少度?
并选择一图加以说明.
典例探究答案:
【例1】(2014春•靖江市校级月考)若一个三角形的三个内角之比为3:
4:
5,则它的最大内角的度数是( )
A.80°B.75°C.90°D.108°
分析:
设三角形的三个内角的度数分别为3x、4x、5x,根据三角形内角和定理得到3x+4x+5x=180°,然后解方程求出x后计算5x即可.
解答:
解:
设三角形的三个内角的度数分别为3x、4x、5x,
所以3x+4x+5x=180°,
解得x=15°,
所以5x=75°.
故选B.
点评:
本题考查了三角形内角和定理,即三角形内角和是180°.
【例2】(2014•重庆校级模拟)如图,已知D、E在△ABC的边上,DE∥BC,∠B=60°,∠AED=45°,则∠A的度数为( )
A.65°B.75°C.85°D.95°
分析:
根据平行线的性质可得∠C=∠AED=45°,再利用三角形内角和为180°可以计算出∠A的度数.
解答:
解:
∵DE∥BC,
∴∠C=∠AED=45°,
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣45°﹣60°=75°,
故选:
B.
点评:
此题主要考查了三角形内角和定理,即三角形内角和为180°.
【例3】(2014秋•太和县期末)如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=80°,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,则∠BPC的大小是( )
A.100°B.110°C.115°D.120°
分析:
根据三角形内角和定理计算.
解答:
解:
∵∠ABC=50°,∠ACB=80°,
且BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,
∴∠PBC=25°,∠PCB=40°,
∴∠BPC=115°.
故选C.
点评:
此题主要考查了三角形的内角和定理:
三角形的内角和为180°.
练1.(2015•重庆模拟)在△ABC中,已知∠A=4∠B=104°,则∠C的度数是( )
A.50°B.45°C.40°D.30°
分析:
根据已知条件求出∠B的度数,再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解.
解答:
解:
∵4∠B=104°,
∴∠B=26°,
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣104°﹣26°=50°.
故选A.
点评:
本题考查了三角形的内角和定理,是基础题,求出∠B的度数,然后列出∠C的表达式是解题的关键.
练2.(2014秋•安庆期中)在△ABC中,∠A、∠B、∠C的度数之比为3:
4:
5,那么△ABC是( )
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
分析:
已知三角形三个内角的度数之比,可以设一份为k°,根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数,从而确定三角形的形状.
解答:
解:
设一份为k°,则三个内角的度数分别为3k°,4k°,5k°.
则3k°+4k°+5k°=180°,
解得k°=15°,
∴5k°=75°,3k°=45°,4k°=60°,
所以这个三角形是锐角三角形,
故选A.
点评:
此题主要考查三角形的按边分类,直接根据三角形三个内角的度数比来判断是解题的关键.
练3.(2014春•通川区校级期中)如图,已知△ABC中,∠B=65°,∠C=45°,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线,求∠DAE的度数.
分析:
由三角形的内角和定理,可求∠BAC=70°,又由AE是∠BAC的平分线,可求∠BAE=35°,再由AD是BC边上的高,可知∠ADB=90°,可求∠BAD=25°,所以∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=10°.
解答:
解:
在△ABC中,
∵∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=70°,
∵AE是∠BAC的平分线,
∴∠BAE=∠CAE=35°.
又∵AD是BC边上的高,
∴∠ADB=90°,
∵在△ABD中∠BAD=90°﹣∠B=25°,
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=10°.
点评:
本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质,高线的性质,解答的关键是三角形的内角和定理,一定要熟稔于心.
【例4】如图,一轮船由B处向C处航行,在B处测得处在B的北偏东75°方向上,在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西30°方向上,若轮船行驶到C处时测得∠BAC=55°,那么从C处看A,B两处的视角∠ACB是多少度?
分析:
根据方位角就可求得BA与正北方向的夹角,即可得到∠ABC,在△ABC中,根据三角形内角和定理即可求得∠ACB的度数.
解答:
解:
∵∠BAE=30°,
∴∠ABD=30°,
∴∠ABC=∠DBC-∠ABD=75°-30°=45°.
在△ABC中,根据三角形内角和定理得到:
∠ACB=180°-45°-55°=80°,
即从C处看A,B两处的视角∠ACB是80°.
点评:
本题主要考查了方位角的定义,以及三角形的内角和定理.
练4.(2010•石家庄二模)如图所示是小李绘制的某大桥断裂的现场草图,若∠1=38°,∠2=23°,则桥面断裂处夹角∠BCD为_____度.
