北京市石景山区高三统一测试(一模)数学(理科)Word可编辑.doc
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2013年石景山区高三统一测试
数学(理科)4.1
本试卷共6页,150分.考试时长120分钟.请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡.
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.设集合,,则等于( )
A.
B.
C.
D.
2.若复数在复平面内对应的点在轴负半轴上,则实数的值是( )
A.
B.
C.
D.
3.将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n.向量=(m,n),=(3,6),则向量与共线的概率为[( )
A.
B.
C.
D.
4.执行右面的框图,输出的结果的值为()
A.
B.
C.
D.
5.如图,直线AM与圆相切于点M,ABC与ADE是圆的两条割线,且,连接
MD、EC.则下面结论中,错误的结论是( )
A
C
M
B
D
E
A.B.
C.D.
6.在的二项展开式中,的系数为()
A.
B.
C.
D.
7.对于直线与抛物线,是直线与抛物线有唯一交点的()条件
A.充分不必要B.必要不充分C.充要条件D.既不充分也不必要
8.若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件:
①P、Q都在函数的图像上;②P、Q关于原点对称.
则称点对[P,Q]是函数的一对“友好点对”(注:
点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”).
已知函数,则此函数的“友好点对”有()对
A.0 B.1 C.2 D.3
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9.直线与圆相交弦的长度为.
10.在△中,若,则.
正(主)视图
侧(左)视图
俯视图
3
2
2
2
3
2
11.在等差数列中,=-2013,其前n项和为,若=2,则的值等于.
12.某四棱锥的三视图如图所示,
则最长的一条侧棱长度是.
D
E
F
C
B
A
13.如图,在矩形中,点为的中点,点在边上,若,则的值是.
14.对于各数互不相等的整数数组(n是不小于3的正整数),若对任意的p,,当时有,则称是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,如数组(2,3,1)的逆序数等于2.则数组(5,2,4,3,1)的逆序数等于_________;若数组的逆序数为n,则数组的逆序数为_________.
三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分13分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调递增区间;
(Ⅱ)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,,,求△ABC的面积.
16.(本小题满分13分)
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.
石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示.
(Ⅰ)小陈在此期间的某天曾经来此地旅游,求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率;
(Ⅱ)小王在此期间也有两天经过此地,这两天此地PM2.5监测数据均未超标.请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率;
PM2.5日均值(微克/立方米)
2
16
3
7
5
9
6
03
8
56
10
47
(Ⅲ)从所给10天的数据中任意抽取三天数据,记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求的分布列及期望.
17.(本小题满分14分)
如图,在底面为直角梯形的四棱锥中,,平面,,,.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求直线与平面所成的角;
(Ⅲ)设点在棱上,,若
∥平面,求的值.
18.(本小题满分13分)
已知函数,.
(Ⅰ)讨论函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数在处取得极值,对,恒成立,求实数的取值范围.
19.(本小题满分14分)
设椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为,在轴负半轴上有一点,满足,且.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若过三点的圆与直线相切,求椭圆的方程;
x
y
A
O
B
F1
F2
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中垂线与轴相交于点,求实数的取值范围.
20.(本小题满分13分)
给定有限单调递增数列且,定义集合且.若对任意点,存在点使得(为坐标原点),则称数列具有性质.
(Ⅰ)判断数列:
和数列:
是否具有性质,简述理由.
(Ⅱ)若数列具有性质,求证:
①数列中一定存在两项使得;
②若,且,则.
(Ⅲ)若数列只有2013项且具有性质,,,求的所有项和.
2013年石景山区高三统一测试
高三数学(理科)参考答案
一、选择题:
本大题共8个小题,每小题5分,共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
A
D
C
A
C
二、填空题:
本大题共6个小题,每小题5分,共30分.
题号
9
10
11
12
13
14
答案
三、解答题:
本大题共6个小题,共80分.应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)
…………1分
…………3分
令
…………5分
函数的单调递增区间.…………6分
(Ⅱ)由,,
因为为内角,由题意知,所以
因此,解得.…………8分
由正弦定理,得,…………10分
由,由,可得,…………12分
∴.…………13分
16.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A,
.…………2分
(Ⅱ)记“这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件B,.…………5分
(Ⅲ)的可能值为,
;;
…………9分
其分布列为:
…………13分
17.(本小题满分14分)
证明:
(I)在直角梯形ABCD中,
所以,所以.…………2分
又因为,所以
由,所以
所以…………4分
(II)如图,在平面ABCD内过D作直线DF//AB,交BC于F,
分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.
由条件知A(1,0,0),B(1,,0),
设,则,…………5分
由(I)知.
.
设,
则…………7分
即直线为.…………8分
(III)由
(2)知C(-3,,0),记P(0,0,a),则
,,,,
而,所以,
=
…………10分
设为平面PAB的法向量,则,即,即.
进而,…………12分
由,得
∴…………14分
18.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)在区间上,.……………………1分
①若,则,是区间上的减函数;……………3分
②若,令得.
在区间上,,函数是减函数;
在区间上,,函数是增函数;
综上所述,①当时,的递减区间是,无递增区间;
②当时,的递增区间是,递减区间是.…………6分
(II)因为函数在处取得极值,所以
解得,经检验满足题意.…………7分
由已知则…………………8分
令,则…………………10分
易得在上递减,在上递增,…………………12分
所以,即.…………13分
19.(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)连接,因为,,所以,
即,故椭圆的离心率................3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知得于是,,
的外接圆圆心为),半径............4分
由已知圆心到直线的距离为,所以,解得
所求椭圆方程为.................6分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,设直线的方程为:
消去得.....7分
因为过点,所以恒成立
设,
则,
中点...............9分当时,为长轴,中点为原点,则..............10分
当时中垂线方程.
令,.........12分
,,可得
综上可知实数的取值范围是...............14分
20.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)数列具有性质,数列不具有性质.
对于数列,若则;若则;所以具有性质.对于数列,当若存在满足,即,即,数列中不存在这样的数,因此不具有性质.………………3分
(Ⅱ)
(1)取,又数列具有性质,所以存在点使得,即,又,所以.………………5分
(2)由
(1)知,数列中一定存在两项使得;又数列是单调递增数列且,所以1为数列中的一项.
假设,则存在有,所以
此时取,数列具有性质,所以存在点使得,所以;只有,所以当时,矛盾;
当时,矛盾.所以.…………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,.若数列只有2013项且具有性质,可得,猜想数列从第二项起是公比为2的等比数列.(用数学归纳法证明).
所以…………13分
【注:
若有其它解法,请酌情给分】
高三数学试卷(理科)第13页(共13页)
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