惠州一模数学.doc
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惠州市2014届高三第一次调研考试数学试题(理科)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.已知集合,则()
A.B.C.D.
2.复数在复平面上对应的点位于 ()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知平面向量,,且,则向量()
A.B.C.D.
4.已知直线与直线平行且与圆:
相切,则直线的方程是()
A.B.或
C.D.或
5.对于平面、、和直线、、、,下列命题中真命题是()
A.若,则B.若,则
C.若则D.若,则
6.不等式组表示的平面区域的面积是()
A.B.0C.D.
7.已知函数,若过点且与曲线相切的切线方程为,则实数的值是()
A.B.C.6D.9
8.对于任意两个正整数,定义某种运算“※”如下:
当都为正偶数或正奇数时,※=;当中一个为正偶数,另一个为正奇数时,※=.则在此定义下,集合※中的元素个数是()
A.10个B.15个C.16个D.18个
二、填空题:
本大题共7小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.
(一)必做题:
第9至13题为必做题,每道试题考生都必须作答.
79
8638
93988415
1031
114
9.右图是某高三学生进入高中三年来第次到次的数学考试成绩
茎叶图,根据茎叶图计算数据的中位数为.
10.已知等差数列{},满足,则此数列的前项
的和.
11.已知直线与直线垂直,则直线的倾斜角.
12.设是上的奇函数,.当时有,
则.
13.一物体在力(单位:
)的作用下沿与力相同的方向,
从处运动到(单位:
)处,则力做的功为焦.
14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆的圆心到直线的距离是.
15.(几何证明选讲选做题)如图,为圆直径,切圆于点,,,则等于.
三、解答题:
本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)已知函数.
(1)求的最大值和最小正周期;
(2) 若,是第二象限的角,求.
17.(本小题满分12分)某社团组织名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动,活动内容是:
1、到各社区宣传慰问,倡导文明新风;2、到指定的医院、福利院做义工,帮助那些需要帮助的人.各位志愿者根据各自的实际情况,选择了不同的活动项目,相关的数据如下表所示:
宣传慰问
义工
总计
20至40岁
11
16
27
大于40岁
15
8
23
总计
26
24
50
(1)分层抽样方法在做义工的志愿者中随机抽取6名,年龄大于40岁的应该抽取几名?
A
BA
CA
EA
OA
(2)上述抽取的6名志愿者中任取2名,求选到的志愿者年龄大于40岁的人数的数学期望.
18.(本小题满分14分)如图,已知三棱锥的侧棱两两垂直,且,,是的中点.
(1)求点到面的距离;
(2)求二面角的正弦值.
19.(本小题满分14分)已知等差数列的公差,它的前项和为,若,且成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前项和为,求证:
.
20.(本小题满分14分)B
O
x
y
F1
F2
P
A
M
在平面直角坐标系中,点为动点,分别为椭圆的左右焦点.已知△为等腰三角形.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设直线与椭圆相交于两点,是
直线上的点,满足,
求点的轨迹方程.
21.(本小题满分14分)已知二次函数,且不等式的解集为.
(1)方程有两个相等的实根,求的解析式.
(2)的最小值不大于,求实数的取值范围.
(3)如何取值时,函数()存在零点,并求出零点.
惠州市2014届高三第一次调研考试
数学(理科)参考答案与评分标准
一.选择题:
共8小题,每小题5分,满分40分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
D
C
A
D
B
1.【解析】,故,故选C.
2.【解析】,所以点(位于第二象限.故选B.
3.【解析】∵,∴,∴.故选A.
4.【解析】圆的圆心为,半径为,因为直线,所以,设直线的方程为,由题意得或.
所以,直线的方程或.故选D.
(二)【解析】对于平面、、和直线、,真命题是“若,则”.故选C
6.【解析】不等式组表示的可行域如图所示,
故面积为.故选A.
7.【解析】设切点为,则①,
∵,又切线l过A、M两点,
∴则②
联立①、②可解得,从而实数的值为故选D.
