随机信号处理-课件.pptx
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,随机信号分析基础,第一讲,第一讲,绪论授课内容梗概教材及参考书习题及相关内容的期末考试要求本节课正题随机信号分析基础,绪论,关于课程内容的标题_随机信号分析基础随机信号分析研究些什么?
与其它先修基础课程有哪些方面的联系?
本课程的核心问题?
学习本课程希望达到的教学目的,授课内容梗概,第一讲第二讲第三讲第四讲,随机信号分析基础平稳过程的线性模型功率谱估计自适应滤波器,教材及参考书,随机信号处理.,张玲华郑宝玉.清华大学出版社,数字信号处理.理论.算法与实现,胡广书.清华大学出版社,现代信号处理.,张贤达.清华大学出版社,StatisticalandAdaptiveSignalProcessing.ManolakisD.G.TheMcGraw-HillCompanies,Inc.,1随机信号分析基础,随机过程部分内容复习1.1随机信号1.2随机信号的统计描述1.3平稳随机信号1.4统计特征估计的质量平价1.5随机信号的功率谱1.6白噪声信号与谐波信号,1.1随机信号,随机信号的概念随机信号的定义随机信号举例随机信号的分类,回顾随机变量的定义:
设E是随机试验,=是其样本空间,如果对于每一个,都有一个实数X()与之对应,这样就得到了一个定义在上的单值函数X(),称“X()”为随机变量,简记为X。
随机变量是定义在样本空间上的样本所对应的一个单值函数X();对应于不同的样本(一次具体的E),X有着不同的取值;X的随机性取值在试验完成后得以体现;X为连续值时称“连续型随机变量”;X为离散值时称“离散型随机变量”;X为连续值与离散值的混合值时称“混合型随机变量”。
t随机过程定义1:
设E是随机试验,=是其样本空间,如果对于每一个,总可依某种规则确定一参数为t的实值函数“X(,t),t”与之对应;当取遍时,便得到了定义在T上的一族时间t的函数,称它为随机过程。
族中的每个函数即为该过程的一个样本函数,称为随机过程的一个“实现”,是参数t的变化范围,称为“参数集”,一般表示时间集合,随机过程可简记为X(t)。
随机过程也可看成是变量、t的函数,其含义分别为:
若、t均为变量,X(t)是一个时间函数族;固定、t为变量,指随机过程的一个样本“实现”,X(t)是一个确定的时间函数;t固定、为变量,X(t)是一个随机变量;、t均固定,X(t)是该过程某一样本所对应的t时刻的函数值。
.,.,随机过程定义2:
若对于每个特定的时刻ti(i=1,2,),X(,ti)都是随机变量,则称X(,t)为随机过程。
通常,将连续型随机过程X(,t)简记为X(t),将该过程的一个样本函数(或称该过程的一个“实现”)简记为x(t)。
将离散型随机过程X(,n)简记为X(n),将该过程的一个样本函数(或称该过程的一个“实现”)简记为x(n)。
t,.,.,x(ti)Acos(cti),x(t)Acos(ct),t(,),2:
在(0,2)内随机抽取一数i:
xi(t)Acos(cti),、是常数,是在(0,2)均匀分布的随机变量,例:
1:
对于每一个固定的时刻ti:
这时X(ti)是一个随机变量;,这时Xi(t)是一个样本函数,是该随机过程的一个“实现”。
随机相位正弦波是一个随机过程,随机信号举例:
ti,X(,t),Y(i,t),y1(t)y2(t)y3(t),X1(t)X2(t)X3(t),随机相位正弦波,随机噪声,随机信号举例,均匀分布,高斯分布,柯西分布,n,随机信号的分类,按照时间和状态的连续性分类时间及状态取值都连续时间及状态取值都离散时间连续状态离散时间离散状态连续按照样本函数的形式分类不可预测型随机信号部分可预测型随机信号按照统计特性分类高斯型过程马尔可夫过程独立增量过程,1.2随机信号的统计描述,1.2.1随机信号的概率分布1.2.2随机信号的数字特征1.2.3随机信号的特征函数1.2.4随机信号的导数与积分,1一维概率分布,t,.,t1设X(t),tT是随机过程,x为实数,随机过程的一维概率分布描述为:
