自动控制原理第2版余成波张莲胡晓倩习题全解及MATLAB实验第5章习题解答.docx
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自动控制原理第2版余成波张莲胡晓倩习题全解及MATLAB实验第5章习题解答
第5章频率特性法
频域分析法是一种图解分析法,可以根据系统的开环频率特性去判断闭环系统的性能,并能较方便地分
析系统参量对系统性能的影响,从而指出改善系统性能的途径,已经发展成为一种实用的工程方法,其主要
内容是:
1)频率特性是线性定常系统在正弦函数作用下,稳态输出与输入的复数之比对频率的函数关系。
频率
特性是传递函数的一种特殊形式,也是频域中的数学模型。
频率特性既可以根据系统的工作原理,应用机理
分析法建立起来,也可以由系统的其它数学模型(传递函数、微分方程等)转换得到,或用实验法来确定。
2)在工程分析和设计中,通常把频率特性画成一些曲线。
频率特性图形因其采用的坐标不同而分为幅
相特性(Nyquist图)、对数频率特性(Bode图)和对数幅相特性(Nichols图)等形式。
各种形式之间是互通的,每
种形式有其特定的适用场合。
开环幅相特性在分析闭环系统的稳定性时比较直观,理论分析时经常采用;波
德图可用渐近线近似地绘制,计算简单,绘图容易,在分析典型环节参数变化对系统性能的影响时最方便;
由开环频率特性获取闭环频率指标时,则用对数幅相特性最直接。
3)开环对数频率特性曲线(波德图)是控制系统分析和设计的主要工具。
开环对数幅频特性L(ω)低频段
的斜率表征了系统的型别(v),其高度则表征了开环传递系数的大小,因而低频段表征系统稳态性能;L(ω)
中频段的斜率、宽度以及幅值穿越频率,表征着系统的动态性能;高频段则表征了系统抗高频干扰的能力。
对于最小相位系统,幅频特性和相频特性之间存在着唯一的对应关系,根据对数幅频特性,可以唯一地
确定相应的相频特性和传递函数。
4)奈奎斯特稳定性判据是利用系统的开环幅相频率特性G(jω)H(jω)曲线,又称奈氏曲线,是否包围GH
平面中的(-l,j0)点来判断闭环系统的稳定性。
利用奈奎斯特稳定判据,可根据系统的开环频率特性来判断
闭环系统的稳定性,并可定量地反映系统的相对稳定性,即稳定裕度。
稳定裕度通常用相角裕量和幅值裕量
来表示。
5)利用开环频率特性或闭环频率特性的某些特征量,均可对系统的时域性能指标作出间接的评估。
其
中开环频域指标主要是相位裕量、穿越频率
c。
闭环频域指标则主要是谐振峰值
M、谐振频率
r
r以及
带宽频率b,这些特征量和时域指标%、ts之间有密切的关系。
这种关系对于二阶系统是确切的,而对
于高阶系统则是近似的,然而在工程设计中精度完全可以满足要求。
教材习题同步解析
5.1一放大器的传递函数为:
108
G(s)=
K
Ts
1
测得其频率响应,当=1rad/s时,稳态输出与输入信号的幅值比为12/2,稳态输出与输入信号的相位差为
-π/4。
求放大系数K及时间常数T。
解:
系统稳态输出与输入信号的幅值比为
2
K12K
22
,即1TA
22
722
1T
稳态输出与输入信号的相位差
arctanT45,即T1
当=1rad/s时,联立以上方程得
T=1,K=12
放大器的传递函数为:
G(s)=
12
s
1
5.2已知单位负反馈系统的开环传递函数为
G(s)
K
s
5
1
根据频率特性的物理意义,求闭环输入信号分别为以下信号时闭环系统的稳态输出。
(1)r(t)=sin(t+30°);
(2)r(t)=2cos(2t-45°);
(3)r(t)=sin(t+15°)-2cos(2t-45°);
解:
该系统的闭环传递函数为
5
(s)
s6
闭环系统的幅频特性为
5
A()
2
36
闭环系统的相频特性为
()arctan
6
(1)输入信号的频率为1,因此有
109
537
A(),()9.46
37
系统的稳态输出
537
c(t)sin(t20.54)
ss
37
(2)输入信号的频率为2,因此有
10
A(),()18.43
4
系统的稳态输出
10
c(t)cos(2t63.43)
ss
2
(3)由题
(1)和题
(2)有
对于输入分量1:
sin(t+15°),系统的稳态输出如下
537
c1(t)sin(t5.54)
ss
37
对于输入分量2:
-2cos(2t-45°),系统的稳态输出为
10
