步步高《单元滚动检测卷》高考数学理京津地区精练十一计数原理概率随机变量及其分布.docx
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步步高《单元滚动检测卷》高考数学理京津地区精练十一计数原理概率随机变量及其分布
高三单元滚动检测卷·数学
考生注意:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页.
2.答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上.
3.本次考试时间120分钟,满分150分.
4.请在密封线内作答,保持试卷清洁完整.
单元检测十一 计数原理、概率、随机变量及其分布
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.将甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学,若每所大学至少保送1人,且甲不能被保送到北大,则不同的保送方案共有( )
A.150种B.114种
C.100种D.72种
2.
如图,是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体,现用红、蓝两种颜色为其涂色,每个图形只能涂一种颜色,则三个形状颜色不全相同的概率为( )
A.B.
C.D.
3.(2015·山西四校联考)若(x6+)n的展开式中含有常数项,则正整数n的最小值等于( )
A.3B.4
C.5D.6
4.(2015·东北三省联考)在五次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不小于其恰好发生2次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是( )
A.(0,]B.(0,]
C.(0,]D.(0,]
5.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X,则X的均值E(X)等于( )
A.B.
C.D.
6.若P(X≤n)=1-a,P(X≥m)=1-b,其中m A.(1-a)(1-b)B.1-a(1-b) C.1-(a+b)D.1-b(1-a) 7.(2015·辽宁五校联考)设k是一个正整数,已知(1+)k的展开式中第四项的系数为,函数y=x2与y=kx的图象所围成的区域如图中阴影部分所示,任取x∈[0,4],y∈[0,16],则点(x,y)恰好落在阴影部分内的概率为( ) A.B. C.D. 8.用直线y=m和直线y=x将区域x2+y2≤6分成若干块.现在用5种不同的颜色给这若干块染色,每块只染一种颜色,且任意两块不同色,若共有120种不同的染色方法,则实数m的取值范围是( ) A.(-,)B.(-,) C.(-,)D.(-,) 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上) 9.设函数f(x)=ax+(x>1),若a从0,1,2三数中任取一个,b从1,2,3,4四数中任取一个,那么f(x)>b恒成立的概率为________. 10.现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任选3道题作答.已知所选的3道题中有2道甲类题,1道乙类题,设张同学答对每道甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立,则张同学恰好答对2道题的概率为________. 11.(2015·昆明一调)设区域Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2},区域A={(x,y)|xy≤1,(x,y)∈Ω},在区域Ω中随机取一个点,则该点恰好在区域A中的概率为____________. 12.(2015·长沙模拟)从正方体的各表面对角线中随机取两条,这两条表面对角线成的角的度数的均值为________. 13.反复抛掷一个质地均匀的正方体骰子,依次记录每一次落地时骰子向上的点数,当记有三个不同点数时即停止抛掷.若抛掷四次恰好停止,则这四次点数的所有不同结果的种数为________. 14.一只青蛙从数轴的原点出发,当投下的硬币正面向上时,它沿数轴的正方向跳动两个单位;当投下的硬币反面向上时,它沿数轴的负方向跳动一个单位.若青蛙跳动4次停止,设停止时青蛙在数轴上对应的坐标为X,则E(X)=________. 三、解答题(本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)某车站每天上午发出两辆客车,每辆客车发车时刻和发车概率如下: 第一辆车: 在8: 00,8: 20,8: 40发车的概率分别为,,;第二辆车: 在9: 00,9: 20,9: 40发车的概率分别为,,;两辆车发车时刻是相互独立的,一位旅客8: 10到达车站乘车,求: (1)该旅客乘第一辆车的概率; (2)该旅客候车时间(单位: 分钟)的分布列及均值. 16.(13分)袋中有8个大小相同的小球,其中1个黑球,3个白球,4个红球. (1)若从袋中一次摸出2个小球,求恰为异色球的概率; (2)若从袋中一次摸出3个小球,且3个球中,黑球与白球的个数都没有超过红球的个数,记此时红球的个数为ξ,求ξ的分布列及均值E(ξ). 17.