初中数学二次函数学案合集.docx
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初中数学二次函数学案合集
第1课时26.1二次函数
一、阅读教科书第4—6页上方
二、学习目标:
1.知道二次函数的一般表达式;
2.会利用二次函数的概念分析解题;
3.列二次函数表达式解实际问题.
三、知识点:
一般地,形如____________________________的函数,叫做二次函数。
其中x是________,a是__________,b是___________,c是_____________.
四、基本知识练习
1.观察:
①y=6x2;②y=-
x2+30x;③y=200x2+400x+200.这三个式子中,虽然函数有一项的,两项的或三项的,但自变量的最高次项的次数都是______次.一般地,如果y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0),那么y叫做x的_____________.
2.函数y=(m-2)x2+mx-3(m为常数).
(1)当m__________时,该函数为二次函数;
(2)当m__________时,该函数为一次函数.
3.下列函数表达式中,哪些是二次函数?
哪些不是?
若是二次函数,请指出各项对应项的系数.
(1)y=1-3x2
(2)y=3x2+2x(3)y=x(x-5)+2
(4)y=3x3+2x2(5)y=x+
五、课堂训练
1.y=(m+1)x
-3x+1是二次函数,则m的值为_________________.
2.下列函数中是二次函数的是()
A.y=x+
B.y=3(x-1)2C.y=(x+1)2-x2D.y=
-x
3.在一定条件下,若物体运动的路段s(米)与时间t(秒)之间的关系为
s=5t2+2t,则当t=4秒时,该物体所经过的路程为()
A.28米B.48米C.68米D.88米
4.n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式_______________________.
5.已知y与x2成正比例,并且当x=-1时,y=-3.
求:
(1)函数y与x的函数关系式;
(2)当x=4时,y的值;
(3)当y=-
时,x的值.
6.为了改善小区环境,某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD,绿化带一边靠墙,另三边用总长为40m的栅栏围住(如图).若设绿化带的BC边长为xm,绿化带的面积为ym2.求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
六、目标检测
1.若函数y=(a-1)x2+2x+a2-1是二次函数,则()
A.a=1B.a=±1C.a≠1D.a≠-1
2.下列函数中,是二次函数的是()
A.y=x2-1B.y=x-1C.y=
D.y=
3.一个长方形的长是宽的2倍,写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式.
4.已知二次函数y=-x2+bx+3.当x=2时,y=3,求这个二次函数解析式.
第5课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
一、阅读课本:
第12页~第13页上方.
二、学习目标:
1.会画二次函数的顶点式y=a(x-h)2+k的图象;
2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质;
3.会应用二次函数y=a(x-h)2+k的性质解题.
三、探索新知:
画出函数y=-
(x+1)2-1的图象,指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性.
列表:
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
y=-
(x+1)2-1
…
…
由图象归纳:
1.
函数
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
y=-
(x+1)2-1
2.把抛物线y=-
x2向_______平移______个单位,再向_______平移_______个单位,就得到抛物线y=-
(x+1)2-1.
四、理一理知识点
y=ax2
y=ax2+k
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
(对称轴右侧)
2.抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状___________,位置________________.
五、课堂练习
1.
y=3x2
y=-x2+1
y=
(x+2)2
y=-4(x-5)2-3
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
(对称轴左侧)
2.y=6x2+3与y=6(x-1)2+10_____________相同,而____________不同.
3.顶点坐标为(-2,3),开口方向和大小与抛物线y=
x2相同的解析式为()
A.y=
(x-2)2+3B.y=
(x+2)2-3
C.y=
(x+2)2+3D.y=-
(x+2)2+3
4.二次函数y=(x-1)2+2的最小值为__________________.
5.将抛物线y=5(x-1)2+3先向左平移2个单位,再向下平移4个单位后,得到抛物线的解析式为_______________________.
6.若抛物线y=ax2+k的顶点在直线y=-2上,且x=1时,y=-3,求a、k的值.
7.若抛物线y=a(x-1)2+k上有一点A(3,5),则点A关于对称轴对称点A’的坐标为
__________________.
六、目标检测
1.