定义:
FX(x,t)=PX(t)x为X(t)的一维分布。
如果FX(x,t)的一阶导数存在,定义:
px(x,t)=FX(x,t)/x为X(t)的一维概率密度。
x0FX(x,t)1,FX(x,t)p(x,t)dx,p(x,t)dx1,2二维及多维概率分布,t,.,.,t1t2对于任意两个不同时刻t1T、t2T,x1、x2为实数,随机过程的二维联合概率分布描述为:
定义:
FX(x1,x2,t1,t2)=PX(t1)x1,X(t2)x2为X(t)的二维分布。
如果FX(x1,x2,t1,t2)的偏导数存在,定义:
pX(x1,x2,t1,t2)=2FX(x1,x2,t1,t2)/x1x2为X(t)的二维概率密度。
可仿此类推多维分布的情形,1.2.2随机信号的数字特征,随机信号的矩均值函数(数学期望)均方函数与方差函数自相关函数与自协方差函数互相关函数与互协方差函数随机信号间的“独立、不相关、正交”关系,K,K,xK(t)p(x,t)dx,xK(n)p(x,n)dx,随机信号的矩定义:
设X(t)、Y(t)均为随机信号,E表示求统计平均,则:
若EXK,K1,2,.存在,称其为X(t)的K阶原点矩,简称K阶矩;若EXE(X)K,K1,2,.存在,称其为X(t)的K阶中心矩;若EXKYL,K、L1,2,.存在,称其为X(t)和Y(t)的K+L阶原点混合矩;若EXE(X)KYE(Y)L存在,称其为X(t)和Y(t)的K+L阶混合中心矩;例,K阶原点矩:
对于连续型随机信号x(t),EX(t),对于离散型随机信号x(n),EX(n),(或:
xK(n)p(x,n))x,均值函数(数学期望),kk,mxEXxipi(x)或:
mx(n)EX(n)xi(n)pi(x),k,i,iM,x(),xmxm.xmm,1122kkmm2.mk,i1,在M次测量中,测得结果为x1的次数m1、测得结果为x2的次数m2、测得结果为xk的次数mk:
其测量的算术平均:
当M充分大时,m/M接近于x的概率,定义均值:
i1i1均值与概率密度有关,均值仅对长期(或大量)观察才有意义。
均值函数(数学期望),mx(t)EX(t)xp(x,t)dx,1,T,-T,Atx(t)2Tx(t)dt,称“一阶原点矩”,为全部样本值在某时刻取值的“集合平均”、或“统计平均”均值函数表示了随机过程在各个时刻的摆动中心。
注意:
区别于“时间平均”:
对于连续时间函数:
均方函数与方差函数,2,2,X,x2p(x,t)dx,m(t)EX(t),t,X1(t),t,X2(t),x,x,X,(t)2p(x,t)dx,DX(t)EX(t)mX,(t)2xm,或表示为:
D(t)EX2(t)xm(t)2p(x,t)dx,均方函数(二阶原点矩):
方差函数(二阶中心矩):
其中X(t)X(t)mX(t)称“中心化随机变量”两者均表示随机信号在时刻t对于均值的平均偏离程度,均方函数与方差函数,22,XXX,D(t)EX(t)m(t)(t),varx(t),t,X1(t),t,X2(t),方差函数:
称为“标准差”,同样表示随机信号的分散程度,2,X,XX,(t)(t),varx(t)D(t),X,2,2,XX,1,2,2,12,b,a,b,a,ba,ba,ba,(ba)2,)p(x)dx,对于连续X:
p(x),、mEXxp(x)dx,DEXm(x,2,X,n,X,n,2,2,2,XX,k,X,n,n,2,12,k0,xkpk(x)2,1n1,n(n2),(x)p(x),kk0,(),对于离散X:
p(x),、mEX,DEXm,(),例:
设X是在a,b上服从均匀分布的连续实随机变量,求其概率密度函数、均值与方差;若X取离散值0,1,2,.n的概率均相同,求其概率密度函数、均值与方差。
自相关函数与自协方差函数,t,X1(t),t,X2(t),x1x2p(x1,x2;t1,t2)dx1dx2,Rx(t1,t2)EX(t1)X(t2),自相关函数(二阶联合原点矩):
自协方差函数(二阶联合中心矩):
Cx(t1,t2)EX(t1)mx(t1)X(t2)mx(t2)Rx(t1,t2)mx(t1)mx(t2),表示随机过程在两个不同时刻的状态间的统计关联关系,t,X3(t),二维随机过程:
设X(t),Y(t)是定义在同一样本空间和同一参数集上的随机过程,对于不同的t,X(t)、Y(t)分别是不同的两个随机变量,称X(t),Y(t),t为二维随机过程。
X(t1),X(t2),.X(tn);Y
(1),Y
(2),.Y(m),对于给定的二维随机过程,,是n+m维随机变量,其n+m维分布为:
Fx1,x2,.,xn;t1,t2,.,tn;y1,y2,.,ym;1,2,.,m或将其称为二维随机过程X(t)、Y(t)的“n+m维联合分布”。
将上述概念推广,即可得出多维随机过程及其分布函数、以及概率密度函数的定义(能完整描述n维随机过程的分布函数、概率密度函数的维数分别应为m1+m2+mn维)。
互相关函数与互协方差函数,t,y(t),互相关函数:
Rxy(t1,t2)EX(t1)Y(t2)互协方差函数:
Cxy(t1,t2)EX(t1)mx(t1)Y(t2)my(t2)Rxy(t1,t2)mx(t1)my(t2)表示两个随机信号在两个不同时刻的状态间的统计关联关系,t,X(t),互相关应用举例:
设信号数据s(n)为均值为零的实信号,在本地对其进行测量获得数据为:
x(n)s(n)n1(n)对其反射回波测量获得的数据为:
y(n)Ks(nN)n2(n)其中n1(n)、n2(n)是互不相关的白噪声,均与s(n)不相关。
求两组测量数据的互相关:
Rxy(m)Ex(n)y(nm)Es(n)n1(n)Ks(nN)n2(n)KRs(mN)Rsn(m)KRsn(mN)Rnn(m)2112KRs(mN),举例:
求两个随机数据序列的协方差,随机信号间的“独立、不相关及正交关系”,如果X(t)、Y(t)统计独立,则有:
px(yx,y;t1,t2)p(xx;t1)py(y;t2)如果X(t)、Y(t)互不相关,则有:
RXY(t1,t2)EX(t1)Y(t2)EX(t1)EY(t2)mx(t1)my(t2)CXY(t1,t2)EX(t1)mx(t1)Y(t2)my(t2)EX(t1)mx(t1)EY(t2)my(t2)0如果X(t)、Y(t)相互正交,则有:
Rxy(t1,t2)EX(t1)Y(t2)0随机过程间若相互独立,则必互不相关(反之不一定)随机过程间的正交性与相关性一般没有直接关系,但若其中任一随机过程的均值为零,则正交性与相关性是一致的。
2,333,1,33,XY,XY,p(x,y)1(x2)(y1)1(x3)(y1)1(xK)(yK),K25,XYp(x,y)(23K),例题:
如果给定离散随机变量X、Y的联合概率密度函数:
试求使X与Y不相关且相互独立的K值。
若X与Y不相关:
E(XY)E(X)E(Y),其中:
E(XY),3333,XY,E(X)Xp(x)1(23K)K5,E(Y)Yp(y)1(11K)K2,由E(XY)E(X)E(Y)得到:
2K27K50,可解出K1、5/2,时X与Y不相关。
检验上述K值是否使X与Y相互独立:
可以从相互独立时应满足:
pXY(x,y)pX(x)pY(y)亦可以从相互独立时应满足:
E(XMYN)E(XM)E(YN),进行判断,因仅当K1时以上关系成立,因而同时使X与Y相互独立且不相关的K值为。
