不定积分59例资料.docx
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不定积分59例资料
不定积分59例
1、
dx
~2x
%皿击L&
2、
dx
x
3、
5
&1-x2
3
1x2
dx=5arcsinx-3arctanxC
4、
5、
6、
7、
x
1dxFire}1
lnxC
2xln二e
J(nxex—丄dx=fSefdx—1£=何e)\2x丿」2」xI」
2
cscxcscx-cotxdx二cscxdx-cscxcotxdx--cotxcscxC
fdx
J-
sin
2
xcos
22
sinxcosx
22
xsinxcosx
22
dx=cscxdx亠isecxdx--cotxtanxC
cot2
xdx
cscx-1dx二-cotx-xC
2dx
1x2
x4-11
1x2
21113
dx=『x—1+2dx=—x-x+arctanx+C
1+x2丿3
1..|
5''_丄J(1—2xYd(1_2x)=-1
22
dxa1xx
2arctan—‘1+(x5)ala丿
11sin5xd5x5x=usinudu
5
10、J(1-2x『dx=
9、
sin5xdx
11、4
ax
12、idx_—
3/22
.a-x
dxa二arcsin
J-xa2
fxnxn」dx=-n
fxndxn
13、x1-x
dx
2x3
xedx=「
1
cos(5x)C
5
171
——(1—2x)+C
71
x!
丄_
〔aJ
e"d_x3—C
3
111,
15、Jpcos—dx=—Jcos—d—
xxxix丿
⑴一sin⑴+C
x
L八1r“
Wdx=-d〕]]
IXlx丿丿
cosxdx
tanxdx
cotxdx
secxdx
cscxdx=
二2cosixdx二2sinxC
—dx=xlnx
2cos
dx
sinxdxcosx
cosxdxsinx
dx二2dx
dcosx
=_lncosxC=lnsecxC
cosx
dsinx
lnsinxC--lncosxCsinx
secxsecxtanx
dx
secxtanx
cscx(cscx-cotx£
cscx-cotx
Inx
x1tanx
1ex
dx
1-ex
=lnInxC
dsecxtanX=lnsecxtanxCsecxtanx
dcscx-cotxyncscx—cotxCcscx-cotx
•^n^rtanx1C
tanx1
=ln1exC
1ex-
x
1-ex
二x「ln1exC
2x
1e
dx
dex
1ex
-arctanexC
Vx2
x2
dx
~~2
-a
2
x
1x2
e_1%dx=_e_1*d_1x2
C
dx
2a'lx—ax+a丿
ln
2a
一x一2dx
x21_x_3
1x2
2a
1dx21
dx
31x
d(x-a)
d(xa)
xa
—dx
1x2
2=x-1ln1x2-3arctanxC
22
x-4,12x-2-6,1dx2-2x5门dx
""2dx2dx232
x2-2x52x2-2x52x2-2x5x-124
13x-1
=—lnx-2x5A-arctanC
222
16、
17、
18
19、
20、
21、
22、
23、
24、
25、
26、
27、
28
29、
30、
31、
32、
33、
1_cos2x11111
sin2xdxdxxcos2xd2xxsin2xC
22224
11
cos8xcos2xC164
dInsinx
InInsinxCInsinx
dcosx丄1
2tanxC
cosxcosx
2
1sin5xcos3xdxsin8xsin2xdx='2”
cosxdx
cotx
dx=
Insinx
dx
dsinx
1sinx
sinInsinxsinxlnsinx
1_晋xdx=sec2xdxcosx
34、
dx
dx
ji
cosxsinx2sinx二4
1
[escx+—dx+—I'l4丿
二Mcscx
72<<
35、.a2_x2dx
解法一:
令x二asint(或acost),则
a2-x2=acost,dx二acostdt
原式=acostacostdt二a2
1cos2tlxdt
2
a2
1\dt2cos2td2t
2
2
2
2
:
22
a
a
a
.x
a
x.a-x
t
sin2tC
arcsin
+——
2
2
4
2
a
4
aa
C
2
解法二:
三角形
12.x122=—aarcsin——x,a-xC
上面是圆顶的面积很容易求,地下的三角形加上上面的扇形。
两者都容易求。
「d(xa).x丄
arcsinC
J-xa2a
dx
36、———-'丿22
■a-x
解:
令x=asint
acostdtx
原式=dt=tC二arcsinC
acosta
37、「a2—x2
x2a2
解:
令x二atant(或acott),贝U.a2x2二ased,dx=asec?
tdt
i”.asec2tdt
原式=sectdt=InsecttantC=In
'asect
=Inxx2a2-C
解:
令x=atant(或acott),贝U_x24=2sect,dx=2seVtdt
dx
39、——dx-
22.x-a
解:
令x=asect(或acsct),贝U
x2-a2=atant,dx=asecttantdt
解法一:
令x=asect
贝Ux2一9=3tant,dx=3secttantdt
原式=3tant3secttantdt=3tan2tdt=3sec2t-1=3tant-tC'3sect
23
C=x-9-3arccosCx
*Jx2-93
arccos-
3x
x=asint
小结:
f(x)中含有{Jx?
