钢管运输解析.docx
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钢管运输解析.docx
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钢管运输解析
钢管运输
摘要
本题主要以钢管的最省购运和铺设计划为研究对象,在研究过程中引入了0-1变量,并建立了非线性规划模型,利用
编程求解。
针对问题一,通过分析可得,总费用等于购买、运输和铺设钢材所需费用的总和,为了得到最省的订购和运输计划,首先需计算从各钢厂购买一单位钢材并运输到各施工地点所需的最少费用,并结合等差数列关系给出各路段铺设费用的表达式。
在制定计划中,从各钢厂购买的钢材量应满足该钢厂的生产要求,其次应使各铺设地点能得到足够的铺设钢材,并通过引入0-1变量判断钢厂是否参加生产,在满足上述条件的情况下,以总费用最少为目标,建立非线性规划模型,并利用
软件编程求解,解得总费用最少为127.8632亿元,安排计划详见模型求解。
针对问题二,分别将各钢厂的售价提高或降低5%,将各钢厂的生产上限提高或降低10%,并将改变后的售价依次带入问题一所建模型中,利用
软件求得结果,并通过作差的方法结合拟和图形对各结果进行比较,可得到当各钢厂售价提高或降低时,
和
钢材场对购运计划影响最大,当各钢厂生产上限提高或降低时,
钢材场对购运计划的影响最大,生产计划详见模型求解。
关键词:
0-1变量非线性规划模型
一、问题重述
问题背景
铺设一条从
输送天然气的主管道,经过筛选之后,可以生产这种主管道钢管的钢厂有
七家。
设定1km主管道钢管为1单位钢管。
如果一家钢厂要承担制造这种钢管,则至少需要生产500个单位。
各个钢厂在制定期限内能生产该钢管的最大数目为
个单位,钢管出厂销价为
万元。
如下所示:
1
2
3
4
5
6
7
800
800
1000
2000
2000
2000
3000
160
155
155
160
155
150
160
1单位钢管的铁路运价为:
里程(km)
≤300
301~350
351~400
401~450
451~500
运价(万元)
20
23
26
29
32
里程(km)
501~600
601~700
701~800
801~900
901~1000
运价(万元)
37
44
50
55
60
●1000km以上每增加1至100km运价增加5万元。
公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元(不足整公里的部分按整公里计算)。
由铁路、公路将钢管运往铺设地(不只是运到点
,而是管道全线)。
问题提出
图中粗线表示铁路,单细线表示公路,双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路,或者建有施工公路),圆圈表示火车站,每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。
1)制定一个主管道钢管的订购和运输计划,使总费用最小(给出总费用)。
2)就
(1)的模型分析:
哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大,哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大,并给出相应的数字结果。
二、问题分析
对于问题一:
题目要求制定一个主管道钢管的订购和运输计划,使总的费用最小,因此就要从运输的路线,材料的费用,从每个钢材厂向每个站点运的单位钢管数,以及每个钢材厂是否需要向站点运输钢材等方面进行分析;
1)由于道路分配的原因,每个钢材厂到每个站点的路线不只一条并且每条线路的距离并不相同,铁路的长度也不相同,当运输的距离大于200公里时选择铁路运输要比选择公路运输的费用低,因此在考虑运输路线时,当几条不同路线的长度相差不大时应尽量选择铁路长的运输线为先;
2)每个钢材厂1单位的钢材价格是不相同的,都是150,155,160三个价格中的某一个,尽管他们相差不大,但是铺设所需要的钢材量非常多,所以当某一个站点从某一钢材厂购买刚才时在运输费用相差不大时选择价格较低的钢材厂能节省很多资金;
3)本题规定在订购钢材时的原则是一个钢厂如果承担制造这种钢管,至少需要生产500个单位,除此之外每个钢管厂还有他自己的生产能力上限,因此就设计是否要到7个钢材厂都订购一定数量的钢材,如果一个同时有几个站点从钢材厂所需要订购的钢材量超过本钢材厂的生产能力时应从那个钢材厂调度能尽量节省费用等问题;
对于问题二:
关于哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大,哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大等问题,可以根据第一问的模型将7个钢材厂中的每一个厂的钢材价格以及生产上限逐一改变相同的量,比较分别改变这两个量时哪一个钢材的改变会引起总费用的改变值最大,其次根据模型找出导致这种结果的原因。
三、问题假设
【1】钢材生产厂家都正常生产;
【2】铺设点钢管向左右铺设范围不超过领近点;
【3】天然气主管道的所有铺设点都在同一水平面上;
【4】不考虑运输的时间及运输期间钢材价格的波动;
【5】铁路运输跟公路运输在运输过程中都不会出现突发状况;
四、重要符号说明
符号
说明
钢厂是否需要生产,为0-1变量
1单位钢材运输1公里的总费用