(13分)某校50名学生参加智力答题活动,每人回答3个问题,答对题目个数及对应人数统计结果见下表: 答对题目个数 0 1 2 3 人数 5 10 20 15 根据上表信息解答以下问题: (1)从50名学生中任选两人,求两人答对题目个数之和为4或5的概率; (2)从50名学生中任选两人,用X表示这两名学生答对题目个数之差的绝对值,求随机变量X的分布列及均值E(X). 18.(13分)设有甲、乙两门火炮,它们的弹着点与目标之间的距离为随机变量X1和X2(单位: cm),其分布列为 X1 82 83 90 92 98 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 X2 82 86.5 90 92.5 94 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 求E(X1),E(X2),D(X1),D(X2),并分析两门火炮的优劣. 19.(14分)(2015·河南洛阳统考)为了解某地高中生身高情况,研究小组在该地高中生中随机抽出30名高中生的身高制成如图所示的茎叶图(单位: cm). 若身高在175cm以上(包括175cm)定义为“高个子”,身高在175cm以下(不包括175cm)定义为“非高个子”. (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人,再从这5人中选2人,求至少有一人是“高个子”的概率; (2)用样本估计总体,把频率作为概率,若从该地所有高中生(人数很多)中选3人,用ξ表示所选3人中“高个子”的人数,试写出ξ的分布列,并求ξ的均值. 20.(14分)一个盒子中装有六张卡片,上面分别写着如下六个函数: f1(x)=x3,f2(x)=5|x|,f3(x)=2,f4(x)=,f5(x)=sin(+x),f6(x)=xcosx. (1)从中任意抽取2张卡片,若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数.在此条件下,求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率; (2)现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数ξ的分布列和均值. 答案解析 1.C [先将五人分成三组,因为要求每组至少一人, 所以可选择的只有2,2,1或者3,1,1, 所以共有+=25种分组方法, 因为甲不能被保送到北大, 所以有甲的那组只有上海交大和浙大两个选择,剩下的两组无限制,一共有4种方法, 所以不同的保送方案共有25×4=100种.] 2.A [由于每个部分均可选用红、蓝两种颜色涂色,故共有2×2×2=8(个)基本事件,其中颜色全相同的只有红或蓝两种,故三个颜色不全相同的概率为1-=.] 3.C [Tk+1=C(x6)n-k()k=Cx6n-k, 当Tk+1是常数项时,6n-k=0,即n=k,又n∈N*, 故n的最小值为5,故选C.] 4.D [由题意可得Cp(1-p)4≥Cp2(1-p)3, 解得p≤,故p∈(0,].] 5.B [由题意知X可能的取值为0,1,2,3, 故有P(X=0)=, P(X=1)=,P(X=2)=. P(X=3)=, E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=0×+1×+2×+3× ==.] 6.C [P(m≤X≤n)=P(X≤n)+P(X≥m)-1 =(1-a)+(1-b)-1=1-(a+b).] 7.C [由题意得C=,解得k=4, 阴影部分的面积S1=(4x-x2)dx=(2x2-x3)|40 =, ∵任取x∈[0,4],y∈[0,16], ∴以x,y为横、纵坐标的所有可能的点构成的区域面积 S2=4×16=64, 所以所求概率P==. 故选C.] 8.A [区域x2+y2≤6表示以原点O(0,0)为圆心,半径等于的一个圆面(圆周以及圆周内部),直线y=x和圆周的交点为A(,),B(-,-). 直线y=m表示一条和x轴平行的直线, ①当≤|m|<时,圆面被分成了3部分,用5种不同的颜色给这3块染色,每块只染一种颜色,且任意两块不同色,则共有A=60种不同的染色方法,不满足条件. ②当|m|≥时,圆面被分成了2部分,按题中要求的涂色方法共有A=20种,不满足条件. ③显然,当- 9. 解析 当a>0时,f(x)=ax+(x>1)=a(x-1)++a+1≥2+a+1=(+1)2, 因为f(x)>b恒成立,所以(+1)2>b恒成立, 若b=1,则a=1,2;b=2,a=1,2;b=3,a=1,2;b=4,a=2,共7种情况; 当a=0时,f(x)=+1>1,b=1适合,共1种情况.故概率为=. 10. 解析 设张同学答对的甲类题的数目为x,答对的乙类题的数目为y,答对的题的总数为X,则X=x+y, 所以P(X=2)=P(x=2,y=0)+P(x=1,y=1)=C×()2×(1-)+C××(1-)×=. 11. 解析 在平面直角坐标系中画出区域Ω和A,则区域Ω的面积为4, 区域A的面积分成两小块: 一是小长方形的面积,二是曲线y=(x>0)与x=,x=2,y=0所形成的曲边梯形的面积, 则区域A的面积SA=×2+∫2dx=1+2ln2. 根据几何概型的概率计算公式可知该点恰好落在区域A中的概率为=. 