例:
试说明:
相关函数是一、二阶数字特征中最主要的统计特征,XX,2X,m,mmm,m,R()limR,(m)limEX(n)X(nm)limEX(n)EX(nm),对于实际问题中的许多不含周期分量的随机过程x(n),当m越大,x(n)与x(nm)间的相关性越弱,因而有理由认为:
当m时x(n)与x(nm)两者不相关,所以有:
对于给定y(n),以同样理由有:
RXY()limRXY(m)mXmY,2,2,2,2X,XXX,X,X,X,X,X,m,m,EX(n)mR,(0)R(),考虑其协方差:
C(m)R(m)mlimC(m)0,CXY(m)RXY(m)mXmYlimCXY(m)0,从相关函数出发可大致推导出:
均值:
mXRX(),方均值:
EX2(n)R(0),方差:
.,上述分析的结论对于连续型随机过程X(t)而言也一样,因此一般情况下平稳随机过程相关函数R()应大致满足如下示意图:
Rx(0),2,x,m2,Rx(),1.2.3随机信号的特征函数,k,X,X,X,p(x)e,jx,jx,),kk,随机变量X的特征函数:
(连续)C(),p(x)edx(离散)C(,随机信号X(t)的一维特征函数:
(,t)p(;t)ejxdxEexpjX(t),n维特征函数:
X(1,.,n;t1,.,tn)Eexpj1X(t1).jnX(tn),2,n,2,1,1,n,n,e,EX,n!
jx,2,2,ndnC(),(j)n,(d),x,x222e,n0,0,dxe,CX(),例:
设某随机变量X具有标准高斯概率密度函数:
N(0,1),e2,其特征函数为:
CX(),常用性质:
例:
求具有高斯分布N(0,1)的随机变量X的均值与方差:
CX()e2EXjX,矩与特征函数的关系:
EX(j),2,2,dC(),d,d2C(),(d)2,0,22,0,0,2,22,0,(j)()e,e2e,1,0,DXEX2E2XEX2(j)2X,tt0,tt0,tt0,tt0,+t,+tdt,随机过程的极限:
设有随机过程X(t)及随机变量X,如果limEX(t)X20,,则称X为随机过程X(t)当tt0时的极限,记为:
1imX(t)X,随机过程的导数:
若随机过程X(t)的极限:
1imX(t+t)X(t)存在,则将此极限,称为X(t)的导数,并记为:
1imX(t+t)X(t)dX(t)X(t),n,n,tt0tt0,i1,i1,2,随机过程的积分:
若随机过程X(t)满足:
Y1imX(ti)+ti即:
limEYX(ti)+ti0,,b则称Y为X(t)在区间a,b上的积分,记为:
YX(t)dta,1.2.4随机信号的导数与积分,2,12,12,12,1,2,2,X,X12,X12,X,XX,XXX,X,a,dm(t),dt,dX(t)ddt,dt,(t,t),dR(),d2d,EX(t),R(t,t),R(t,t),tt,t,t,X,R(t1,t2),dR(),m(t),E,R(t,t),XX其中:
R,若X(t)平稳,则:
R(),2,11,22,1,212,1212,bbb,aab,bb,bb,aa,aa,aa,12X1X212,aa,EX(t,)X(t,t)dtdt,R(t,)dtX(t)dtEX(t,)dtdtER(t,EY2E2Y,t)m(t)m(t)dtdt,EYEX(t)dtEX(t)dtmX(t)dt,b,bb,2Y,EY,随机信号数字特征的微积分,1.3平稳随机信号,平稳随机过程的概念严平稳过程(狭义平稳、强平稳)宽平稳过程(广义平稳、弱平稳)平稳随机过程的各态历经(遍历)性高斯(正态)过程,1.3.1平稳随机过程的概念,平稳随机过程的主要特征:
过程的统计特性不随时间改变。
实际问题多为非平稳过程,为何单独要研究平稳过程?