开口方向
顶点
对称轴
y=x2+1
y=2(x-3)2
y=-(x+5)2-4
2.抛物线y=-3(x+4)2+1中,当x=_______时,y有最________值是________.
3.足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化,这一过程可近似地用下列哪幅图表示()
ABCD
4.将抛物线y=2(x+1)2-3向右平移1个单位,再向上平移3个单位,则所得抛物线的表达式为________________________.
5.一条抛物线的对称轴是x=1,且与x轴有唯一的公共点,并且开口方向向下,则这条抛物线的解析式为____________________________.(任写一个)
第6课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
一、阅读课本:
第14页~第15页上方.
二、学习目标:
1.配方法求二次函数一般式y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴;
2.熟记二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标公式;
3.会画二次函数一般式y=ax2+bx+c的图象.
三、探索新知:
1.求二次函数y=
x2-6x+21的顶点坐标与对称轴.
解:
将函数等号右边配方:
y=
x2-6x+21
2.画二次函数y=
x2-6x+21的图象.
解:
y=
x2-6x+21配成顶点式为_______________________.
列表:
x
…
3
4
5
6
7
8
9
…
y=
x2-6x+21
…
…
3.用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点与对称轴.
四、理一理知识点:
y=ax2
y=ax2+k
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+bx+c
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
(对称轴左侧)
五、课堂练习
1.用配方法求二次函数y=-2x2-4x+1的顶点坐标.
2.用两种方法求二次函数y=3x2+2x的顶点坐标.
3.二次函数y=2x2+bx+c的顶点坐标是(1,-2),则b=________,c=_________.
4.已知二次函数y=-2x2-8x-6,当___________时,y随x的增大而增大;当x=________时,y有_________值是___________.
六、目标检测
1.用顶点坐标公式和配方法求二次函数y=
x2-2-1的顶点坐标.
2.二次函数y=-x2+mx中,当x=3时,函数值最大,求其最大值.
第7课时二次函数y=ax2+bx+c的性质
一、复习知识点:
第6课中“理一理知识点”的内容.
二、学习目标:
1.懂得求二次函数y=ax2+bx+c与x轴、y轴的交点的方法;
2.知道二次函数中a,b,c以及△=b2-4ac对图象的影响.
三、基本知识练习
1.求二次函数y=x2+3x-4与y轴的交点坐标为_______________,与x轴的交点坐标____________.
2.二次函数y=x2+3x-4的顶点坐标为______________,对称轴为______________.
3.一元二次方程x2+3x-4=0的根的判别式△=______________.
4.二次函数y=x2+bx过点(1,4),则b=________________.
5.一元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0),△>0时,一元二次方程有_______________,
△=0时,一元二次方程有___________,△<0时,一元二次方程_______________.
四、知识点应用
1.求二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点(含y=0时,则在函数值y=0时,x的值是抛物
线与x轴交点的横坐标).
例1求y=x2-2x-3与x轴交点坐标.
2.求二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点(含x=0时,则y的值是抛物线与y轴交点的纵
坐标).
例2求抛物线y=x2-2x-3与y轴交点坐标.
3.a、b、c以及△=b2-4ac对图象的影响.
(1)a决定:
开口方向、形状
(2)c决定与y轴的交点为(0,c)
(3)b与-
共同决定b的正负性
(4)△=b2-4ac
例3如图,由图可得:
a_______0
b_______0
c_______0
△______0
例4已知二次函数y=x2+kx+9.
①当k为何值时,对称轴为y轴;
②当k为何值时,抛物线与x轴有两个交点;
③当k为何值时,抛物线与x轴只有一个交点.
五、课后练习
1.求抛物线y=2x2-7x-15与x轴交点坐标__________,与y轴的交点坐标为_______.
2.抛物线y=4x2-2x+m的顶点在x轴上,则m=__________.
3.如图:
由图可得:
a_______0
b_______0
c_______0
△=b2-4ac______0
六、目标检测
1.求抛物线y=x2-2x+1与y轴的交点坐标为_______________.
2.若抛物线y=mx2-x+1与x轴有两个交点,求m的范围.