12.60° 解析 在正方体中任意两面对角线所成角可能为0°,60°,90°,其中12条对角线中成0°的,即平行的共有6对,成90°的面对角线共有12对,成60°的面对角线共48对,故正方体中任意两面对角线所成角的均值为0°×+90°×+60°×=60°. 13.360 解析 假设第四次抛出的数字为1,则前三次抛出的数字应该是2,3,4,5,6中的两个, 先选一个排在前三个空中,有CC种排法, 再从剩下的四个数字中选一个排在剩余的两个空中,有C种排法, 根据分步乘法计数原理知,共有6CCC=360种不同的结果. 14.2 解析 所有可能出现的情况分别为 硬币4次都反面向上,则青蛙停止时坐标为X1=-4,此时概率P1=; 硬币3次反面向上而1次正面向上,则青蛙停止时坐标为X2=-1,此时概率P2=C·()3·=;硬币2次反面向上而2次正面向上,则青蛙停止时坐标为X3=2,此时概率为P3=C·()2·()2=;硬币1次反面向上而3次正面向上,则青蛙停止时坐标为X4=5,此时概率P4=C14×()1×()3=;硬币4次都正面向上,则青蛙停止时坐标为X5=8,此时概率P5=C×()4=, 所以E(X)=X1P1+X2P2+X3P3+X4P4+X5P5=2. 15.解 (1)记第一辆车在8: 20和8: 40发车的事件分别为A和B,且A、B互斥, ∴P(A+B)=P(A)+P(B)=+=. (2)设该旅客候车时间为ξ(分钟),则ξ的分布列为 ξ 10 30 50 70 90 P × × × ∴E(ξ)=10×+30×+50×+70×+90×=30(分钟). ∴该旅客候车时间的均值是30分钟. 16.解 (1)摸出的2个小球为异色球的种数为 CC+CC=19, 从8个小球中摸出2个小球的种数为C=28. 故所求概率为P=. (2)符合条件的摸法包括以下三类: 一类是有1个红球,1个黑球,1个白球, 共有CCC=12种不同摸法, 一类是有2个红球,1个其他颜色球, 共有CC=24种不同摸法, 一类是所摸得的3个小球均为红球, 共有C=4种不同摸法, 故符合条件的不同摸法共有40种. 由题意知,随机变量ξ的可能取值为1,2,3, 其分布列为 ξ 1 2 3 P E(ξ)=1×+2×+3×=. 17.解 (1)记“两人答对题目个数之和为4或5”为事件A, 则P(A)===, 即两人答对题目个数之和为4或5的概率为. (2)依题意可知X的可能取值分别为0,1,2,3. 则P(X=0)===, P(X=1)===. P(X=2)===. P(X=3)===. 从而X的分布列为 X 0 1 2 3 P X的均值E(X)=0×+1×+2×+3×=. 18.解 根据题意,有E(X1)=(82+83+90+92+98)×0.2=89, E(X2)=(82+86.5+90+92.5+94)×0.2=89, D(X1)=(82-89)2×0.2+(83-89)2×0.2+(90-89)2×0.2+(92-89)2×0.2+(98-89)2×0.2=35.2, D(X2)=(82-89)2×0.2+(86.5-89)2×0.2+(90-89)2×0.2+(92.5-89)2×0.2+(94-89)2×0.2=18.7, 因为E(X1)=E(X2),故两门火炮的平均性能相当, 但D(X1)>D(X2),故乙火炮性能相对较稳定, 则甲火炮性能相对较分散,不够稳定. 19.解 (1)根据茎叶图知,有“高个子”12人,“非高个子”18人, 用分层抽样的方法抽取5人, 又=,所以抽中的“高个子”有12×=2人, “非高个子”有18×=3人, 从这5人中选2人, 用事件A表示“至少有一名‘高个子’被选中”, 则它的对立事件表示“没有‘高个子’被选中”, 则P(A)=1-P()=1-=1-=. 因此,至少有一人是“高个子”的概率是. (2)抽取的30名学生中有12名是“高个子”,所以抽取1名学生,是“高个子”的频率为=,用样本估计总体,把频率作为概率,那么从该地所有高中生中抽取1名学生,是“高个子”的概率是. 从该地所有高中生中抽取3名学生可看成进行3次独立重复试验, 于是,ξ服从二项分布B(3,),ξ的所有可能取值为0,1,2,3. P(ξ=0)=C(1-)3=, P(ξ=1)=C(1-)2=, P(ξ=2)=C()2(1-)=, P(ξ=3)=C()3=. 因此,ξ的分布列如下: ξ 0 1 2 3 P 所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×=(或E(ξ)=3×=). 20.解 (1)f1(x)=x3为奇函数; f2(x)=5|x|为偶函数;f3(x)=2为偶函数; f4(x)=为奇函数;f5(x)=sin(+x)为偶函数;f6(x)=xcosx为奇函数. 所有的基本事件包括两类: 一类为两张卡片上写的函数均为奇函数;另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数,一个为偶函数.故基本事件总数为C23+C13C13, 满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数,故满足条件的基本事件个数为C23, 故所求概率为P==. (2)ξ可取1,2,3,4. P(ξ=1)==, P(ξ=2)=·=, P(ξ=3)=··=, P(ξ=4)=···=. 故ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P E(ξ)=1×+2×+3×+4×=.
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