第i个工厂向第j个铺设点的运输量
第j个铺设点向右铺设的长度
第j个铺设点向左铺设的长度
第j个铺设点获得的钢材数量
每相邻两个铺设点之间的距离
五、模型的建立与求解
5.1问题一
5.1.1模型的准备与分析
A)模型的准备
1.运输费用的确定:
根据图可以看出要想把钢管运送到站点
就必须经过站点
,相反如果把刚才运送到
再从
铺设到
就能节省
的运输费用,因此我们不需要把钢管从7个钢材厂运输到
这15个站点,而是运送到
这14个站点,按照图中标出的各段路线的长度及分配规律可以找出7个钢材厂向14个站点运送的所有路线和每条路线中铁路的长度与公路的长度,1个单位钢管的运输费用为从工厂运输到铺设地的花费,即为铁路运输费用与公路费用的总和。
公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元,铁路运输的费用如下:
里程(km)
≤300
301~350
351~400
401~450
451~500
运价(万元)
20
23
26
29
32
里程(km)
501~600
601~700
701~800
801~900
901~1000
运价(万元)
37
44
50
55
60
运用列举的方法,将每家钢厂到每个铺设地的所有路线费用进行计算。
比较可以得出7个钢材厂向
运送钢管的最短路径和最小运输费用为:
;
例如,从S1到A2,可以直接从厂家运送到A2,也可以从厂家运到与A2临近的铺设地点后,沿燃气管道运到A2。
当选直接由S1运送到A2时,铁路路程为:
202+1100+1150+450=2902(km),其费用为60+20*5=160(万元);公路费用为0.3万,总费用为160.3万。
如果从S1运到A4,再由A4运送到A2的话,铁路费用为:
202+1100=1302(km),费用为60+4*5=80(万元);公路费用为60+75+30.1=165.1万,总费用为245.1万。
经过比较可以得出花费为160.3万元的路线是最省钱的。
运用此方法,可以算出每个钢厂到每个铺设地点的最小费用(如下表):
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
A13
A14
A15
S1
160.3
140.2
98.6
38
20.5
3.1
21.2
64.2
92
96
106
121.2
128
142
S2
205.3
190.2
171.6
111
95.5
86.1
71.2
114.2
142
146
156
171.2
178
192
S3
220.3
200.2
181.6
121
105.5
96.1
86.2
48.2
82
86
96
111.2
118
132
S4
250.3
235.2
216.6
156
140.5
131.1
116.2
84.2
62
51
61
76.2
83
97
S5
245.3
225.2
206.6
146
130.5
121.1
121.2
79.2
57
33
51
71.2
73
87
S6
255.3
235.2
216.6
156
140.5
131.1
121.2
84.2
62
51
45
26.2
11
29
S7
265.3
245.2
226.6
166
150.5
141.1
131.2
99.2
77
66
56
38.2
26
2
2.购买费用的确定
七家钢厂对于1个单位钢管的出厂销价
是不同的,且在制定期限内能生产该钢管的最大数量
也不同,其具体状况如下:
1
2
3
4
5
6
7
800
800
1000
2000
2000
2000
3000
160
155
155
160
155
150
160
从表中可以看出每个钢管厂的钢管价格都是150,155,160中的一个,,尽管7个钢材厂的钢管价格
相差不大,但是购买的数量较大时总的价格就会有不小的差异,所以在考虑运输费用的同时还要考虑钢材价格的影响;
1个单位总费用=购买费用+运输费用:
所以,可以得出购买1个单位钢管的总体费用(万元)如下表所示:
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
A13
A14
A15
S1
320.3
300.2
258.6
198
180.5
163.1
181.2
224.2
252
256
266
281.2
288
302
S2
360.3
345.2
326.6
266
250.5
241.1
226.2
269.2
297
301
311
326.2
333
347
S3
375.3
355.2
336.6
276
260.5
251.1
241.2
203.3
237
241
251
266.2
273
287
S4
410.3
395.2
376.6
316
300.5
291.1
276.2
244.2
222
211
221
236.2
243
257
S5
400.3
380.2
361.6
301
285.5
276.1
276.2
234.2
212
188
206
226.2
228
242
S6
405.3
385.2
366.6
306
290.5
281.1
271.2
234.2
212
201
195
176.2
161
178
S7
425.3
405.2
386.6
326
310.5
301.1
291.2
259.2
237
226
216
198.2
186
162
结合以上分析我们把从每个钢材厂运送到各个站点的钢管量定义为