+a2可考虑用代换《x=atant
x=asect
解法二:
原式=.cosdxx=3/sin0
dx=-3cot0xcsc0d0
原式=cos:
cot:
csc:
d、:
这就变成了容易解的三角函数积分
解:
令3x•1二t,则x二t3-1,dx=3t2dt
3t2dtt2_1+1"1、’,t2'
原式=dt=3Jt-1+——0t=3J-t+ln(1+t)+C
"1+t”1+t飞1+t丿、、2丿
=33x12-33x13ln13x1C
2
解:
令6-x=t,贝Ux=t6,dx=6t5dt
6t5dtt2r1、
原式=J、=612dt=6112[dt=6(t-arctant)+C
、t3(1+t2)、1+t2飞1+t2丿
43、
44、心
3+ex
47、
xexdx
=xdex
二xex_exdx二xex-exC
1
Inxdx=xlnx「/xdInx=xlnx「「xdx=xlnx「xC
x
或解:
令lnx=t,x二et
原式二tdet二tet_etdt二tdC=x|nx_xC
49、arcsinxdx
=xarcsinx-xdarcsinx=xarcsinx-dx
=xarcsinx1d1
2'&
x2)
=xarcsinx+Ji-x22
_x
或解:
令arcsinx=t,x=sint
原式二tdsint=tsint-sintdt=tsintcostC=xarcsinx.i-x2C
50、esinxdx
xxxxx
=sinxdeesinx-ecosxdx=esinx-cosxde
xx.1.xxx
=esinx-ecosx亠iedcosx=esinx-cosx]iesinxdx
1
故exsinxdxexsinx—cosxC
2
x
51、仝厂dx
cosx
=xdtanx=xtanx-tanxdx=xtanx-InsecxC
52、Inx.Ix2dx
=xlnx1x2jjx2C
x3
x2-5x6
有理式积分
解法一:
x3x3ABABX-3A2B
x-5x6x-2x-3x-2x-3x-2x-3
53、
dx
‘A+B=1、3A+2B=-3
>=-5
B=6
dx
x-3
=—5ln(x-2)6ln(x-3)C
x3x3AB
,”,,,-f-,
x-2
这样解得B=6,和B的值了。
两边同时乘x-3并且带入x=3
x3A(x_3)B
-1
同样的方法可以得到A=-5。
学会了这个方法,就可以口算A
54、
dx
55、
56、
m2
x(x-1)
1
x41dx
dx
'x(x-1)\x(X-1)(x-1)
2dx=Inx(x-1)2
1•丄
x
1
+
2
x
dx
dx
x41
x—1x—1
2
_x一1dx」
2
x41
=丄arctan
2
1」
x
1
—
x
x一―
-
」+C■■'2
1
1、
2
xdx
2
1
x
+2
x丿
1
dx
x」22
x
丄爲an^
2、2,2x
x21、2x
三角函数有理式的积分
U2-l
可以利用万能三角形,x=2•arctan(u)可以把有理式变成代数式
解:
解:
57、
原式
58
dx
35cosx
xrr
=tan—,贝Vx=2arctanu,
2
2—du=
35171u
1u2dx
2sinx-cosx5
xrt
=tan—,贝Vx=2arctanu,
2
原式二
59、
2王
2
1u2
1-u2
1u2
d'uJ]
I3丿
(1Y
u+—i
<3丿
1sinx
dx二
1-cosx
2
1-u2,2
cosx2,dx=
1+u
du
i2-S
4-u222
In
2tan’
2C
2du
1u2
cosx
-u2
22du
tdu
J2
3u2u2
1
3
1
5
3
x
3arctan1
2u
1u2
1-u2
12
1u2
2
1-u2
du
1u22u
u2(u21)
du
2du」2u(1u2)u
宀du
1u2
12xx
2lnu-ln1uC=-cot2lnsinCu22
116
lnxInx4C
424
46、xcosxdx
=xdsinx=xsinx-sinxdx二xsinxcosxC
1,x2+1_V2x、In
2
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