初中数学竞赛专题辅导 同余式.docx
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初中数学竞赛专题辅导同余式
初中数学竞赛专题辅导同余式
数论有它自己的代数,称为同余理论.最先引进同余的概念与记号的是数学王子高斯.
先看一个游戏:
有n+1个空格排成一行,第一格中放入一枚棋子,甲乙两人交替移动棋子,每步可前移1,2或3格,以先到最后一格者为胜.问是先走者胜还是后走者胜?
应该怎样走才能取胜?
取胜之道是:
你只要设法使余下的空格数是4的倍数,以后你的对手若走i格(i=1,2,3),你走4-i格,即每一次交替,共走了4格.最后只剩4个空格时,你的对手就必输无疑了.因此,若n除以4的余数是1,2或3时,那么先走者甲胜;若n除以4的余数是0的话,那么后走者乙胜.
在这个游戏里,我们可以看出,有时我们不必去关心一个数是多少,而要关心这个数用m除后的余数是什么.又例如,1999年元旦是星期五,1999年有365天,365=7×52+1,所以2000年的元旦是星期六.这里我们关心的也是余数.这一讲中,我们将介绍同余的概念、性质及一些简单的应用.
同余,顾名思义,就是余数相同.
定义1给定一个正整数m,如果用m去除a,b所得的余数相同,则称a与b对模m同余,记作
a≡b(modm),
并读作a同余b,模m.
若a与b对模m同余,由定义1,有
a=mq1+r,b=mq2+r.
所以a-b=m(q1-q2),
即m|a-b.
反之,若m|a-b,设
a=mq1+r1,b=mq2+r2,0≤r1,r2≤m-1,
则有m|r1-r2.因|r1-r2|≤m-1,故r1-r2=0,即r1=r2.
于是,我们得到同余的另一个等价定义:
定义2若a与b是两个整数,并且它们的差a-b能被一正整数m整除,那么,就称a与b对模m同余.
同余式的写法,使我们联想起等式.其实同余式和代数等式有一些相同的性质,最简单的就是下面的定理1.
定理1
(1)a≡a(modm).
(2)若a≡b(modm),则b≡a(modm).
(3)若a≡b(modm),b≡c(modm),则a≡c(modm).
在代数中,等式可以相加、相减和相乘,同样的规则对同余式也成立.
定理2若a≡b(modm),c≡d(modm),则
a±c≡b±d(modm),ac≡bd(modm).
证由假设得m|a-b,m|c-d,所以
m|(a±c)-(b±d),m|c(a-b)+b(c-d),
即
a±c≡b±d(modm),ac≡bd(modm).
由此我们还可以得到:
若a≡b(modm),k是整数,n是自然数,则
a±k≡b±k(modm),
ak≡bk(modm),an≡bn(modm).
对于同余式ac≡bc(modm),我们是否能约去公约数c,得到一个正确的同余式a≡b(modm)?
在这个问题上,同余式与等式是不同的.例如
25≡5(mod10),
约去5得
5≡1(mod10).
这显然是不正确的.但下面这种情形,相约是可以的.
定理3若ac≡bc(modm),且(c,m)=1,则
a≡b(modm).
证由题设知
ac-bc=(a-b)c=mk.
由于(m,c)=1,故m|a-b,即a≡b(modm).
定理4若n≥2,
a≡b(modm1),
a≡b(modm2),
…………
a≡b(modmn),
且M=[m1,m2,…,mn]表示m1,m2,…,mn的最小公倍数,则
a≡b(modM).
前面介绍了同余式的一些基本内容,下面运用同余这一工具去解决一些具体问题.
应用同余式的性质可以简捷地处理一些整除问题.若要证明m整除a,只需证a≡0(modm)即可.
例1求证:
(1)8|(551999+17);
(2)8(32n+7);
(3)17|(191000-1).
证
(1)因55≡-1(mod8),所以551999≡-1(mod8),551999+17≡-1+17=16≡0(mod8),于是8|(551999+17).
(2)32=9≡1(mod8),32n≡1(mod8),所以32n+7≡1+7≡0(mod8),即8|(32n+7).
(3)19≡2(mod17),194≡24=16≡-1(mod17),所以191000=(194)250≡(-1)250≡1(mod17),于是
17|(191000-1).
例2求使2n-1为7的倍数的所有正整数n.
解因为23≡8≡1(mod7),所以对n按模3进行分类讨论.
(1)若n=3k,则
2n-1=(23)k-1=8k-1≡1k-1=0(mod7);
(2)若n=3k+1,则
2n-1=2·(23)k-1=2·8k-1
≡2·1k-1=1(mod7);
(3)若n=3k+2,则
2n-1=22·(23)k-1=4·8k-1
≡4·1k-1=3(mod7).
所以,当且仅当3|n时,2n-1为7的倍数.
例3对任意的自然数n,证明
A=2903n-803n-464n+261n
能被1897整除.
