高二数学含绝对值的不等式及不等式证明方法的小结 人教版.docx
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高二数学含绝对值的不等式及不等式证明方法的小结人教版
高二数学含绝对值的不等式及不等式证明方法的小结人教版
【本讲教育信息】
一.教学内容:
含绝对值的不等式及不等式证明方法的小结
[教学目标]
1.掌握绝对值的几个重要性质,理解绝对值的定理及推论。
2.学会含有绝对值符号的不等式的证明,能利用绝对值的有关性质,求较简单的含绝对值符号的综合问题。
3.熟练掌握常用的不等式的证明方法,培养学生的发散思维,提高学生的逻辑推理能力,提升学生的思维品质。
二.重点、难点:
1.教学重点:
(1)理解掌握含绝对值符号的不等式的证明。
(2)不等式证明的方法的灵活选用。
2.教学难点:
(1)含绝对值符号不等式在证明过程中的转化、放缩的调控。
(2)不等式证明时方法的灵活选用及技巧的把握。
【典型例题】
一.含有绝对值的不等式
(一)相关知识的复习
1.绝对值定义:
2.绝对值性质:
3.等价性质:
4.定理:
5.推论:
(二)应用举例
例1.
解析:
证法一:
证法二:
例2.
解析:
证明:
(先证必要性)
再证充分性:
注:
证明此题时又一次用到了两个充要条件,因此要求同学们要记住这个结论,以便使用。
例3.
解析:
(1)α、β为根,a为系数,可以用韦达定理这座“桥”实现两者之间的互化,注意将根写成和与积的形式。
二.不等式证明方法的小结
(一)证明不等式的主要依据
1.书上的8条基本性质(略)
3.几个重要不等式:
(二)应用举例
例1.
分析:
从不等式的结构看,使用比较法、综合法、分析法均有一定困难。
因此,根据本题的具体条件我们来探索一下放缩法。
证明:
说明:
放缩法的技巧是:
(1)舍掉或加进一些项;
(2)在分式中放大或缩小分子或分母。
但用放缩法是有危险的,要控制放缩的度。
这种方法只能在较特殊的情况下用。
例2.
分析:
此不等式可拆成两个不等式分别证明再综合即可完成。
两个不等式均可采用作差比较法,同学自己完成。
现在我向大家介绍构造函数的方法,通过求函数的值域使不等式得证。
证明:
例3.
分析:
(1)所证明的不等式与已知比较,不难发现,可将ac+bd变形为a2+b2+c2+d2的结构实现问题的解决。
(2)可以用分析法去掉绝对值符号,或采用平方。
证法一:
(综合法)
证法二:
(比较法)
证法三:
(分析法)
证法四:
(代换法)
说明:
方法四只因具备a2+b2=1,c2+d2=1才能进行三角代换。
否则就不一定了。
通过此题还应认识到不等式的证明方法最重要的还是:
比较法、综合法、分析法。
例4.
解析:
【模拟试题】
1.
2.设a、b、c为的三条边,求证:
3.已知:
【试题答案】
1.提示:
用分析法,平方去掉绝对值符号,即可证出。
2.提示:
法一:
三式相加化简
法二:
三式相加化简
法三:
由余弦定理,
3.
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