北京市房山区高三第二次模拟考试-理科数学-Word版含答案.doc
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房山区2013年高考第二次模拟试卷
数学(理科)
本试卷共4页,150分。
考试时间长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将答题卡交回。
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.若﹁p∨q是假命题,则
A.p∧q是假命题
B.p∨q是假命题
C.p是假命题
D.﹁q是假命题
2.下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是
A.
B.
C.
D.
3.如图,是⊙O上的四个点,过点B的切线与的
延长线交于点E.若,则
A.
B.
C.
D.
4.设平面向量,若//,则等于
A.
B.
C.
D.
5.已知是不等式组所表示的平面区域内的两个不同的点,则的
最大值是
A.
B.
C.
D.
6.已知数列的前项和为,,,则
A.
B.
C.
D.
7.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体
的表面积为
A.
B.
C.
D.
8.定义运算,称为将点映到点的
一次变换.若=把直线上的各点映到这点本身,而把直线
上的各点映到这点关于原点对称的点.则的值依次是
A.
B.
C.
D.
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在复平面内,复数对应的点的坐标为.
10.直线的参数方程为(t为参数),则直线的斜率为.
11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是.,则.
12.若展开式中的二项式系数和为,则等于,该展开式中的常数项为.
13.抛物线的焦点坐标为,则抛物线的方程为,若点在抛物线
上运动,点在直线上运动,则的最小值等于.
14.在数列中,如果对任意的,都有(为常数),则称数列为
比等差数列,称为比公差.现给出以下命题:
①若数列满足,则该数列不是比等差数列;
②若数列满足,则数列是比等差数列,且比公差;
③等比数列一定是比等差数列,等差数列一定不是比等差数列;
④若是等差数列,是等比数列,则数列是比等差数列.
其中所有真命题的序号是.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)
已知函数的最小正周期为,且图象过点.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设,求函数的单调递增区间.
16.(本小题满分14分)
如图,是正方形,平面,
,.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)设点是线段上一个动点,试确定点的位置,
使得平面,证明你的结论.
17.(本小题满分13分)
小明从家到学校有两条路线,路线1上有三个路口,各路口遇到红灯的概率均为;路线2上有两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为.
(Ⅰ)若小明上学走路线1,求最多遇到1次红灯的概率;
(Ⅱ)若小明上学走路线2,求遇到红灯次数的数学期望;
(Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数越少为越好”的标准,请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线,并说明理由.
18.(本小题满分13分)
已知函数().
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,取得极值.
①若,求函数在上的最小值;
②求证:
对任意,都有.
19.(本小题满分14分)
已知椭圆:
的离心率为,且过点.直线
交椭圆于,(不与点重合)两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)△ABD的面积是否存在最大值?
若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明
理由.
20.(本小题满分13分)
设,对于项数为的有穷数列,令为中的最大值,称数列为的“创新数列”.例如数列3,5,4,7的创新数列为3,5,5,7.考查自然数的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列.
(Ⅰ)若,写出创新数列为3,5,5,5,5的所有数列;
(Ⅱ)是否存在数列的创新数列为等比数列?
若存在,求出符合条件的创新数列;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)是否存在数列,使它的创新数列为等差数列?
若存在,求出所有符合条件的数列的个数;若不存在,请说明理由.
房山区2013年高考第二次模拟考试参考答案
数学(理科)2013.05
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1A2C3B4D5B6C7A8B
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.10.11.
12.13.14.①②
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.
15(本小题满分13分)
(Ⅰ)由最小正周期为可知, ………………2分
由得,
又,
所以 ,………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
所以
…………………………………………………………………9分
解
得……………………………12分
所以函数的单调增区间为.
…………………………………………………13分
16(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:
因为平面,
所以.……………………1分
因为是正方形,
所以,
所以平面,…………………3分
从而……………………4分
(Ⅱ)解:
因为两两垂直,
所以建立空间直角坐标系如图所示.…………5分
设,可知.……………………6分
则,,,,,,
所以,,………………7分
设平面的法向量为,则,即,
令,则.…………………8分
因为平面,所以为平面的法向量,,
所以………………………………………9分
因为二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.…………10分
(Ⅲ)解:
点是线段上一个动点,设.
则,
因为平面,
所以,……………11分
即,解得.……………13分
此时,点坐标为,,符合题意.……………14分
17(本小题满分13分)
(Ⅰ)设走路线1最多遇到1次红灯为A事件,则
.………………2分
(Ⅱ)依题意,的可能取值为0,1,2.
,
,
.………………………………8分
随机变量的分布列为:
0
1
2
P
………………………………………………9分
.………………10分
(Ⅲ)设选择路线1遇到红灯次数为,则,
所以.………………12分
因为,所以选择路线1上学最好.………………13分
18(本小题满分13分)
(Ⅰ)…………1分
当时,
解得或,解得……………2分
所以单调增区间为和,单调减区间为………3分
(Ⅱ)①当时,取得极值,所以
解得(经检验符合题意)……………4分
+
0
-
0
+
↗
↘
↗
所以函数在,递增,在递减.……5分
当时,在单调递减,
………………6分
当时
在单调递减,在单调递增,
.………………7分
当时,在单调递增,
……………………8分
综上,在上的最小值
……………………9分
②令得(舍)
因为
所以……………11分
所以,对任意,都有
……………13分
19(本小题满分14分)
(Ⅰ),,
,,
.------------------------------------------3分
(Ⅱ)设,,
由
①②----------------------5分
,--------------------8分
设为点到直线BD:
的距离,
--------------------10分
----------------------13分
当且仅当时等号成立
∴当时,的面积最大,最大值为----------------14分
20(本小题满分13分)
(Ⅰ)由题意,创新数列为3,5,5,5,5的所有数列有6个,
3,5,1,2,4;……………………………………………………………2分
3,5,1,4,2;
3,5,2,1,4;
3,5,2,4,1;
3,5,4,1,2;
3,5,4,2,1;………………………………………………………………4分
(Ⅱ)存在数列的创新数列为等比数列.设数列的创新数列为,
因为为前个自然数中最大的一个,所以.若为等比数列,
设公比为,因为,所以.……………7分
当时,为常数列满足条件,即为数列
当时,为增数列,符合条件的数列只能是,
又不满足等比数列.综上符合条件的创新数列只有一个.
………………………………………………………………8分
(Ⅲ)存在数列,使它的创新数列为等差数列,
设数列的创新数列为,因为为前个自然数中最大的一个,
所以.若为等差数列,设公差为,
因为,所以.且
当时,为常数列满足条件,即为数列(或写通项公式),
此时数列是首项为的任意一个排列,共有个数列;
………………………………………11分
当时,符合条件的数列只能是,此时数列是,
有1个;
当时,又
这与矛盾,所以此时不存在.
综上满足条件的数列的个数为个(或回答个).
……………………………………………13分
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