全国高考文科数学试题及答案-新课标2.doc
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绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项:
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2.回答第I卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷(选择题,共60分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则
A. B. C. D.
2.若a为实数,且,则a=
A.-4 B.-3 C.3 D.4
3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:
万吨)柱形图,以下结论不正确的是
2004年
2005年
2006年
2007年
2008年
2009年
2010年
2011年
2012年
2013年
1900
2000
2100
2200
2300
2400
2500
2600
2700
A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4.向量,,则
A.-1 B.0 C.1 D.3
5.设Sn等差数列的前n项和。
若a1+a3+a5=3,则S5=
A.5 B.7 C.9 D.11
6.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
A. B. C. D.
7.已知三点,,,则ΔABC外接圆的圆心到原点的距离为
A. B. C. D.
8.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=
A.0 B.2 C.4 D.14
9.已知等比数列满足,a3a5=,则a2=
A.2 B.1 C. D.
10.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点。
若三棱锥O—ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为
A.36π B.64π C.144π D.256π
11.如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠AOB=x。
将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数,则的图象大致为
12.设函数,则使得成立的x的取值范围是
A. B. C. D.
第II卷(非选择题,共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分。
13.已知函数的图象过点,则a=_________。
14.若x,y满足约束条件,则的最大值为__________。
15.已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为__________。
16.已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a=__________。
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
ΔABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC。
(1)求;
(2)若,求。
18.(本小题满分12分)
某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表。
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
40
50
60
70
80
90
满意度评分
O
100
0.005
0.015
0.025
0.035
频率/组距
0.010
0.020
0.030
0.040
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组
频数
2
8
14
10
6
(1)在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
O
0.005
0.010
0.015
0.020
0.025
0.030
0.035
0.040
频率/组距
50
60
70
80
90
100
满意度评分
(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
D
D1
C1
A1
E
F
A
B
C
B1
估计哪个地区的满意度等级为不满意的概率大?
说明理由
19.(本小题满分12分)
如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值。
20.(本小题满分12分)
已知椭圆C:
的离心率为,点在C上。
(1)求C的方程;
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M。
证明:
直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。
21.(本小题满分12分)
已知函数。
(1)讨论的单调性;
(2)当有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围。
G
A
E
F
O
N
D
B
C
M
请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。
作答时请写清题号
22.(本小题满分10分)
选修4-1:
几何证明选讲
如图,O为等腰三角形ABC内一点,⊙O与ΔABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点。
(1)证明:
EF∥BC;
(2)若AG等于⊙O的半径,且,求四边形EBCF的面积。
23.(本小题满分10分)
选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线C1:
(t为参数,t≠0),其中0≤α<π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:
,C3:
。
(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求的最大值。
24.(本小题满分10分)
选修4-5:
不等式选讲
设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:
(1)若ab>cd;则;
(2)是的充要条件。
参考答案
一.选择题
(1)A
(2)D (3)D (4)C (5)A (6)D
(7)B (8)B (9)C (10)C (11)B (12)A
二.填空题
(13)-2 (14)8 (15) (16)8
三.解答题
(17)解:
(Ⅰ)由正弦定理得
因为平分,所以
(Ⅱ)因为,所以
由(Ⅰ)知,所以,即
(18)解:
(Ⅰ)
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值;B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散。
(Ⅱ)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大。
记表示事件:
“A地区用户的满意度等级为不满意”;记表示事件:
“B地区用户的满意度等级为不满意”。
由直方图得的估计值为
的估计值为
所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大。
(19)解:
(Ⅰ)交线围成的正方形如图:
(Ⅱ)作,垂足为M,则
因为为正方形,所以
于是
因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为(也正确)
(20)解:
(Ⅰ)由题意有,
解得
所以的方程为
(Ⅱ)设直线
将代入得
故
于是直线OM的斜率,即
所以直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值。
(21)解:
(Ⅰ)的定义域为
若,则,所以在单调递增
若,则当时,;当时,。
所以在单调递增,在单调递减。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当时,在无最大值;当时,在取得最大值,最大值为
因此等价于
令,则在单调递增,
于是,当时,;当时,
因此,的取值范围是
(22)解:
(Ⅰ)由于是等腰三角形,,所以是的平分线
又因为分别与AB,AC相切于点E,F,所以,故
从而
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,故是的垂直平分线.又为的弦,所以在上
连结,则
由等于的半径得,所以,因此和都是等边三角形
因为,所以
因为,所以,于是
所以四边形的面积为
(23)解:
(Ⅰ)曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为.
联立解得或
所以与交点的直角坐标为和
(Ⅱ)曲线的极坐标方程为,其中
因此的极坐标为,的极坐标为
所以
当时,取得最大值,最大值为4
(24)解:
(Ⅰ)因为,
由题设得
因此
(Ⅱ)(ⅰ)若,则,即
因为,所以
由(Ⅰ)得
(ⅱ)若,则,即
因为,所以,于是
因此
综上,是的充要条件
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