分析:
连接BD,根据对顶角相等得到∠1=∠4=38°,∠2=∠3=23°,然后根据三角形内角和定理进行计算即可.
解答:
解:
连接BD,如图,
∵∠1=∠4=38°,∠2=∠3=23°,
∴∠BCD=180°-∠4-∠3=180°-23°-38°=119°.
故答案为:
119.
点评:
本题考查了三角形内角和定理:
三角形的内角和为180°.也考查了对顶角相等.
课后小测答案:
一、选择题
1.(2014•江北区模拟)在△ABC中,已知∠A=3∠C=54°,则∠B的度数是( )
A.90°B.94°C.98°D.108°
解:
如图所示:
∵∠A=3∠C=54°,
∴∠C=18°,
∴∠B的度数是:
180°﹣∠A﹣∠C=108°.
故选:
D.
2.(2014春•合川区校级期中)已知△ABC中,∠A=20°,∠B=∠C,那么三角形△ABC是( )
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形
解:
∵∠A=20°,
∴∠B=∠C=
(180°﹣20°)=80°,
∴三角形△ABC是锐角三角形.
故选A.
3.(2014春•江阴市校级期中)如图,BE、CF都是△ABC的角平分线,且∠BDC=110°,则∠A=( )
A.50°B.40°C.70°D.35°
解:
∵BE、CF都是△ABC的角平分线,
∴∠A=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=180°﹣2(∠DBC+∠BCD)
∵∠BDC=180°﹣(∠DBC+∠BCD),
∴∠A=180°﹣2(180°﹣∠BDC)
∴∠BDC=90°+
∠A,
∴∠A=2(110°﹣90°)=40°.
故选B.
4.如图,是一块三角形木板的残余部分,量得∠A=100°,∠B=40°,这块三角形木板另外一个角∠C的度数为( )
A.30°B.40°C.50°D.60°
解:
∵△ABC中,∠A=100°,∠B=40°,
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-100°-40°=40°.
故选B.
二、填空题
5.(2014秋•宁津县校级月考)在△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=2:
3:
4,则∠A= ,∠C= .
解:
设∠A=2x°,则∠B=3x°,∠C=4x°,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
即:
2x°+3x°+4x°=180°,
解得:
x=20
∴∠A=40°,则∠B=60°,∠C=80°,
故答案为:
40°、80°
6.(2014•徐州二模)如图,AB∥CD,AD和BC相交于点O,∠A=35°,∠AOB=75°,则∠C= .
解:
∵∠A=35°,∠AOB=75°,
∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠B=180°﹣35°﹣75°=70°.
又∵AB∥CD,
∴∠C=∠B=70°.
7.(2013春•苏州期末)如图,CD、CE分别是△ABC的高和角平分线,∠A=30°,∠B=60°,则∠DCE= .
解:
∵∠A=30°,∠B=60°,
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=90°,
∵CD、CE分别是△ABC的高和角平分线,
∴∠BCE=
∠ACB=45°,∠BDC=90°,
∴∠BCD=90°﹣∠B=30°,
∴∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=45°﹣30°=15°.
故答案为:
15°.
三、解答题
8.(2014春•庐江县期末)如图,已知∠DAB=70°,AC平分∠DAB,∠1=35°,求∠D的度数.
解:
∵∠DAB=70°,AC平分∠DAB,
∴∠DAC=35°,
又∵∠1=35°,
∴∠D=180°﹣(∠1+∠DAC)=180°﹣(35°+35°)=110°.
9.(2012春•中山区期中)已知,如图,AB∥CD,AE平分∠BAC,CE平分∠ACD,求∠E的度数.
解:
∵AB∥CD,AE平分∠BAC,CE平分∠ACD,
又∠BAC+∠DCA=180°⇒∠CAE+∠ACE=
(∠BAC+∠DCA)=90°,
∠E=180°﹣(∠CAE+∠ACE)=90°,
∴∠E=90°.
10.(2011春•宣威市校级月考)如图所示,已知图①五角星ABCDE,将图①中的A点向下移动得到图②,将图①中的C点向上移动得图③,对于五角星及五角星的变形图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的和为多少度?
并选择一图加以说明.
解:
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°,
图①:
∵∠A+∠D=∠BNM,∠E+∠C=∠BMN,(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和),
又∵∠B+∠BNM+∠BMN=180
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
图②:
延长AD交BE于点F,再根据三角形外角的性质解答;
③同①,∵∠A+∠C=∠1,∠B+∠E=∠2,
∠1+∠2+∠D=180°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
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