证1897=7×271,7与271互质.因为
2903≡5(mod7),
803≡5(mod7),
464≡2(mod7),
261≡2(mod7),
所以
A=2903n-803n-464n+261n
≡5n-5n-2n+2n=0(mod7),
故7|A.又因为
2903≡193(mod271),
803≡261(mod271),
464≡193(mod271),
所以
故271|A.因(7,271)=1,所以1897整除A.
例4把1,2,3…,127,128这128个数任意排列为a1,a2,…,a128,计算出
|a1-a2|,|a3-a4|,…,|a127-a128|,
再将这64个数任意排列为b1,b2,…,b64,计算
|b1-b2|,|b3-b4|,…,|b63-b64|.
如此继续下去,最后得到一个数x,问x是奇数还是偶数?
解因为对于一个整数a,有
|a|≡a(mod2),a≡-a(mod2),
所以
b1+b2+…+b64
=|a1-a2|+|a3-a4|+…+|a127-a128|
≡a1-a2+a3-a4+…+a127-a128
≡a1+a2+a3+a4+…+a127+a128(mod2),
因此,每经过一次“运算”,这些数的和的奇偶性是不改变的.最终得到的一个数
x≡a1+a2+…+a128=1+2+…+128
=64×129≡0(mod2),
故x是偶数.
如果要求一个整数除以某个正整数的余数,同余是一个有力的工具.另外,求一个数的末位数字就是求这个数除以10的余数,求一个数的末两位数字就是求这个数除以100的余数.
例5求证:
一个十进制数被9除的余数等于它的各位数字之和被9除的余数.
10≡1(mod9),
故对任何整数k≥1,有
10k≡1k=1(mod9).
因此
即A被9除的余数等于它的各位数字之和被9除的余数.
说明
(1)特别地,一个数能被9整除的充要条件是它的各位数字之和能被9整除.
(2)算术中的“弃九验算法”就是依据本题的结论.
例6任意平方数除以4余数为0和1(这是平方数的重要特征).
证因为
奇数2=(2k+1)2=4k2+4k+1≡1(mod4),
偶数2=(2k)2=4k2≡0(mod4),
所以
例7任意平方数除以8余数为0,1,4(这是平方数的又一重要特征).
证奇数可以表示为2k+1,从而
奇数2=4k2+4k+1=4k(k+1)+1.
因为两个连续整数k,k+1中必有偶数,所以4k(k+1)是8的倍数,从而
奇数2=8t+1≡1(mod8),
偶数2=(2k)2=4k2(k为整数).
(1)若k=偶数=2t,则
4k2=16t2=0(mod8).
(2)若k=奇数=2t+1,则
4k2=4(2t+1)2=16(t2+t)+4≡4(mod8),
所以
求余数是同余的基本问题.在这种问题中,先求出与±1同余的数是一种基本的解题技巧.
例8
(1)求33除21998的余数.
(2)求8除72n+1-1的余数.
解
(1)先找与±1(mod33)同余的数.因为
25=32≡-1(mod33),
所以210≡1(mod33),
21998=(210)199·25·23≡-8≡25(mod33),
所求余数为25.
(2)因为7≡-1(mod8),所以
72n+1≡(-1)2n+1=-1(mod8),
72n+1-1≡-2≡6(mod8),
即余数为6.
例9形如
Fn=22n+1,n=0,1,2,…
的数称为费马数.证明:
当n≥2时,Fn的末位数字是7.
证当n≥2时,2n是4的倍数,故令2n=4t.于是
Fn=22n+1=24t+1=16t+1
≡6t+1≡7(mod10),
即Fn的末位数字是7.
说明费马数的头几个是
F0=3,F1=5,F2=17,F3=257,F4=65537,
它们都是素数.费马便猜测:
对所有的自然数n,Fn都是素数.然而,这一猜测是错误的.首先推翻这个猜测的是欧拉,他证明了下一个费马数F5是合数.证明F5是合数,留作练习.
利用同余还可以处理一些不定方程问题.
例10证明方程
x4+y4+2=5z
没有整数解.
证对于任一整数x,以5为模,有
x≡0,±1,±2(mod5),
x2≡0,1,4(mod5),
x4≡0,1,1(mod5),
即对任一整数x,
x4≡0,1(mod5).
同样,对于任一整数y
y4≡0,1(mod5),
所以x4+y4+2≡2,3,4(mod5),
从而所给方程无整数解.
说明同余是处理不定方程的基本方法,但这种方法也非常灵活,关键在于确定所取的模(本例我们取模5),这往往应根据问题的特点来确定.
练习二十五
1.求证:
17|(191000-1).
2.证明:
对所有自然数n,330|(62n-52n-11).
4.求21000除以13的余数.
5.求15+25+35+…+995+1005除以4所得的余数.
6.今天是星期天,过3100天是星期几?
再过51998天又是星期几?
7.求n=1×3×5×7×…×1999的末三位数字.
8.证明不定方程x2+y2-8z=6无整数解.
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