贝叶斯的例子.docx
- 文档编号:16920023
- 上传时间:2023-07-19
- 格式:DOCX
- 页数:8
- 大小:147.66KB
贝叶斯的例子.docx
《贝叶斯的例子.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《贝叶斯的例子.docx(8页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
贝叶斯的例子
一、什么是贝叶斯推断
贝叶斯推断(Bayesianinference)是一种统计学方法,用来估计统计量的某种性质。
它是贝叶斯定理(Bayes'theorem)的应用。
英国数学家托马斯贝叶斯(ThomasBayes)在1763年发表的一篇论文中,首先提出了这个定理。
贝叶斯推断与其他统计学推断方法截然不同。
它建立在主观判断的基础上,也就是说,你可以不需要客观证据,先估计一个值,然后根据实际结果不断修正。
正是因为它的主观性太强,曾经遭到许多统计学家的诟病。
贝叶斯推断需要大量的计算,因此历史上很长一段时间,无法得到广泛应用。
只有计算机诞生以后,它才获得真正的重视。
人们发现,许多统计量是无法事先进行客观判断的,而互联网时代出现的大型数据集,再加上高速运算能力,为验证
这些统计量提供了方便,也为应用贝叶斯推断创造了条件,它的威力正在日益显
现。
二、贝叶斯定理
要理解贝叶斯推断,必须先理解贝叶斯定理。
后者实际上就是计算"条件概率"的
公式。
所谓"条件概率"(Conditionalprobability),就是指在事件B发生的情况下,事
件A发生的概率,用P(A|B)来表示。
根据文氏图,可以很清楚地看到在事件B发生的情况下,事件A发生的概率就是
P(AnB)除以P(B)。
P(A\B)=
P(AnB)
因此,
同理可得,
|P(AnB)=F(B|A)P(A)
所以,
P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)
即
'17P(B)
这就是条件概率的计算公式。
三、全概率公式
由于后面要用到,所以除了条件概率以外,这里还要推导全概率公式
假定样本空间S,是两个事件A与A的和。
上图中,红色部分是事件A,绿色部分是事件A',它们共同构成了样本空间S
在这种情况下,事件B可以划分成两个部分
即
P(B)=P(BAA)+P(Bn")
在上一节的推导当中,我们已知
|P(BnA)=F(B|A)P(A)
所以,
p(B)=P(B\A)P(A)+P(B|
这就是全概率公式。
它的含义是,如果A和A构成样本空间的一个划分,那么事件B的概率,就等于A和A'的概率分别乘以B对这两个事件的条件概率之和。
将这个公式代入上一节的条件概率公式,就得到了条件概率的另一种写法:
P(A\B)=
P(B\A)P(A)
P(B|A)P(A)+P(B|
四、贝叶斯推断的含义
对条件概率公式进行变形,可以得到如下形式:
P(A\B)=P(A)
我们把P(A)称为"先验概率"(Priorprobability),即在B事件发生之前,我们对
A事件概率的一个判断。
P(A|B)称为"后验概率"(Posteriorprobability),即在
B事件发生之后,我们对A事件概率的重新评估。
P(B|A)/P(B)称为"可能性函数"
(Likelyhood),这是一个调整因子,使得预估概率更接近真实概率。
所以,条件概率可以理解成下面的式子:
后验概率二先验概率X调整因子
这就是贝叶斯推断的含义。
我们先预估一个"先验概率",然后加入实验结果,看这个实验到底是增强还是削弱了"先验概率",由此得到更接近事实的"后验概率"。
在这里,如果"可能性函数"P(B|A)/P(B)>1,意味着"先验概率"被增强,事件A的发生的可能性变大;如果"可能性函数"=1,意味着B事件无助于判断事件A的可能性;如果"可能性函数"<1,意味着"先验概率"被削弱,事件A的可能性变小。
五、【例子】水果糖问题
为了加深对贝叶斯推断的理解,我们看两个例子。
3010:
2020
#1:
#2
第一个例子。
两个一模一样的碗,一号碗有30颗水果糖和10颗巧克力糖,二号碗有水果糖和巧克力糖各20颗。
现在随机选择一个碗,从中摸出一颗糖,发现是水果糖。
请冋这颗水果糖来自一号碗的概率有多大?
我们假定,H1表示一号碗,H2表示二号碗。
由于这两个碗是一样的,所以
P(H1)=P(H2),也就是说,在取出水果糖之前,这两个碗被选中的概率相同。
因此,P(H1)=0.5,我们把这个概率就叫做"先验概率",即没有做实验之前,来自一号碗的概率是0.5。
再假定,E表示水果糖,所以问题就变成了在已知E的情况下,来自一号碗的概率有多大,即求P(H1|E)。
我们把这个概率叫做"后验概率",即在E事件发生之
后,对P(H1)的修正。
根据条件概率公式,得到
尸(旳E)"3】)罟器
求出P(E)就可以得到答案。
根据全概率公式,
P(E)=P(E|Hi)P(Hi)+P(E|HJP(H:
所以,
P{E)=0.75x0.5+0.5x0.5=0.625
将数字代入原方程,得到
这表明,来自一号碗的概率是0.6。
也就是说,取出水果糖之后,H1事件的可能性得到了增强。
六、【例子】假阳性问题
第二个例子是一个医学的常见问题,与现实生活关系紧密
已知某种疾病的发病率是0.001,即1000人中会有1个人得病。
现有一种试剂可以检验患者是否得病,它的准确率是0.99,即在患者确实得病的情况下,它有99%的可能呈现阳性。
它的误报率是5%,即在患者没有得病的情况下,它有5%的可能呈现阳性。
现有一个病人的检验结果为阳性,请问他确实得病的可能性有多大?
假定A事件表示得病,那么P(A)为0.001。
这就是"先验概率",即没有做试验之前,我们预计的发病率。
再假定B事件表示阳性,那么要计算的就是P(A|B)。
这就是"后验概率",即做了试验以后,对发病率的估计。
根据条件概率公式,
用全概率公式改写分母,
P(A\B)=P(A)
P{B\A)P{A)+P{B\A)P(A)
将数字代入,
我们得到了一个惊人的结果,P(A|B)约等于0.019。
也就是说,即使检验呈现阳性,病人得病的概率,也只是从0.1%增加到了2%左右。
这就是所谓的"假阳性",即阳性结果完全不足以说明病人得病。
为什么会这样?
为什么这种检验的准确率高达99%,但是可信度却不到2%?
答案是与它的误报率太高有关。
(【习题】如果误报率从5%降为1%,请问病人得病的概率会变成多少?
)
有兴趣的朋友,还可以算一下"假阴性"问题,即检验结果为阴性,但是病人确实得病的概率有多大。
然后问自己,"假阳性"和"假阴性",哪一个才是医学检验的主要风险?
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 贝叶斯 例子