平稳随机过程分析方法简单,对于平稳随机过程已建立起了一套完整、有效、成熟的理论分析和实验研究方法。
实际应用中的许多非平稳随机过程大都可以在一定条件下被近似看作平稳过程,或分段看作短时平稳过程。
非平稳随机过程的理论分析相对复杂、相对不成熟。
1.3.2严平稳过程(狭义平稳、强平稳),从分布函数描述:
如果对于任意的n,都有t1,t2,tnT,和任意实数T,使得n维随机变量:
X(t1),X(t2),.X(tn)和X(t1+),X(t2+),.X(tn+)具有相同的分布函数,则称随机过程X(t),T是严平稳(狭义平稳)随机过程。
从数字特征描述:
对所有整数1kn和所有t1、t2、tk及,其k阶矩有界;其k阶矩与时间起点无关:
mx(t1、tk)=mx(t1+,tk+)则该随机过程是平稳的(严平稳)。
由于严平稳过程的均值、方差都是与时间无关的常数。
因此样本曲线都在均值的水平线周围波动,其分散度由方差决定,1.3.3宽平稳过程(广义平稳、弱平稳),宽平稳随机过程的统计特征1均值为常数:
EX(t)mX2二阶矩有界:
EX2(t)3相关函数仅与时间间隔有关:
RX(t,t)RX()由上述第2、3项特征导致:
宽平稳随机过程的协方差函数也与时间起点无关:
CX(t,t)EX(t)mXX(t)mXCX()问题:
“严平稳过程同时必是宽平稳的么?
”“严平稳过程不一定是宽平稳的么?
”,1,2,EX(t)=Acos(0t)2d0,A2,R(t,t+)=EAcos(0t)Acos(0(t+)=2cos(0),22,0,A2,EX2(t)=Acos(0,2,02,12,t),d,例:
对随机相位信号讨论其平稳性X(t)=Acos(0t+)A、0为常数,为(0,2)上均匀分布的随机变量,例:
对随机相位信号讨论其平稳性,222,0,2,0,0,A2A2,22,A2A2,2,A2A2/22,EX(t)EAcos(,t),Ecos(2t2),sin20t,cos(20t2)d22,X(t)=Acos(0t+)A、0为常数,为(0,/2)上均匀分布的随机变量,1.3.4平稳随机过程的各态历经(遍历)性,t,t,-T-T,1,1,x(t)x(t+,2T,2T,)dt,T,T,)lim,T,T,即:
Ax(t)lim,x(t)dt、Ax(t)x(t+,问题的提出:
以随机过程的数字特征作为统计分析手段虽然十分有效实用,但这些数字特征本身如何获取?
是否按照各阶矩的定义去计算?
是否需要通过分析观察大量的样本函数之后再求其“集平均”获取?
各态历经性定义:
设运算符号Ati表示求时间平均,,如果:
Atx(t)Ex(t)mX则称X(t)为均值各态历经的;如果:
Atx(t)x(t)Ex(t)x(t)RX()则称X(t)为自相关各态历经的。
对于各态历经随机过程,可用该过程的一个样本函数的时间平均计算该随机过程的集合平均,各态历经性保证了两种平均以概率1相等。
各态历经随机过程的部分运算特性:
2,2,X,X,X,X,X2X2,X2,XX,2X,m2,R(,CX()Ex(t)mXx(t)m)mRX(m)Ex(n)x(nm),根据定义,各态历经过程必为平稳随机过程,所以其均值、方均值、方差都为常数:
(t)m、EX(t)m(t)m,、m,EX(t)m,各态历经过程的自相关函数与协方差函数仅相差一个常数:
RX()Ex(t)x(t),X,X,X,CX(m)Ex(n)mXx(nm)m,R,(m)m2,X,-T,T,2,2,X,X,-T,1,2T,1,1,2T,T,T2T-T,T,lim,T,T,从一个特例看各态历经过程的一、二阶矩函数的物理意义设X(t)表示一随机电信号,对于各态历经过程,可用其时间平均替代其集平均:
数学期望值:
mEX(t)lim,X(t)dt相当于信号的直流分量,相关函数0点值:
RX(0)EX(t)lim2,X2(t)dt相当于信号的平均功率,方差:
X(t)mdt相当于信号的交流功率分量,RX(0),2,X,m2,RX(),例:
判断下述随机过程是否各态历经,例:
对随机相位信号讨论其是否各态历经,t,0,T,2,t,0,-T,1,2T,1,A2,2T,2,Acos(,Acos(,cos(0),T,T,Ax(t)lim,t)dt,0Ex(t),Ax(t)x(t)lim,t)cos(0t0)dt,T-T,Ex(t)x(t)EAcos(0t)Acos(0(t),随机相位信号:
X(t)=Acos(0t),A2,2,2,cos(0),2A,Ecos(0)cos(20t02),Atx(t)x(t)Ex(t)x(t)RX(),如何判定某随机过程是各态历经的?