3.如图:
由图可得:
a_________0
b_________0
c_________0
△=b2-4ac_________0
第8课时二次函数y=ax2+bx+c解析式求法
一、学习目标:
1.会用待定系数法求二次函数的解析式;
2.实际问题中求二次函数解析式.
二、课前基本练习
1.已知二次函数y=x2+x+m的图象过点(1,2),则m的值为________________.
2.已知点A(2,5),B(4,5)是抛物线y=4x2+bx+c上的两点,则这条抛物线的对称轴为_____________________.
3.将抛物线y=-(x-1)2+3先向右平移1个单位,再向下平移3个单位,则所得抛物线的
解析式为____________________.
4.抛物线的形状、开口方向都与抛物线y=-
x2相同,顶点在(1,-2),则抛物线的解
析式为________________________________.
三、例题分析
例1已知抛物线经过点A(-1,0),B(4,5),C(0,-3),求抛物线的解析式.
例2已知抛物线顶点为(1,-4),且又过点(2,-3).求抛物线的解析式.
例3已知抛物线与x轴的两交点为(-1,0)和(3,0),且过点(2,-3).
求抛物线的解析式.
四、归纳
用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法:
1.已知抛物线过三点,设一般式为y=ax2+bx+c.
2.已知抛物线顶点坐标及一点,设顶点式y=a(x-h)2+k.
3.已知抛物线与x轴有两个交点(或已知抛物线与x轴交点的横坐标),
设两根式:
y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标)
五、实际问题中求二次函数解析式
例4要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
六、课堂训练
1.已知二次函数的图象过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点,求这个二次函数的关系式.
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为(-2,-3),且图像过点(-3,-2),求这个二次
函数的解析式.
3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与
y轴交于点C(0,3),求二次函数的顶点坐标.
4.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化?
写出函数关系式及t的取值范围.
七、目标检测
1.已知二次函数的图像过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,求这个二次函数解析式.
第9课时二次函数y=ax2+bx+c的性质
一、阅读教科书:
P15的探究
二、学习目标:
几何问题中应用二次函数的最值.
三、课前基本练习
1.抛物线y=-(x+1)2+2中,当x=___________时,y有_______值是__________.
2.抛物线y=
x2-x+1中,当x=___________时,y有_______值是__________.
3.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)中,当x=___________时,y有_______值是__________.
四、例题分析:
(P15的探究)
用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化,当l是多少时,场地的面积S最大?
五、课后练习
1.已知直角三角形两条直角边的和等于8,两条直角边各为多少时,这个直角三角形的面积最大,最大值是多少?
2.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:
m)与小球运动时间t(单位:
s)之间的关系式是h=30t-5t2.小球运动的时间是多少时,小球最高?
小球运动中的最大高度是多少?
3.如图,四边形的两条对角线AC、BD互相垂直,AC+BD=10,当AC、BD的长是多少时,四边形ABCD的面积最大?
4.一块三角形废料如图所示,∠A=30°,∠C=90°,AB=12.用这块废料剪出一个长方形CDEF,其中,点D、E、F分别在AC、AB、BC上.要使剪出的长方形CDEF面积最大,点E应造在何处?
六、目标检测
如图,点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形.当
点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小?
第11课时实际问题与二次函数
商品价格调整问题
一、阅读课本:
第25~26页上方(探究1)
二、学习目标:
1.懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法;
2.会应用二次函数的性质解决问题.
三、探索新知
某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:
如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?
分析:
调整价格包括涨价和降价两种情况,用怎样的等量关系呢?
解:
(1)设每件涨价x元,则每星期少卖_________件,实际卖出_________件,设商品的利润为y元.
(2)设每件降价x元,则每星期多卖_________件,实际卖出__________件.
四、课堂训练
1.某种商品每件的进价为30元,在某段时间内若以每件x元出售,可卖出(100-x)件,应如何定价才能使利润最大?
2.蔬菜基地种植某种蔬菜,由市场行情分析知,1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x(月
份)与市场售价P(元/千克)的关系如下表:
上市时间x/(月份)
1
2
3
4
5
6
市场售价P(元/千克)
10.5
9
7.5
6
4.5
3
这种蔬菜每千克的种植成本y(元/千克)与上市时间x(月份)满足一个函数关系,这个函数的图象是抛物线的一段(如图).