,所以每个站点向各个钢材厂购买钢管的费用为
,
3.引入0-1变量:
根据题中所给的七家钢厂最大生产上限可以得出,如果七家全部生产的话,生产总量大大的超过了主题管道所用的数量。
由图可以看出,个别的钢厂距离主管道的施工点较远,题中规定一个钢厂如果承担制造这种钢管,至少需要生产500个单位,因此有些钢厂是可以不参加此次生产的。
判断钢厂是否需要生产,由此引入0-1变量
。
当钢厂需要生产时
=1;当钢厂不需要生产时
=0。
4.管道铺设费用的确定:
因为钢厂把钢管输送到铺设点时,钢材要从到达的铺设点向前一个铺设点跟后一个铺设点运输,在运输过程中,每走过1km,就要卸下1单位钢材进行铺设。
在主管道运输钢材为公路运输,所以每走过1km,运费就减少0.1万元。
当钢厂把钢材输送到A2时,从A2到A1的运输过程中,每走1km,运输的钢材量就少一个单位,运输费随之减少,形成等差数列(104*0.1,103*0.1,…1*0.1);从A2到A3亦然。
所以设
为向下铺设费用,
为向上铺设的费用,可以由等差数列公式得出每个施工站点的费用为
。
在A1到A2段之间,因为没有钢材直接运到A1处,所以该段的铺设费用只能由一部分组成,即由A2向下铺设,当j=1时,费用为
;
当j=2…14时,费用均为本点向上铺设与下一铺设点向下铺设之总和,即为
。
B)模型的分析
◎目标分析
每个钢材厂向各个站点运输1单位钢管总的运输费用为:
购买1单位钢管的费用为
,所以从钢材厂
购买1单位钢管并且运送到站点
总体的费用为:
14个站点向7个钢材厂购买和运输钢管的总费用为:
总费用=购买运输费+铺设费用,根据题意,以总费用最少为目标,综上可得目标函数为:
◎约束条件分析
1)各站点订购量
当钢材运输到铺设地点时,要分别向左右两方向进行铺设,由此应对各铺设地点向左右两方向铺设钢材的数量进行限制,要求其总合等于各钢厂运往该铺设地点的钢材总和即:
。
2)铺设长度
为使铺设工作顺利地进行,在制定铺设计划中,应对各施工地点铺设管道的长度进行限制,即相邻两铺设地点间,铺设管道的长度要等于两点间距离,即使其准确的完成全路线的铺设任务:
3)0—1变量
通过对题目的分析可得,某些钢厂离铺设地点较远,钢材的运输费用较贵,没必要参加生产,从而需要引入0-1变量,判断钢厂是否参加生产,当钢厂参加生产时其值为1时,否则值为0:
4)产量约束
对从各钢厂购买钢材数量的限制,通过对题目的分析可得,若需要从该钢厂购买钢材,则不论购买数量多少,该钢厂的产量都要大于其生产下限,并小于其生产上限即:
5)整数限制
由于题目中规定,不足整公里的部分按整公里计算,所以限制题目中所有的变量即,钢厂向各站点运输的钢材数量和各铺设地点向左右两方向铺设的钢材数量都为正整数:
5.1.2建立模型:
目标函数:
约束条件:
约束说明:
1.约束相邻两点间铺设管道的长度。
2.约束铺设点向两左右两方向铺设管道的长度。
3.定于0-1变量。
4.限制所有变量均为正整数。
5.限制从各钢厂购买的钢材数量
符号说明:
符号
说明
1单位钢材运输1公里总费用
第i个工厂向第j个铺设点的运输量
第j个铺设点向右铺设的长度
第j个铺设点向左铺设的长度
5.1.3模型求解
根据建立的最优化模型,利用lingo求解,得到最小总费用为127.8632亿元,7个钢材厂向14
(
)个主管道钢管的订购和运输计划为:
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
A13
A14
A15
S1
0
0
0
335
199
266
0
0
0
0
0
0
0
0
S2
179
12
28
281
0
0
300
0
0
0
0
0
0
0
S3
0
0
336
0
0
0
0
664
0
0
0
0
0
0
S4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
S5
0
496
104
0
0
0
0
0
351
415
0
0
0
0
S6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
86
333
621
165
S7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
根据图表可以看出,总费用最小时14个站点均不从4和7两个钢材厂订购和运输钢管,且所有钢管订购的总和为5171个单位,正好等于要铺设的管道的长度。
5.1.4结果验证
根据lingo求解,得到14个站点向左右两侧铺设的长度为:
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
A13
A14
A15
左
104
226
468
606
184
190
125
505
321
270
75
199
286
165
右
75
282
0
10
15
76
175
159
30
145
11
134
335
0
间14段要铺设的管道的长度为:
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
A13
A14
104
301
750
606
194
205
201
680
480
300
220
210
420
500
有两个图表的数据可以得出第一表中每个点向右铺设的长度与下一个点向左铺设的长度之和为第二个表中这两点间的铺设段的长度,因此可以证明我们的所得出的结果的合理性。
5.2问题二
改变钢厂钢管的销价
和产量上限
