全国高中数学联赛(四川初赛)试题及答案.doc
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2017年全国高中联合竞赛(四川初赛)试题
一、单项选择题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
1.已知函数在处有极值,则实数的值是(A)
A.B.C.1D.2
2.已知是方程的两个根,则的值是(B)
A.B.C.D.
3.在的展开式中,所有形如的项的系数之和是(C)
A.112B.448C.1792D.14336
4.已知为椭圆的左、右焦点,该椭圆上存在两点,使得
,则该椭圆的离心率的取值范围是(C)
A.B.C.D.
5.已知中,,则的最大值是(B)
A.B.C.D.
6.已知数列满足:
,用表示不超过实数的最大整数,则的个位数字是(A)
A.2B.4C.6D.8
二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分)
7.已知函数,则______________。
答案:
1008。
8.设,复数,其中是虚数单位。
若呈等比数列,则实数的值是_______________。
答案:
0。
9.若是双曲线上的点,则的最小值是________________。
答案:
2。
10.设正方体的棱长为1,为过直线的平面,则截该正方体的截面面积的取值范围是______________。
答案:
。
11.已知实数满足:
,则的最大值是___________。
答案:
2。
12.设集合,,则
集合中的元素的个数是____________。
答案:
243。
三、解答题(本大题共4个小题,每小题20分,共80分)
13.已知数列满足:
。
(1)若,求证:
数列成等比数列,并求出数列的通项公式;
(2)若对任意的正整数,都有,求实数的取值范围。
14.1993年,美国数学家F.Smarandache提出许多数论问题,引起国内外相关学者的关注,其中之一便是著名的Smarandache函数,正整数的Smarandache函数定义为
,比如。
(1)求和的值;
(2)若,求正整数的最大值;
(3)证明:
存在无穷多个合数,使得,其中为的最大质因数。
15.如图,点与点在轴上,且关于轴对称,过点垂直于轴的直线与抛物线交于,点为线段上的动点,点在线段上,满足。
(1)求证:
直线与此抛物线有且只有一个公共点;
(2)设直线与此抛物线的公共点为,记与
的面积分别为,求的值。
16.设为实数,若对任意的实数,有恒成立,其中,求的最大值和的最小值。
5
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