《步步高学案导学设计》数学必修一北师大第二章指数函数和对数函数553.docx
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《步步高学案导学设计》数学必修一北师大第二章指数函数和对数函数553
53对数函数的图像和性质
【学习要求】
1.掌握对数函数的图像与性质;
2.会利用对数函数的图像研究对数函数的性质;
3.能够理解指数函数的图像和性质与对数函数的图像和性
质之间的关系;
参数的范围.
【学法指导】通过学习对数函数的图像与性质,了解指数函数与对数函数图像和性质之间的关系.在学习的过程中体会类比、转化、数形结合的思想方法•
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对数函数j=log^(«>0,aHl)具有下列性质:
⑴对数函数的定义域是®+9,值域是实数集R;
⑵在定义域内,当三1_时是增函数,当仝1—时是减函数;
(3)图像都通过点(1。
・
函数j=log^和丿=吨1
X的图像关于X轴
对称;对数函数
y=lo时(兀£(0,+°°))与函数j=«a(x£R)的图像关于直线
尸x对称.
3.对于底数0>1的几个对数函数,在(1,+8)区间内,底数空_越靠近x轴;对于底数0<«<1的几个对数函数,
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探究点一对数函数的图像和性质
问题1你能在同一坐标系内画出函数y=lo时及丿=b叩的图像吗?
问题2通过观察问题1画出的两个函数的图像,你能说出
这两个函数的相同性质和不同性质吗?
答相同性质:
两图像都位于y轴右方,都经过点(1,0),这说明两函数的定义域都是(0,+°°),且当x=l时,y=0.
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不同性质:
y=log3x的图像是上升的曲线,烛亡的图像是下降的曲线,这说明前者在(0,+°o)上是增函数,后者在(0,+°°)上是减函数.
问题3你能从函数y=log3X及的解析式的关系上说明其对应的函数图像的关系吗?
3
答利用换底公式,可以得到:
—1。
肿,又点3,y)和点(x,—y)关于%轴对称,所以,y=log3x和吨严的图像关于x轴对称.'
问题4类比指数函数的性质,你能写出对数函数y=lo&x的性质吗?
答对数函数的性质如下表
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函数
y=log(K(a>0口亠ci1)
底数
a>l
0GV1
图像
y
厂
y!
o
/f1x
1
1
1
o
—
1
定义域
(0,+°°)
值域
R
定点
(1,0),即x=\时,y=Q
值分布
当x>l时,y>0当OVxVl时,y<0
当兀>1时,y<0当OVxVl时,y>0
单调性
在(0,+8)上是增函数
在(0,+8)上是减函数
趋势
底数越大,图像越靠近X轴
底数越小,图像越靠近X轴
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探究点二对数函数性质的应用例1比较下列各题中两个数的大小:
(1)log25.3与log24.7;
(2)log0.27与log0.29;
(3)log37t与lo斷3;(4)lo弧3.1与lo刍5.2(a>0,aHl).
解⑴丁底数a=2>l,函数y=log2x是增函数,
又J5.3>4.7,・\log25.3>log24.7;
(2)丁底数“=0.2,而0<0.2<1,/.函数y=logo.2X是减函数,又•.*7<9,.,.log0.27>logo.29;
(3)Vy=log3x是增函数,ti>3,/.log37C>log33=1,同理1=logKK>logn3,log37i>logK3;
⑷当a>\时,函数y=\ogax在(0,+°°)上是增函数,此时logfl3.1
小结比较两个同底数的对数大小,首先要根据对数底数判断对数函数的单调性;再利用对数函数的单调性判断两对数值的大小.对于底数以字母形式出现的,需要对底数“进行
跟踪训练1比较下列各题中两个数的大小:
(1)logo.il.3和logo.jl.8;
(2)10^5和log64;
⑶(lgn)11和(1»)2(〃>1).
解⑴对数函数尸logo.]%在(0,+°°)内是减函数.因为1.3<1.8,所以logo,il.3>logo,il.8.