8.【解析】从定义出发,抓住的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键,当同奇偶时,根据※=将12分拆两个同奇偶数的和,当一奇一偶时,根据※=将12分拆一个奇数与一个偶数的积,再算其组数即可.
若同奇偶,有,前面的每种可以交换位置,最后一种只有1个点,这时有;
若一奇一偶,有,每种可以交换位置,这时有;
∴共有个.故选B
二.填空题:
共7小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.
9.94.510.3511.(或)12.13.3614.15.5
9.【解析】从茎叶图中可知14个数据排序为:
7983868891939495989899101103114中位数为94与95的平均数94.5.
10.【解析】.
11.【解析】直线与直线垂直得,.
12.【解析】
.
13.【解析】
14.【解析】由得圆为,圆的圆心直线的直角坐标方程为,所以点到直线的距离是.
15.【解析】连接,切圆于点,.又,是中点,.
三、解答题:
16.解
(1)∵
………………………4分
∴的最大值为2,……5分,最小正周期为………6分
(2)由
(1)知,
所以,即………………………8分
又是第二象限的角,所以……10分
所以………12分
17解:
(1)若在做义工的志愿者中随机抽取6名,则抽取比例为……………2分
∴年龄大于40岁的应该抽取人.………………………4分
(2)在上述抽取的6名志愿者中任取2名,假设选到年龄大于40岁的人数为,
∵6名志愿者中有2人的年龄大于40岁,其余4人的年龄在20到40岁之间,
∴可能的取值为.………………………5分
则,,………8分
∴的分布列为
………10分
∴的数学期望为 ………12分
18(本小题满分14分)解:
(1)取的中点,连、
、
则面,的长就是所要求的距离.
………………………3分
、,
在直角三角形中,有…6分
(另解:
由
(2)连结并延长交于,连结、.
则就是所求二面角的平面角.……………9分
作于,则
在直角三角形中,
在直角三角形中,……………12分
故所求的正弦值是……………14分
方法二:
(1)以为原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.
则有、、、……2分
设平面的法向量为
则由
由,……4分
则点到面的距离为……6分
(2)……8分
设平面的法向量为则由知:
由知:
取……………10分
由
(1)知平面的法向量为……………11分
则<>.……………13分
结合图形可知,二面角的正弦值是……………14分
19.(本题满分14分)解:
(1)数列是等差数列且,
.①…2分
成等比数列,即②………4分
由①,②解得或…………5分
………6分
(2)证明;由
(1)可得,…………7分
所以.…………8分
所以
.…………10分
,.…………11分
,数列是递增数列,.………13分
.…………14分
20解:
(1)设,
由题意,可得,即,……………2分
整理得,得(舍)或,所以.……………4分
(2)由
(1)知,可得椭圆方程为.
直线方程为……………………………………………5分
两点的坐标满足方程组,消去y并整理得……6分
解得得方程组的解……………………8分
不妨设,设的坐标为则
,…………10分
由得.
于是…………11分
由得,
化简得,………………………………13分
将代入得,
由得.因此,点的轨迹方程是.…14分
21解:
∵的解集为,
∴的解集为,……………………1分
∴,且方程的两根为
即,∴……2分
(1)∵方程有两个相等的实根,即有两个相等的实根
∴,
∴或…………3分
∵,∴,∴…………4分
(2)
∵,∴的最小值为,……………………5分
则,,解得,…………7分
∵,∴………………………………8分
(3)由,得(※)
①当时,方程(※)有一解,
函数有一零点;……………………9分
②当时,
方程(※)有一解,令
得,,
i)当,时,((负根舍去)),函数有一零点.……………10分
ii)当时,的两根都为正数,当或时,函数有一零点.11分
ⅲ)当时,,
③方程(※)有二解,
i)若,,时,
((负根舍去)),函数
有两个零点;…12分
ii)当时,,的两根都为正数,
当或时,
函数有两个零点。
……13分
ⅲ)当时,,恒成立,
取大于0()的任意数,函数有两个零点…14分
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