c2(t)cos(2t63.43)
ss
2
根据线性系统的叠加定理,系统总的稳态输出为
c
ss
53710
(t)sin(t5.537)cos(2t
372
63
.4363
)
5.3绘出下列各传递函数对应的幅相频率特性与对数频率特性。
(1)
10
G
(2)G(s)=10(0.1s1)(3)
(s)
0.1s1
G(s)
4
s(s2)
(4)
4
G(s)(5)
(s1)(s2)
G(s)
s(
s
s
0.2
0.2
)
(6)
10
G(s)(7)
2
(s1)(ss1)
G(s)
e
s
0
.2
1
解:
110
(1)
G(s)
10
5.4s
1
幅相频率特性
开环系统
G(s)
1
10
0.3s1
是一个不稳定的惯性环节,频率特性为
G(j)
1
10
1j0.1
L()/(dB)
[0]20
[-20]
Im
-1)
/(rad·s
0110100
()/
→
-1010Re
→0
→0
0
2()
-1
/(rad·s)
-45
-90
G1(j)
G2(j)
-135
1()
-180
(a)幅相频率特性(b)对数频率特性
图5.1题5.3
(1)系统频率特性
相频特性为
1()(180arctan0.1)arctan0.1180
相频特性从-180连续变化至-90。
可以判断开环奈氏曲线起点为(-10,j0)点,随的增加,A1()逐渐减小至0,而1()逐渐增加至-90°,
绘制出系统开环频率特性G1(j)的轨迹,如图5.1(a)虚线所示,是一个直径为10的半圆。
而开环系统
G(s)
2
10
0.3s1
则是一个典型的惯性环节,其幅相频率特性G2(j)如图5.1(a)实线所示。
对数频率特性
开环系统G1(s)
10
0.1s1
与G2(s)
10
0.1s1
的对数幅频特性完全相同,仅对数相频特性不同,如图
5.1(b)所示。
(2)G(s)=10(0.1s1)
幅相频率特性
111
开环系统G1(s)=10(0.1s-1)的频率特性为
G1(j)10(j0.11),其相频特性为
1()180arctan0.1
相频特性从180连续变化至90。
其开环频率特性G1(j)的轨迹,如图5.2(a)虚线所示。
L()/(dB)
[0]
20
[-20]
Im
-1
/(rad·s)
→→
0110100
Gj
1()
G2(j)
→0→0
-100
10
Re
180
()/
2()
135
90
1()45
-1
/(rad·s)
0
(a)幅相频率特性
(b)对数频率特性
图5.2题5.3
(2)系统频率特性
而开环系统G2(s)=10(0.1s+1)则是一个典型的一阶微分环节,其幅相频率特性G2(j)如图5.2(a)实线
所示。
对数频率特性
同题
(1),二者的对数幅频特性完全相同,仅对数相频特性不同,如图5.2(b)所示。
4
(3)
G(s)
s(s
2)
系统开环传递函数的时间常数表达式为
G(s)
2
s(0.5s1)
幅相频率特性
1)系统为Ⅰ型系统,A(0)=∞,(0)=-90o,低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。
低频渐近线如下确
定:
将频率特性表达式分母有理化为
112
G(j)
2j2(1j0.5)j2
2
j(j0.51)(1j0.5)(1j0.5)(10.25)
12
j
22
10.25(10.25)
则低频渐近线为
1
xlimRe[G(j)]limR()lim1
2
000
10.25
同时可知,频率特性实部与虚部均<0,故曲线只在第三象限。
2)n-m=2,则()=-180,幅相特性沿负实轴进入坐标原点。
3)此系统无开环零点,因此在由0增大到过程中,特性的相位单调连续减小,从-90o连续变化到
-180。
奈氏曲线是平滑的曲线,从低频段开始幅值逐渐减小,沿顺时针方向连续变化最后终于原点。
系统
的幅相频率特性G(j)见图5.3(a)。
L()/(dB)
Im
[-20]
20
-1
→
2
-1
/(rad·s)
00.1110
Re
[-40]
()/
G(j)
-90
110
-1
/(rad·s
)
-135
→0
-180
(a)幅相频率特性(b)对数频率特性
图5.3题5.3(3)系统频率特性
对数频率特性
-1
1)可知系统包含有放大、积分、一阶惯性环节,转折频率为T=2rad·s
。
低频段斜率为-20dB/dec,低频段表达式为L(ω)=20lg2-20lgω,并通过点L
