全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答(同名23059).doc
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2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题
一、填空题
、若三位数是一个平方数,并且其数字和也是一个平方数,则称为超级平方数,这种超级平方数的个数是.
、函数的最大值是.
、直线过点,若它被两平行线与所截得的线段长为,则直线的方程为 .
、.
、满足的实数的取值范围是.
、若实数,且,则的取值范围是.
、在前一万个正整数构成的集合中,被除余,并且被除余,被除余的元素个数是.
、如图,正四面体的各棱长皆为,分别是棱的中点,
以为圆心,为半径,分别在面内作弧,并将两弧各分成五等分,
分点顺次为以及,
一只甲虫欲从点出发,沿四面体表面爬行至点,则其
爬行的最短距离为.
二、解答题
、正整数数列满足:
;证明:
数列的任何两项皆互质.
、(分)为锐角三角形的垂心,在线段上任取一点,延长到,使,作,,其中为垂足,是线段的中点,分别为的外接圆圆心,的另一交点为;
证明:
、四点共圆;
、四点共圆;
、对于任意给定的无理数及实数,证明:
圆周上至多只有两个有理点(纵横坐标皆是有理数的点).
、从集合中删去个数,使得剩下的元素中,任两个数之和都不是的因数,求的最小值.
2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答
一、填空题
、若三位数是一个平方数,并且其数字和也是一个平方数,则称为超级平方数,这种超级平方数的个数是.
答案:
个.
解:
可顺次列举出:
.
、函数的最大值是.
答案:
.
解:
,
其定义域为,当时,此分式的分子最大而分母最小,这时分式的值达最大,其值为.
、直线过点,若它被两平行线与所截得的线段长为,则直线的方程为 .
答案:
或者.
解:
设的方程为,将此方程分别与及联立,解得交点坐标与,据,
得,即,所以,,分别代入所设方程,得到或者.
、.
答案:
.
解:
.
、满足的实数的取值范围是.
答案:
.
解:
用图像法:
令,此为单位圆的上半圆,它与直线交点,半圆位于交点左侧的图像皆在直线上方;或者三角函数代换法:
因,令,则,由条件式,平方得,则,又有,因此.
、若实数,且,则的取值范围是.
答案:
.
解:
因,所以,
,则,因非负,于是,
从而由知,,得到,
(当时取得等号)
再由,,则,所以,于是
,(当时取得等号),所以.
、在前一万个正整数构成的集合中,被除余,并且被除余,被除余的元素个数是.
答案:
个.
解:
对于每个满足条件的数,数应当被除皆余,且为偶数;因此,应当是的公倍数,且为奇数;即是的奇倍数,而当时,,由于在中,共有个数是的倍数,其中的奇倍数恰有个.
、如图,正四面体的各棱长皆为,分别是棱的中点,
以为圆心,为半径,分别在面内作弧,并将两弧各分成五等分,
分点顺次为以及,
一只甲虫欲从点出发,沿四面体表面爬行至点,则其
爬行的最短距离为.
答案:
.
解:
作两种展开,然后比较;
由于被分成五段等弧,每段弧对应的中心角各为,被分成五段等弧,每段弧对应的中心角也各为,
若将绕线段旋转,使之与共面,这两段弧均重合于以为圆心,半径为的圆周,对应的圆心角为,此时,点之间直线距离为,
若将绕线段旋转,绕线段旋转,使之皆与共面,在所得图形中,对应的圆心角为,此时,点之间直线距离为,
所以最短距离是.
二、解答题
、正整数数列满足:
;证明:
数列的任何两项皆互质.
证:
改写条件为,从而,等等,据此迭代得
,
所以,,因此当,.
、(分)为锐角三角形的垂心,在线段上任取一点,延长到,使,作,,其中为垂足,是线段的中点,分别为的外接圆圆心,的另一交点为;
证明:
、四点共圆;
、四点共圆;
证:
、如图,设,连,
则因,,
,得∥,∥,且
,所以≌,与平行且相等,故∥,
,因此,
四点共圆;
、据,为的直径,作的直径,连,则
,所以∥,
∥,故为平行四边形,进而得,
与平行且相等,因此对角线与互相平分于,从而是三边的中点,∥,
而由,,得∥,所以共线,
因此∥,又由的中位线知,因此四边形是等腰梯形,其顶点共圆.
、对于任意给定的无理数及实数,证明:
圆周上至多只有两个有理点(纵横坐标皆是有理数的点).
证:
对于点,用表示上述圆周上有理点的个数;首先,我们可以作一个合于条件的圆,其上至少有两个有理点,为此,取点,线段中垂线的方程为:
今在上取点,再取,则以为圆心、为半径的圆周上至少有这两个有理点;
其次说明,对于任何无理点以及任意正实数,;
为此,假设有无理点及正实数,在以为圆心,为半径的圆周上,至少有三个有理点,为有理数,,则
……①
据前一等号得……②
据后一等号得……③
记,,则为有理数,
若,则由②,,因为无理数,得,故共点,矛盾!
同理,若,可得共点,矛盾!
若,由②、③消去得,
有理数,因为无理数,故得,,所以
,则共线,这与共圆矛盾!
因此所设不真,即这种圆上至多有两个有理点.于是对于所有的无理点及所有正实数,的最大值为.
、从集合中删去个数,使得剩下的元素中,任两个数之和都不是的因数,求的最小值.
答案:
.
解:
因,中任两个元素之和不大于,由于不大于的正因数有,在的二元子集中,元素和为的有;
元素和为的有;
元素和为的有;
元素和为的有;
为直观起见,我们将其画成一个图,每条线段两端的数为上述一个二元子集,为了不构成这些和,每对数(每条线段)中至少要删去一个数;
于是在图中各至少要删去个数,图中各至少要删去个数,图中至少删去个数,总共至少要删去个数.
另一方面,删去适当的个数,可以使得余下的数满足条件;例如在图中删去,图中删去,中删去,中删去,中删去.这时图中所有的线段都已被断开.
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