(1)写出上表中表示的市场售价P(元/千克)关于上市时间x(月份)的函数关系式;
(2)若图中抛物线过A、B、C三点,写出抛物线对应的函数关系式;
(3)由以上信息分析,哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大?
最大值为多少?
(收益=市场售价-种植成本)
五、目标检测
某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空间.对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定介增加x元,求:
(1)房间每天入住量y(间)关于x(元)的函数关系式;
(2)该宾馆每天的房间收费z(元)关于x(元)的函数关系式;
(3)该宾馆客房部每天的利润w(元)关于x(元)的函数关系式,当每个房间的定价为多少元时,w有最大值?
最大值是多少?
第12课时实际问题与二次函数
一、阅读课本:
第27页探究3
二、学习目标:
1.会建立直角坐标系解决实际问题;
2.会解决桥洞水面宽度问题.
三、基本知识练习
1.以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时,可设这条抛物线
的关系式为___________________________________.
2.拱桥呈抛物线形,其函数关系式为y=-
x2,当拱桥下水位线在AB位置时,水面宽为
12m,这时水面离桥拱顶端的高度h是()
A.3mB.2
mC.4
mD.9m
3.有一抛物线拱桥,已知水位线在AB位置时,水面的宽为4
米,水位上升4米,就达到警戒线CD,这时水面宽为4
米.若洪水到来时,水位以每小时0.5米的速度上升,则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处?
四、课堂练习
1.一座拱桥的轮廓是抛物线(如图①所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图②所示),其关系式y=ax2+c的形式,请根据所给的数据求出a、c的值;
(2)求支柱MN的长度;
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m,高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?
请说说你的理由.
2.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式.
(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1h时,忽然接到紧急通知:
前方连降暴雨,造成水位以每小0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行).试问:
如果货车按原来速度行驶,能否安全通过此桥?
若能,请说明理由.若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?
第13课时二次函数综合应用
一、复习二次函数的基本性质
二、学习目标:
灵活运用二次函数的性质解决综合性的问题.
三、课前训练
1.二次函数y=kx2+2x+1(k<0)的图象可能是()
2.如图:
(1)当x为何范围时,y1>y2?
(2)当x为何范围时,y1=y2?
(3)当x为何范围时,y1<y2?
3.如图,是二次函数y=ax2-x+a2-1的
图象,则a=____________.
4.若A(-
,y1),B(-1,y2),C(
,y3)为二次函数y=-x2-4x+5图象上的三点,则y1、y2、y3的大小关系是()
A.y1<y2<y3B.y3<y2<y1C.y3<y1<y2D.y2<y1<y3
5.抛物线y=(x-2)(x+5)与坐标轴的交点分别为A、B、C,则△ABC的面积为__________.
6.如图,已知在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边AD在x轴上,点A在原点,AB=3,AD=5.若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向做匀速运动,同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A→B→C→D的路线做匀速运动.当点P运动到点D时停止运动,矩形ABCD也随之停止运动.
(1)求点P从点A运动到点D所需的时间.
(2)设点P运动时间为t(秒)
①当t=5时,求出点P的坐标.
②若△OAP的面积为S,试求出S与
t之间的函数关系式(并写出相应
的自变量t的取值范围).
五、目标检测
如图,二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A(-1,0),B(3,0)两交点,且交y轴于
点C.
(1)求b、c的值;
(2)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D,点M为此抛物线的顶点,试确定△MCD的形状.
第4课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
一、阅读课本:
P10—11
二、学习目标:
1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象;
2.掌握二次函数y=a(x-h)2的性质,并要会灵活应用;
三、探索新知:
画出二次函数y=-
(x+1)2,y-
(x-1)2的图象,并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性.
先列表:
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y=-
(x+1)2
…
…
y=-
(x-1)2
…
…
描点并画图.
1.观察图象,填表:
函数
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
y=-
(x+1)2
y=-
(x-1)2
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- 初中 数学 二次 函数 学案合集