(2)=0dB。
经过转折频率T
后斜率为-40dB/dec。
2)系统的相频特性为积分环节(-90o)与惯性环节(0o~-90o)相频特性的叠加,为
()90arctan0.5
转折频率处相位为
(2)=-135°,对数相频特性曲线对应于该点斜对称。
绘制开环伯德图L()、(),如图5.3(b)所示。
113
(4)
G(s)
(s
4
1)(
s2)
系统开环传递函数的时间常数表达式为
G(s)
2
(s1)(0.5s1)
幅相频率特性
1)系统为0型系统,A(0)=2,(0)=0o,开环奈氏曲线起点为(2,j0)点;n-m=2,则()=-180。
随
的增加,A()逐渐单调连续减小至0,而()滞后逐渐增加至-180°,幅相特性沿负实轴进入坐标原点。
2)将频率特性表达式分母有理化为
G(j)
22(1j)(1j0.5)
22
(j1)(1j0.5)
(1)(10.25)
2
2(10.5)3
j
2222
(1)(10.25)
(1)(10.25)
频率特性虚部均<0,故曲线在第三、第四象限。
3)相位有()=-90,因此与虚轴的交点为
2
2(10.5)
Re[G(j)]0
22
(1)(10.25)
2rad/s,Im[G(j)]0.94
2
此系统无开环零点,因此在由0增大到过程中,奈氏曲线是平滑的曲线,G(j)见图5.4(a)。
对数频率特性
L()/(dB)
20
6
[0]
[-20]
2
-1)
/(rads·
00.1110
Im
[-40]
()/→2Re
0
→0
0
-1)
/(rads·
-90G(j)
-j0.94
-180
(a)幅相频率特性(b)对数频率特性
图5.4题5.3(4)系统频率特性
114
-1-1
1)可知系统包含有放大、两个一阶惯性环节,转折频率分别为1=1rads·、2=2rads·
。
系统为0型,低频段斜率为0dB/dec,低频段表达式为L(ω)=20lg2=6dB。
经过转折频率1、2后斜率分
别为-20、-40dB/dec。
2)系统的相频特性是两个惯性环节相频特性的叠加,为
()arctanarctan0.5
两个转折频率处相位分别为
(1)=-72°,
(2)=-109°。
绘制开环伯德图L()、(),如图5.4(b)所示。
(5)
G(s)
s(
s
s
5.5
0.02
)
系统开环传递函数的时间常数表达式为
G(s)
0.4(5s1)10(5s1)
0.4s(50s1)s(50s1)
幅相频率特性
1)系统为Ⅰ型系统,A(0)=∞,(0)=-90o,低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。
低频渐近线如下确
定:
2
10(j51)j10(j51)(1j50)450j10(2501)
G(j)j
22
j(j501)(1j50)(1j50)12500(12500)
L()/(dB)
60
[-20]
40[-40]
Im
20
[-20]
-450
→
0
-1
/(rad·s)
0.20.2
0.002
Re
G(j)
()/
-1)
/(rad·s
-900.020.2
→0
-135
-180
(a)幅相频率特性(b)对数频率特性
图5.5题5.3(5)系统频率特性
115
低频渐近线为
450
xlimRe[G(j)]limR()lim450
2
000
12500
同时可知,频率特性实部、虚部均<0,故曲线只在第三象限。
2)n-m=1,则()=-90,幅相特性沿负虚轴进入坐标原点。
3)此系统有开环零点,因此在由0增大到过程中,特性曲线有凹凸,最后终于原点。
系统的幅相频
率特性G(j)见图5.5(a)。
对数频率特性
-1-1
1)系统转折频率分别为1=0.02rads·、2=0.2rads·
。
系统为I型,低频段斜率为-20dB/dec,低频段表达式为L(ω)=20lg10-20lgω,因此L(0.02)=54dB。
经
过转折频率1、2后斜率分别为-40dB/dec、-60dB/dec。
2)系统的相频特性为两个惯性环节相频特性的叠加,为
()arctan590arctan50
两个转折频率处相位分别为,(0.02)=(0.2)=-129°。
系统的对数频率特性L()、()见图5.5(b)。
(6)
G(s)
(s1)(
10
s
2s
1)
幅相频率特性