(2)因为log35>log33=1=log66>log64,所以log35>log64.⑶若l>lgn>0,即1 >(lgn)2; 若lgn>l,即n>10时,y=(lg〃)x在R上是增函数,所以(lg』<0gn)2. 若lgn=l,即n=10时,(lgn)11=(lgn)2. 探究点三底数大小与函数图像的关系 问题1观察下图所示函数j=log2x,y=logo.尹,J=log10r, J=logo.iX图像,你能得出什么结论? y=log2兀 y=logiar X y=log01xy=logo.H 答对于底数6/>1的对数函数,在(1,+°°)区间内,底数越大越靠近x轴;对于底数Ovavl的对数函数,在(1,+°°)区间内,底数越小越靠近x轴. 问题2函数j=Iog^,y=logbX9y=logcX的图像如下图所 示,那么a,b,c的大小关系如何? 的图像在(1,+呵上比y=logK的图像靠近x轴,所以bvc,因此a,byc的大小关系为0 例3⑴比较下列各组数的大小. 26 ①10眄与log5g;®logL10.7与logL20.7. (2)已知10§1^<10§1« 222 本课时栏目开关 26 解⑴①Vlog3^ 26 ②方法一70<0.7<1,1.1<1.2, Alog3^ ]] logo.7】・1log0.71・2, 由换底公式可得logL10.7 方法二作出J=10gLiX与y=logi・2兀的图像, 如图所示,两图像与兀=0・7相交可知log1.10.7 .9.b>a>c. 而y=2x是增函数,: .2b>2a>2c. 本课时栏目开关 小结比较对数式的大小方法很多,①当底数相同时,可直接利用对数函数的单调性比较;②若底数不同,真数相同,可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图像,数形结合解得;③若不同底,不同真数,则可利用中间量进行比较. 跟踪训练3已知函数幷)=lo&(l—/)@>0,“Hl).解关于兀的不等式: lo&(l—巧>/* (1); 解=bg“(1—/),・°談1)=log“(1一“)• /.1—a>0・.: 。 VaV1. •••不等式可化为logjl一6? )>10gd(l—d)・ : .0 •••不等式的解集为(o,l)・ 例4人们早就发现了放射性物质的衰减现象.在考古工作中, 常用14C的含量来确定有机物的年代.已知放射性物质的衰 减服从指数规律: C(f)=G)e其中t表不衰减的时间,Cq 本课时栏目开关 表示放射性物质的原始质量,C(f)表示经衰减了/年后剩余的 质量.为了计算衰减的年代,通常给出该物质衰减一半的时间,称其为该物质的半衰期,"C的半衰期大约为5730年, 由此可确定系数几人们又知道,放射性物质的衰减速度与质 量成正比.1950年在巴比伦发现一根刻有Hammiwbi王朝字 样的木炭,当时测定,其14C分子衰减速度为4.09个/(gmin), 而新砍伐烧成的木炭中14C分子衰减速度为6.68个/(g・min), 请估算出Hammurbi王朝所在年代. 本课时栏目开关 解因为叱的半衰期大约为5730年,所以建立方程l/2=e-5730r.解得r=0.000121,由此可知14C的衰减服从指数型函数C(t)=C°e-o・oooa,设发现Hammurbi王朝木炭的时间(1950年)为%年,放射性质物质的衰减速度是与质量成正比的,所以罟=甥•于是e严°°hi/=4.09/6.68,两边取自然对数,得一0.000121九= In4.09-In6.68,解得054(年),即Hammurbi王朝大约存 在于公元前2100年. 跟踪训练4溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过pH刻 画的.pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中[屮]表示溶液 中氢离子的浓度,单位是摩尔/升. (1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式,说明溶液酸碱 度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系; (2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H+]=107摩尔/升,计算纯 净水的pH. 解⑴根据对数的运算性质,有pH=—lg[H+]=lg[H+]_1=lg詁打在(0,+°°)上,随着[FT]的增大,詁打减小,相应地,lg击也减小,即pH减小,所以随着[屮]的增大,pH值减小, 即溶液中氢离子的浓度越大,溶液的酸碱度就越小・ (2)当[H+]=10-7时,PH=-lglO_7=7,所以纯净水的pH是7. 1.函数y=x+a与y=lo%x的图像可能是 解析由直线y=x+a在y轴上的交点,可得tz的取值范围,然后看这个范围是否适合的图像所在的位置,只有C符合. 2.比较下列各题中两个数的大小: (l)log23.4,log28.5; (2)log0,31.8,log0,32.7;(3)10^5.1,log^5.9(«>0,aH1)• 本课时栏目开关 解 (1)考察对数函数y=log2"因为它的底数2>1,所以它在(0,+8)上是增函数,于是log23.4 (2)考察对数函数〉=logo.3X,因为它的底数0<0.3<1,所以它在(0,+8)上是减函数,于是logo.31.8>logo.32.7; ⑶当a>l时,y=\ogax在(0,+°°)上是增函数, 于是loga5.1 当Ovavl时,y=logn在(0,+8)上是减函数, 于是10ga5・l>10ga5・9・ @课堂小结 1.两个对数比较大小的常用方法: (1)同底数比较大小时: 当底数确定时,则可由函数的单调性直接进行判断;当底数不确定时,应对底数进行分类讨论; (2)同真数的比较相同,则常借助1、0等中间量进行比较. 2.对数函数)=lo討和y=loSix的图像关于兀轴对称;对数函数y=lo討(兀丘(0,+8))与函数y=ax(xeR)互为反 函数,它们的图像关于直线对称.
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