(1)高等数学(90)(A卷)解答.doc
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广州大学2010-2011学年第一学期考试卷
高等数学Ⅰ1(90学时A卷)参考解答与评分标准
一.填空题(每小题3分,本大题满分15分)
1.设函数,则=1。
2.设函数,当常数_2___时,在处连续.
3.曲线上点(0,1)处的切线方程为
4.曲线的凹区间为.
5.若是的原函数,则=.
二.选择题(每小题3分,本大题满分15分)
1.当时,无穷小量是的(D).
A.高阶无穷小;B.低阶无穷小;
C.等价无穷小;D.同阶但不等价无穷小.
2.若,则必有(D)
A.;B.;
C.;D.,(为常数)
3.函数的可去间断点个数为(C).
A.1;B.2;C.3;D.无穷多个.
4.设函数在点处可导,则等于(A).
A.0;B.-1;C.1;D..
5.设连续,且,则=(C)
A.2;B.4;C.8;D.16.
三.解答下列各题(每小题6分,本大题满分18分)
1.,求.
解:
………………….………….3分
…………………….…..………..…….4分
……………………….…..……….6分
2.求由方程所确定的隐函数在处的导数.
解:
把方程两边分别对求导数得
……………………….…..…….4分
当时,,代入上式得…….……….………….…..…….6分
3.设,求和。
解:
……………………………………….…..…3分
……………………….…..…6分
四.解答下列各题(每小题6分,本大题满分12分)
1.计算极限.
解:
原式=…………..……..………..………3分
……………………….…..………………………………….6分
2.设,讨论在处的连续性与可导性。
解:
因此,故在处的连续。
………………3分
因此,在处不可导。
……………………….…..……..6分
五.计算下列积分(每小题6分,本大题满分18分)
1..
解:
原式………………..3分
……………………………4分
………………….……….…..…..6分
2..
解:
令,则……..…………….….…..….................1分
…………………….………………….…..........2分
………….……………………..........4分
…………………………….……………….5分
………………………………………….…….......................6分
3..
解:
是被积函数的暇点
原式……………………………..2分
……………………………4分
………………………….…….5分
因为,所以此反常积分发散。
…………….…..….6分
六.(本题满分5分)
证明方程只有一个正根。
证明:
设,则连续可导,且
由零点存在定理知,
在内至少存在一点,使。
即方程有一个正根………………3分
设也是方程有的一个根,即,依罗尔定理至少存在一点使,这是不可能的,可见,方程只有一个正根。
…..5分
七.(本题满分5分)
设在内连续,且,试证:
若为偶函数,则亦为偶函数。
证明:
………………….……………….…..….1分
令,则………………………………….…..….2分
。
………………………..……….…..….4分
因为,
所以,即为偶函数。
……..….5分
八.(本大题满分12分)
设抛物线通过点(0,0),且当时,。
求的值,使得抛物线与直线所围图形的面积为,且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小。
解:
因为抛物线通过点(0,0),故…….2分
所围图形的面积为:
………………………..5分
旋转体的体积为:
…………………….….9分
由,得,代入V中,得…………………….….10分
…………………….…11分
可知,当时,V最小。
这时。
…………………….….12分
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