1)系统为0型系统,A(0)=10,(0)=0o,开环奈氏曲线起点为(10,j0)点;n-m=3,则()=-270,
幅相特性沿正虚轴进入坐标原点。
2)同上,频率特性表达式分母有理化为
22
1010(12)
(2)
G(j)j
k
2222222
(j1)(1j)
(1)[
(1)
(1)(10.25)
3)相位有()=-90,因此与虚轴的交点为
Re[G(j)]0
5.6rad/s,Im[G(j)]9.43
0.5
相位有()=-180,因此与实轴的交点为
Im[G(j)]0
2rad/s,Re[G(j)]3.3
2
此系统无开环零点,因此在由0增大到过程中,奈氏曲线是平滑的曲线,G(j)见图5.6(a)。
对数频率特性
116
-1
1)系统惯性环节、二阶振荡环节的转折频率均为T=1rads·
。
系统为0型,低频段斜率为0dB/dec,低频段表达式为L(ω)=20lg10=20dB,经过转折频率T后斜率为-
60dB/dec。
渐近线上各点坐标可以通过坐标系直接读出,也可根据简单的计算求出。
例如,点L
(2)与L
(1)=20dB位于同一条斜线,斜率为-60dB/dec,则L
(2)的纵坐标值满足
L
(1)L
(2)
60
lg1lg2
求出L
(2)=2dB。
2)系统的相频特性为惯性环节与二阶振荡环节相频特性的叠加,为
()arctanarctan
2
1
L()/(dB)
[0]
20
2
-1
/(rad·s)
0
1100.1
Im
[-60]
()/→10Re
-3.3
0→0
0
-1
/(rad·s)
-90
G(j)
-180-j9.43
-270
(a)幅相频率特性(b)对数频率特性
图5.6题5.3(6)系统频率特性
转折频率处相位为
(1)=-136°,并有
(2)=-209°。
系统的对数频率特性L()、()见图5.6(b)。
0.2
e
(7)G(s)
s1
幅相频率特性
1)延迟环节与其他典型环节相结合不影响幅频特性,但使相频特性的最大滞后为无穷大。
系统频率特性
为
j0.2
e
G(j)
j1
A()G(j)
1
2
1117
180
()arctan11.4arctan
3.14
(1)56.4,(10)198
2)随的增大,此系统幅频特性A()单调减小,而相位滞后单调增加,相频特性()从0°一直变化到
负无穷大。
故该系统的奈氏图是螺旋状曲线,绕原点顺时针旋转次,最后终止于原点,与实轴、虚轴有无
数个交点,如图5.7(a)所示。
3)与虚轴的第一个交点为
Re[G(j)]0
5.7rad/s,Im[G(j)]0.42
4)与实轴的第一个交点为
Im[G(j)]0
0.6rad/s,Re[G(j)]0.12
2
L()/(dB)
[0]
0
0.5
110
[-20]
/(rad·s-1)
-1)
-20
Im
()/
-0.121110
→Re
0
→00
-1
/(rad·s)
-90
G(j)-j0.42
-180
-270
(a)幅相频率特性
(b)对数频率特性
图5.7题5.3(7)系统频率特性
对数频率特性
系统的对数幅频特性与典型惯性环节的对数幅频特性完全一致,但相频特性滞后无限增加。
系统的对数
频率特性L()、()见图5.7(b)。
0.3求图5.8所示的电网络的频率特性表达式,以及幅频特性与相频特性表达式,并绘制出对数频率特
性曲线。
118
图5.8题5.4图
解:
(a)电网络的传递函数为
G(s)
R
2
RRR(RCs1)
2221
1RRRCsRR
12112
RR
12
sCRsC1
1
1
R
1
sC
RRCs1Ts1
21
RRCs
RRTs
21
12
1
(RR)
12
1
L()/(dB)
L()/(dB)
1
11
1
T
TT
T
0
[+20]
-1
/(rads·)
0
[-20]
20lg
1
-1
/(rad·s)
20lg
()/
()/
1
60
T
0
30
m
m
-1
/(rad·s)
0
1
-1
/(rads·)
-90
T
(a)(b)
图5.9题5.4伯德图
R
2
RR
12
1,
TRC
1
频率特性为
G(j)
jT
jT
1
1
幅频特性
A()
2
(T)1
2
(T)1
相频特性
119
()arctanTarctanT
伯德图见图5.9(a),此电网络是系统校正中常用的
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