N,X,X,X,1N,|2,N1,n0,N,N,样本序列,样本均值为:
mX(N),x(n),定义mX(N),均方收敛于m:
limE|mX(N)m,0简记为:
limmX(N)m,均值遍历性充要条件的分析:
设X(n)是广义平稳离散随机序列,均值为mX,xN(n)是该序列的一个长度为N的,1,N1,NN,k0,则随机过程的样本均值在均方意义下收敛的充分必要条件是:
N,N,limVarmX(N)0,CX(k)0,
(1)limEmX(N)mX,
(2)由此可导出:
均值遍历性随机过程的充分必要条件是:
lim,均值遍历性定理1:
设x(n)是自协方差为CX(k)的广义平稳随机过程,x(n)为,k,均值遍历性定理2:
令x(n)是自协方差为CX(k)的广义平稳随机过程,x(n)为均值遍历性随机过程的充分条件之一是:
limCX(k)0,如何判定某随机过程是各态历经的?
0,0,0,A2,cos,2Nsin(,02,A2,A2,2,2,/2),NN,N,A2sin(N/2)(N1),C(k)lim,C(k)0,X,X,1N-1,k=0,1N-1,NNk=0,例:
对于随机相位正弦序列x(n)Asin(0n)其自协方差序列为:
CX(k)2cos(0k),,lim,0(当0),当00时,由于CX(k),,lim,2,2,X,X,2,1X1,T,1,T,B()d,N1,T,T,NNk0,1T,1R(,)md,0,T,0,11,)R(,T,C(k)0,X,自相关遍历性定理:
设X(n)是自协方差为CX(k)的广义平稳高斯随机过程,其为,自相关遍历性随机过程的充分必要条件是:
lim,对于连续时间随机信号X(t)而言:
均值各态历经随机过程的充要条件是:
lim,自相关各态历经随机过程的充要条件是:
lim,1T,0,0,其中B
(1)EX(t)X(t)X(t1)X(t1),统计实验分析的理论基础是随机过程的各态历经性假设,实际处理问题时,常常先假定信号是平稳的、再假定是各态历经的,做完统计分析工作后再对结果检验这种假设的正确性并加以修正。
高斯(正态)过程,1,x2,1,z2,1,22,2,1(x)2,exp()22,1(z)2,exp()dz2,exp2,x,从随机变量的高斯(正态)分布说起:
一维概率密度函数:
p(x)exp2,归一化密度函数:
p(x),x一维高斯分布函数:
F(x),dz归一化高斯分布:
(x),令:
u,zdz、du,则:
F(x),0x,u2,),2,2,1,2,22x,x,exp
(2)du(,exp(u2)du1erf(x),单边概率:
P()p(x)dx()、P()p(x)dx1(),2落入区间1、2的概率:
P(12)p(x)dx
(2)
(1),定义误差函数:
erf(x),xexp(u2)du、互补误差函数:
erfc(x),222,22,1,u2,22,x,1x,2,则有:
(x)11erf(x)11erfc(x)、erf(0)erfc()
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