对购运计划得影响,及总运费的影响,在问题
(1)的模型基础上,分别将各钢厂的销价
和产量上限
提升或降低5%,再将改变的数据,代入问题一的模型中,求出新的总费用,和改变后的购运计划,并将新得到得总费用分别与改变前的总费用进行比较,得到费用改变得差值,并结合运输计划的改变,可以得到哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大。
详细求解过程如下:
★提高或降低各钢厂的销价
后,对总费用和购运计划的影响:
提高价格的分析
当各钢厂的销售价格分别提高5%时,由于问题一中的模型求解的是运输费用和钢材价格的乘积与铺设费用的和的最小值,因此价格的提高必然引起原订购计划中购、购买与运输的费用变大,总费用也因此变化,此时原订购计划就不一定再是最优的订购计划了,因此需要重新安排订购计划,使其在价格提高后保证总费用是所有可能的计划中的最小值,此时的订购计划就是价格提高后的最优订购计划,现在把7个钢材厂家的价格依次变化求出最优解。
总费用变化和钢厂生产安排的变化为:
钢厂
钢厂售价
总费用
各钢厂生产量
S1
168
1285902
800,800,1000,0,1015,1556,0
S2
162.75
1289443
800,800,1000,500,1317,1254,0
S3
162.75
1289948
800,800,1000,0,1366,1205,0
S4
168
1278632
800,800,1000,2000,1366,1205,0
S5
162.75
1287028
800,800,1000,500,500,2000,0
S6
157.5
1288628
800,800,1000,500,1415,1156,0
S7
168
1278632
800,800,1000,0,1015,1556,0
由上表可以得到将各场售价提高5%时,对购运计划的影响为:
钢厂
总费用的改变量
生产计划的改变
S1
7270
无改变
S2
10811
7场不参加生产
S3
11316
无改变
S4
0
7场不参加生产
S5
8396
7场不参加生产
S6
9996
7场不参加生产
S7
0
无改变
并使用拟和的方法给出其变化曲线图:
由上表结合拟和图形可得,当s3场的售价提高5%时,对总费用和购运计划的影响最大。
降低价格的分析
与价格提高的道理相同,当各钢厂的销售价格分别降低5%时,由于问题一中的模型求解的是运输费用和钢材价格的乘积与铺设费用的和的最小值,因此价格的降低必然引起原订购计划中购、运积变小,总费用也因此变小,但此时的原订购计划尽管总费用减少了但并不一定是最优的订购计划了,因此需要重新安排订购计划,使其在价格降低后保证总费用是所有可能的计划中的最小值,此时的订购计划就是价格降低后的最优订购计划,现在把7个钢材厂家的价格依次降低求出最优解。
当各钢厂的销售价格分别降低5%时,总费用变化和钢厂生产安排变化为:
钢厂
钢厂售价
总费用
各钢厂生产量
S1
159.6
1270031
800,800,1000,0,1015,1556,0
S2
154.6
1266165
800,800,1000,0,1366,1205,0
S3
154.6
1265151
800,800,1000,0,839,1732,0
S4
159.6
1275216
800,800,1000,957,564,1205,0
S5
154.6
1259321
800,800,1000,0,1413,1158,0
S6
149.6
1257824
800,800,1000,500,571,2000,0
S7
159.6
1278632
800,800,1000,0,1015,1556,0
由上表可得将各钢厂的售价降低5%时,对购运计划的影响为:
钢厂
总费用的改变量
生产计划的改变
S1
8601
无改变
S2
12467
无改变
S3
13481
无改变
S4
3416
7场不生产
S5
19311
无改变
S6
20808
7场不生产
S7
0
无改变
利用拟和的方法得到变化曲线图:
由上表并结合拟和图形可得,当s6场的售价降低5%时,对总费用和购运计划的影响最大。
★改变产量上限
后对总费用和购运计划的影响
当各钢厂的生产上限分别降低10%时,由于问题一中的模型求解的是运输费用和钢材价格的乘积与铺设费用的和的最小值,因此在保证这个前提的条件下生产能力降低后原订购计划便不一定再是最佳的订购安排,因此需要重新安排订购计划,使其在各个钢材厂生产能力降低后保证总费用是所有可能的计划中的最小值,此时的订购计划就是钢材厂生产能力降低后的最优订购计划,现在把7个钢材厂家的生产上限依次变化求出最优解。
当各钢厂的生产上限分别降低10%时,总费用变化和钢厂生产安排变化为:
钢厂生产上限
总费用
各钢厂生产量
S1
720
1286872
720,800,1000,0,1095,1556,0
S2
720
1281432
800,720,1000,0,1446,1205,0
S3
900
1281132
800,800,900,0,1466,1205,0
S4
1800
1278632
800,800,1000,0,1366,1205,0
S5
1800
1278632
800,800,1000,0,1366,1205,0
S6
1800
1278632
800,800,1000,0,1366,1205,0
S7
2
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